Frage zu Kontraktion < Interpol.+Approx. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich will mal wieder aus meinen Lehrmaterialien zitieren und eine Frage dazu stellen; ich hoffe ihr könnt mir helfen:
"Für das Heron-Verfahren hat die Iterationsfunktion [mm] \varphi_a(x) [/mm] die Gestalt
[mm] \varphi_a(x)=\bruch{1}{2}(x [/mm] + [mm] \bruch{a}{3}), [/mm] x > 0.
Also folgt
[mm] \varphi_a'(x)=\bruch{1}{2}(1-\bruch{a}{x^2}), [/mm] x > 0.
Wegen [mm] \varphi_a''(x)=\bruch{a}{x^3} [/mm] > 0, x > 0,
steigt [mm] \varphi_a' [/mm] für x > 0 monoton. Wegen
[mm] \varphi_a'(x) \to \bruch{1}{2} [/mm] für x [mm] \to \infty,
[/mm]
[mm] \varphi_a'(\wurzel{\bruch{a}{3}}) [/mm] = -1
gilt
-1 [mm] \le \varphi_a'(x) \le \bruch{1}{2} [/mm] für x [mm] \ge \wurzel{\bruch{a}{3}}.
[/mm]
Auf jedem Intervall [mm] [\wurzel{\bruch{a}{3}} [/mm] + [mm] \varepsilon, \infty), \varepsilon [/mm] > 0 beliebig, ist also [mm] \varphi_a [/mm] eine Kontraktion. Wegen
[mm] \varphi_a(\wurzel{\bruch{a}{3}}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}(\wurzel[]{\bruch{a}{3}} [/mm] + [mm] \bruch{a}{\wurzel[]{\bruch{1}{3}}}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}(\wurzel[]{\bruch{a}{3}} [/mm] + [mm] \wurzel[]{3a}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}\wurzel[]{\bruch{a}{3}}(1 [/mm] + 3) = [mm] 2\wurzel[]{\bruch{a}{3}}
[/mm]
wird das Intervall [mm] [\wurzel[]{\bruch{a}{3}}, \infty) [/mm] in sich abgebildet. Also konvergiert die Heron-Iteration für jeden Startwert [mm] x_0 \in [\wurzel[]{\bruch{a}{3}}, \infty) [/mm] gegen [mm] \wurzel[]{a}."
[/mm]
Meine Frage: Wie kann man sich hier so sicher sein, dass das Intervall [mm] [\wurzel[]{\bruch{a}{3}}, \infty) [/mm] in sich selbst abgebildet wird? Schließlich ist [mm] \varphi_a'(x) [/mm] "ab x = [mm] \wurzel[]{\bruch{a}{3}} [/mm] aufwärts" ja erst einmal negativ. Wäre es nicht auch noch notwendig zu zeigen, dass
[mm] \varphi_a(n) \ge \wurzel[]{\bruch{a}{3}} [/mm] mit [mm] \varphi_a'(n) [/mm] = 0,
um sicherzugehen, dass
[mm] \varphi_a(x) \ge \wurzel[]{\bruch{a}{3}} [/mm] für alle x > [mm] \wurzel[]{\bruch{a}{3}}?
[/mm]
Hoffe ihr könnt mir helfen!
Danke,
Martin
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:19 Mo 28.05.2007 | | Autor: | sancho1980 |
bitte bitte helft mir 
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Di 29.05.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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