Frage zu Fourierkoeffizienten < Fourier-Transformati < Transformationen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:31 Sa 09.10.2010 | | Autor: | xtraxtra |
Hallo.
Ich habe ein Frage zu den Fourierkoeffizienten:
Wir haben die Fourierreihe so definiert: [mm] f(x)=a_0+\summe_{n=1}^{N}(a_n cos(nx)+b_n [/mm] sin(nx))
Die Koeffizieten wurden dann so definiert:
[mm] a_0=<1|f>=\integral_{-\pi}^{\pi}{\bruch{1}{2\pi} f(x) dx}
[/mm]
[mm] a_n=2=\integral_{-\pi}^{\pi}{\bruch{1}{\pi}cos(nx)f(x) dx}
[/mm]
[mm] b_n=2=\integral_{-\pi}^{\pi}{\bruch{1}{\pi}sin(nx)f(x) dx}
[/mm]
Wieso wird bei den [mm] a_n [/mm] und [mm] b_n [/mm] das Skalarprodukt mit 2 multipliziert und bei [mm] a_0 [/mm] nicht?
Oder ist das einfach nur definitionssachen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:36 Sa 09.10.2010 | | Autor: | pelzig |
Bei der Fourierentwicklung hat man einen Vektorraum [mm]X[/mm] von Funktionen mit Skalarprodukt [mm]\langle\cdot,\cdot\rangle[/mm], in deinem Fall z.B.
[mm]X=C([-\pi,\pi])[/mm] und [mm]\langle f,g\rangle=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi fg\;dx[/mm]
und ferner ein (abzählbares) Orthonormalsystem [mm]\mathcal{S}=(f_n)_{n\in\IN}\subset X[/mm], d.h. es gilt
[mm]\langle f_i,f_j\rangle=\delta_{ij}\quad\forall i,j\in\IN[/mm]
In diesem Fall definiert man dann für ein [mm]f\in X[/mm], dessen Fourierreihenentwicklung durch [mm]\sum_{i\in\IN}\langle f,f_i\rangle\cdot f_i[/mm] und die Zahlen [mm]\alpha_i=\langle f,f_i\rangle[/mm] heißen die Fourierkoeffizieten von [mm]f[/mm]. Man kann dann zeigen, dass unter gewissen Umständen die Fourierreihenentwicklung von [mm]f[/mm] im Sinne der von dem Skalarprodukt induzierten Norm gegen [mm]f[/mm] konvergiert.
In deinem Fall Ist [mm]\mathcal{S}=\left\{1,\cos(x),\sin(x),\cos(2x),\sin(2x),...\right\}[/mm], das ist ein Orthogonalsystem, aber die Sinus- und Kosinusfunktionen sind noch nicht normiert, genauer gilt
[mm]\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi \sin^2(nx)\ dx=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi \cos^2(nx)\ dx=\frac{1}{2}[/mm]
d.h.[mm]\|f_i\|=1/2[/mm] für [mm]i\ge 1[/mm]. deshalb muss man zur Berechnung der Fourierkoeffizieten noch einen Korrekturterm einführen, explizit:
[mm]\alpha_i=\left\langle f,\frac{f_i}{\|f_i\|}\right\rangle[/mm]
Hingegen hat die 1-Funktion bereits Norm 1, deshalb tritt dieser Faktor für [mm]\alpha_0[/mm] nicht auf. Daher lautet nun die Fourierreihenentwicklung von [mm]f[/mm]:
[mm]\alpha_0+\sum_{i=1}^\infty\left\langle f,\frac{f_i}{\|f_i\|}\right\rangle\cdot\frac{f_i}{\|f_i\|}=\alpha_0+\sum_{i=1}^\infty\frac{1}{\|f_i\|^2}\langle f,f_i\rangle\cdot f_i=\alpha_0+\sum_{i=1}^\infty 4\langle f,f_i\rangle\cdot f_i[/mm]
und die Koeffizieten [mm] $4\langle f,f_i\rangle$ [/mm] sind genau deine [mm]a_1,b_1,a_2,b_2,...[/mm]
Viele Grüße, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:31 Mo 11.10.2010 | | Autor: | xtraxtra |
Ich versteh es leider immer noch nicht.
Einmal wird hier mit [mm] 1/\pi [/mm] und einmal durch [mm] 1/2\pi [/mm] multipliziert.
Hier die Rechnung für x²:
[mm] a_0=<1|x²>=\integral_{-\pi}^{\pi}{x^2\bruch{dx}{2\pi}}=\bruch{\pi²}{3}
[/mm]
[mm] a_n==\integral_{-\pi}^{\pi}{cos(nx)x^2\bruch{dx}{2\pi}}=4\bruch{(-1)^n}{n^2}
[/mm]
[mm] b_n=0
[/mm]
und für [mm] e^{ax} [/mm] mit [mm] a\not=0 [/mm] und [mm] 0
[mm] a_0=\integral_{0}^{2\pi}{e^{ax}\bruch{dx}{2\pi}}=\bruch{e^{2\pi a}-1]}{2\pi a]}
[/mm]
[mm] a_n=\integral_{0}^{2\pi}{e^{ax}cos(nx)\bruch{dx}{\pi}}=\bruch{e^{2\pi a}-1}{\pi}
[/mm]
[mm] b_n=\integral_{0}^{2\pi}{e^{ax}sin(nx)\bruch{dx}{\pi}}=\bruch{n(e^{2a\pi]}-1}{\pi(a^2+n^2)}
[/mm]
Warum wird bei [mm] a_n [/mm] und [mm] b_n [/mm] beim Beispiel mit [mm] x^2 1/2\pi [/mm] benutzt bei bei [mm] e^{ax} [/mm] dann [mm] 1/\pi?
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:09 Mo 11.10.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ich versteh es leider immer noch nicht.
> Einmal wird hier mit [mm]1/\pi[/mm] und einmal durch [mm]1/2\pi[/mm]
> multipliziert.
Vereinfacht gesagt, weil
[mm] \integral_{0}^{2\pi} 1 dx = \red{2}\pi [/mm]
ist, aber
[mm] \integral_{0}^{2\pi} \cos^2(nx) dx = \pi = \integral_{0}^{2\pi} \sin^2(nx) dx[/mm] ;
und daher, wenn ich die Fourierentwicklung von f einsetze:
[mm] \integral_{0}^{2\pi} f(x) dx = \red{2}\pi *a_0 [/mm] , aber
[mm] \integral_{0}^{2\pi} f(x) \cos(nx) = \pi * a_n [/mm] und [mm] \integral_{0}^{2\pi} f(x) \sin(nx) = \pi * b_n [/mm] .
Viele Grüße
Rainer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:17 Di 12.10.2010 | | Autor: | pelzig |
> Hier die Rechnung für x²:
> [mm]a_0=<1|x²>=\integral_{-\pi}^{\pi}{x^2\bruch{dx}{2\pi}}[/mm]
Das ist richtig... hab nicht überprüft ob du das Integral korrekt ausgwertet hast.
> [mm]a_n==\integral_{-\pi}^{\pi}{cos(nx)x^2\bruch{dx}{2\pi}}[/mm]
Hier ist was Faul. Es ist [mm]a_n=\red{2}\langle\sin(nx),x^2\rangle[/mm], wie du bereits im Eingangspost beschrieben hast. Deine Rechnung für [mm]f(x)=e^{ax}[/mm] ist dagegen vollkommen richtig (modulo Fehler beim Integral-auswerten)
> Warum wird bei [mm]a_n[/mm] und [mm]b_n[/mm] beim Beispiel mit [mm]x^2 1/2\pi[/mm]
> benutzt bei bei [mm]e^{ax}[/mm] dann [mm]1/\pi?[/mm]
Wie ich bereits erklärt habe: Dein Funktionensystem [mm]\left\{1,\cos(x),\sin(x),\cos(2x),\sin(2x),...\right\}[/mm] ist zwar ein Orthogonalsystem bzgl. des Skalarproduktes
[mm]\langle f,g\rangle=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}fg\;dx[/mm]
aber kein Orthonormalsystem, denn außer für [mm]f\equiv 1[/mm] ist [mm]\|f\|^2:=\langle f,f\rangle=1/2\ne 1[/mm] für alle [mm]f\in\mathcal{S}[/mm]. Also kommt für alle [mm]f\in\mathcal{S}\setminus\{1\}[/mm] noch ein Normierungsfaktor ins Spiel und du du betrachtest eigentlich die Fourierentwicklung auf
[mm]\tilde{\mathcal{S}}=\left\{1,\sqrt{2}\cos(x),\sqrt{2}\sin(x),\sqrt{2}\cos(2x),\sqrt{2}\sin(2x),...\right\}[/mm]
Dieser Normierungsfaktor würde dann später bei der eigentlichen Fourierreihe ein zweites Mal auftreten und deshalb hat euer Professor der Ästehtik willen die entstehende [mm]\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2[/mm] gleich in die Definition eurer [mm]a_n[/mm] und [mm]b_n[/mm] gepackt.
All das tritt aber bei [mm]1\in\mathcal{S}[/mm] nicht auf, da diese bereits normiert ist, deshalb ist diese zusätzliche 2 bei [mm]a_0[/mm] eben nicht da!
Viele Grüße, Robert
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