Frage < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:39 Mi 06.07.2005 | | Autor: | holg47 |
Hallo!!
Ich hätte eine Frage bezüglich Diagonaliserbarkeit, bzw. charakt. Polynom.
Meines Wissens gilt:
Eine Matrix ist genau dann diagonaliserbar, wenn:
1. Die albebraische Vielfachheit = geometrische Vielfachheit
UND
2. Das charakteristische Polynom zerfällt vollständig in Linearfaktoren.
Frage: Was bedeudet dies, dass das charakt. Polynom "vollständig in Linearfaktoren" zerfällt? Also wie sieht dass denn aus, wenn es in Linearfaktoren zerfällt und wenn nicht?
Vielen Dank für eine Antwort!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:48 Mi 06.07.2005 | | Autor: | Micha |
> Hallo!!
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> Ich hätte eine Frage bezüglich Diagonaliserbarkeit, bzw.
> charakt. Polynom.
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> Meines Wissens gilt:
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> Eine Matrix ist genau dann diagonaliserbar, wenn:
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> 1. Die albebraische Vielfachheit = geometrische
> Vielfachheit
>
> UND
>
> 2. Das charakteristische Polynom zerfällt vollständig in
> Linearfaktoren.
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> Frage: Was bedeudet dies, dass das charakt. Polynom
> "vollständig in Linearfaktoren" zerfällt? Also wie sieht
> dass denn aus, wenn es in Linearfaktoren zerfällt und wenn
> nicht?
Hallo!
Also wenn das charakteristische Polynom [mm] $t^2 [/mm] +t+1$ zerfällt nicht in Linearfaktoren, da es keine Nullstellen in [mm] $\IR$ [/mm] besitzt. Du kannst aber zeigen, dass jedes charakteristische Polynom in [mm] $\IC$ [/mm] in Linearfaktoren zerfällt...
Ein Polynom was in Linearfaktoren zerfällt ist z.B. [mm] $t^2-2t+1 [/mm] = (t-2)(t-2) = [mm] (t-2)^2$.
[/mm]
Gruß Micha 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:19 Mi 06.07.2005 | | Autor: | holg47 |
Hallo!
Also würde bei der Matrix A= [mm] \pmat{ 0 & -1 \\ 1 & 0 } [/mm] das charakteristische Polynom nicht in Linearfaktorern zerfallen, da hier gilt:
[mm] P(\lambda)= (\lambda)²+1 \to (\lambda)²=-1 [/mm] und somit ist A in [mm] \IR [/mm] alleine dadurch , dass das charakt. Polynom nicht in Linearfaktoren zerfällt nicht diagonalisierbar?
Also ist die Aussage, dass das charakteristische Polynom zerfällt in Linearfaktoren äquivalent zu der Aussage, es gibt nur reelle Eigenwerte (die Nullstellen des charakt. Polynoms sind alle reell)?
Ja?
Vielen Dank!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:10 Mi 06.07.2005 | | Autor: | holg47 |
Hallo!
Aber wenn ich jetzt eine Matrix A über den REELLEN Vektorraum betrachte, DANN kann ich sagen, dass "das charakt. Polynom zerfälllt in Linearfaktoren" äquivalent zu "Es gibt nur reelle Eigenwerte ist", ja?
Vielen Dank und viele Grüße!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:18 Mi 06.07.2005 | | Autor: | Micha |
Hallo!
Nein auch dann ist die Anzahl entscheidend! Betrachte z.B. das charakteristische Polynom [mm] $t^3+2t^2+2t+1$. [/mm] Dieses Polynom besitzt eine reelle Nullstelle (bei -1)
Also lässt es sich faktorisieren zu [mm] $(t^2+t+1)(t+1)$. [/mm] Jetzt habe ich aber nur eine Nullstelle. Es gibt nur reelle Eigenwerte. zerfallen würde es aber, wenn ich 3 Nullstellen haben würde, weil der Grad das Polynomes ist 3.
Im Allgemeinen kommt so eine Form heraus, wenn es zerfällt: [mm] (t-\lambda_1)(t-\lambda_2)(t-\lambda_3)...(t-\lambda_n)
[/mm]
wobei jetzt Eigenwerte auch doppelt auftreten dürfen...
Hoffe die Frage ist damit beantwortet,
Gruß Micha
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