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Frage zu Integration: gebrochen rationale Funktionen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:01 Di 24.05.2005
Autor: Frostschutzmittel

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Die Frage ist vermutlich ganz simpel, aber ich habe dazu in meiner Formelsammlung nichts gefunden.

Wenn das Integral von  [mm] \bruch{1}{x} [/mm] ln x + C ist, wie stellt es sich dann dar, wenn im Zähler etwas anderes als 1 steht? Wird das mit dem ln multipliziert, also beispielsweise  [mm] \bruch{4}{x²} [/mm] abgeleitet -> 4 * 2 * ln x (x > 0)?
        
Bezug
Frage zu Integration: ln und Potenzregel
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:13 Di 24.05.2005
Autor: Loddar

Hallo Frostschutzmittel,

[willkommenmr] !!



> Wenn das Integral von  [mm]\bruch{1}{x}[/mm] ln x + C ist, wie
> stellt es sich dann dar, wenn im Zähler etwas anderes als 1
> steht?

Wenn einfach ein anderer Faktor im Zähler steht, wird dieser gemäß MBFaktorregel vor das Integral gezogen und dann integriert.

Beispiel:   [mm] $\integral_{}^{} {\bruch{a}{x} \ dx} [/mm] \ = \ a * [mm] \integral_{}^{} {\bruch{1}{x} \ dx} [/mm] \ = \ a * [mm] \ln(x) [/mm] \ + \ C$



> Wird das mit dem ln multipliziert, also beispielsweise
> [mm]\bruch{4}{x²}[/mm] abgeleitet -> 4 * 2 * ln x (x > 0)?

[notok] Ganz klar: NEIN !!

Die Integrationsregel mit dem [mm] $\ln(z)$ [/mm] gilt nur für den Fall [mm] $\bruch{1}{z^{\red{1}}} [/mm] \ = \ [mm] z^{-\red{1}}$ [/mm]


Für Dein anderes Beispiel kommt die MBPotenzregel zur Anwendung:

[mm] $\integral_{}^{} {\bruch{4}{x^2} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \integral_{}^{} [/mm] {4 * [mm] x^{-2} [/mm] \ dx} \ = \ 4 * [mm] \bruch{x^{-\red{1}}}{\red{-1}} [/mm] \ + \ C \ = \ -4 * [mm] x^{-1} [/mm] \ + \ C \ = \ - [mm] \bruch{4}{x} [/mm] \ + \ C$


Nun etwas klarer?

Gruß
Loddar

Bezug
                
Bezug
Frage zu Integration: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:20 Di 24.05.2005
Autor: Frostschutzmittel

Ja, ich glaube, jetzt habe ich es verstanden. Vielen Dank für die schnelle Antwort.
Bezug
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