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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:57 Do 11.07.2013 | | Autor: | Marcel88 |
| Aufgabe | Die Funktion F(y) ist die Fouriertransformierte von f(x). Zeigen Sie: Ist G(y) die Fouriertransformierte von f'(x), so gilt :G(y) = iyF(y)
Unter welcher Bedingung ist diese Beziehung aber nur richtig? |
hey,
leider komme ich mit der Aufgabe garnicht klar und weiß auch nicht wie ich überhaupt anfangen kann. Ich komme mit Fourie nur sehr schlecht klar.
Viele Grüße
Marcel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:33 Do 11.07.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Die Funktion F(y) ist die Fouriertransformierte von f(x).
das ist aber sehr unschön - besser:
Für $f [mm] \in L^1=L^1(\IR)$ [/mm] definiert man
[mm] $F:=\digamma(f)$
[/mm]
durch [mm] $\digamma(f)(x):=F(x):=\int_{-\infty}^\infty f(t)e^{ixt}dt\,.$
[/mm]
Es kann sein, denn das ist nicht immer einheitlich, dass bei Euch
[mm] $\int_{-\infty}^\infty f(t)e^{\red{-}\;ixt}dt$
[/mm]
steht - und eventuell gibt es eine multiplikative Konstante. (Mit [mm] $\sqrt{2\pi}.$) [/mm] Auch
das ist nicht immer einheitlich.
> Zeigen Sie: Ist G(y) die Fouriertransformierte von f'(x),
> so gilt :G(y) = iyF(y)
> Unter welcher Bedingung ist diese Beziehung aber nur
> richtig?
> hey,
>
> leider komme ich mit der Aufgabe garnicht klar und weiß
> auch nicht wie ich überhaupt anfangen kann. Ich komme mit
> Fourie nur sehr schlecht klar.
Rechne doch erstmal rein formal:
[mm] $\int_{-\infty}^\infty f'(t)e^{ixt}\;dt=...$
[/mm]
Mach' Dich "frei von komplizierten Gedanken" und führe eine partielle
Integration durch.
Dann wirst Du sehen, dass sowas wie [mm] $\lim_{|x| \to \infty}f(x)=0$ [/mm] hier nützlich sein wird...
Nebenbei: $f [mm] \in L^1 \Longrightarrow \digamma(f) \in L^1$ [/mm] gilt leider nicht immer.
Ist aber $f [mm] \in L^1$ [/mm] stetig, dann kann man mit der Fourier-Umkehrformel, die dann
überall gilt (sie gilt in allen Lebesgueschen Punkten und ein Stetigkeitspunkt
ist insbesondere ein Lebesguescher) und dem folgenden
Stichwort: ![[]](/images/popup.gif) http://en.wikipedia.org/wiki/Riemann%E2%80%93Lebesgue_lemma
begründen, dass hier [mm] $\lim_{|x| \to \infty}f(x)=0$ [/mm] gelten muss.
P.S. Das Symbol [mm] $\digamma(f)$ [/mm] ($\digamma(f)$) benutze ich nur, weil $\mathfrak{F}(f)$ bzw.
$\mathcal{F}(f)$ hier nicht funktioniert. Warum auch immer...
P.P.S. Vermutlich wird bei Euch bei der FT
[mm] $\int_{-\infty}^{\infty} [/mm] f(t) [mm] e^{\red{-\;}ixt}dt$
[/mm]
stehen!
Gruß,
Marcel
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