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| Aufgabe | Entwickeln Sie
[mm] f(t)=\begin{cases} 0, & -\pi \le t \le 0 \\ e^t, & 0\le t \le \pi \end{cases}
[/mm]
auf dem Intervall [mm] [-\pi [/mm] , [mm] \pi] [/mm] in eine Fourierreihe |
[mm] a_k=\bruch{1}{\pi} \integral_{0}^{\pi}{e^t * cos(kt) dt}
[/mm]
[mm] b_k=\bruch{1}{\pi} \integral_{0}^{\pi}{e^t *sin(kt) dt}
[/mm]
Wie muss ich das Intervall bei den Integrationsgrenzen berücksichtigen? Die Formeln haben ja eigentlich als unter Grenze [mm] -\pi, [/mm] diesen Teil der Integration braucht man aber nicht, da dort die Funktion identisch Null ist, richtig?
Führe ich meine Rechnungen zuende erhalte ich:
[mm] a_k=\bruch{1}{\pi (k^2+1)}(e^{\pi}*(-1)^k-1)
[/mm]
[mm] b_k=\bruch{k}{k^2+1} ((-1)^{k+1}*e^{\pi}+1)
[/mm]
[mm] a_0=\bruch{1}{\pi} (e^{\pi}-1)
[/mm]
[mm] a_0 [/mm] wird dann als [mm] \bruch{a_0}{2} [/mm] in die Reihe eingesetzt.
Die Annäherung für positive t haut ganz gut hin, leider nähert aber meine Fourierreihe aber auch für negative t an [mm] e^t [/mm] an, was ja nicht sein soll.
Danke fürs drüberschauen!
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Hallo BunDemOut,
> Entwickeln Sie
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> [mm]f(t)=\begin{cases} 0, & -\pi \le t \le 0 \\ e^t, & 0\le t \le \pi \end{cases}[/mm]
>
> auf dem Intervall [mm][-\pi[/mm] , [mm]\pi][/mm] in eine Fourierreihe
> [mm]a_k=\bruch{1}{\pi} \integral_{0}^{\pi}{e^t * cos(kt) dt}[/mm]
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> [mm]b_k=\bruch{1}{\pi} \integral_{0}^{\pi}{e^t *sin(kt) dt}[/mm]
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> Wie muss ich das Intervall bei den Integrationsgrenzen
> berücksichtigen? Die Formeln haben ja eigentlich als unter
> Grenze [mm]-\pi,[/mm] diesen Teil der Integration braucht man aber
> nicht, da dort die Funktion identisch Null ist, richtig?
>
Richtig.
> Führe ich meine Rechnungen zuende erhalte ich:
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> [mm]a_k=\bruch{1}{\pi (k^2+1)}(e^{\pi}*(-1)^k-1)[/mm]
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> [mm]b_k=\bruch{k}{k^2+1} ((-1)^{k+1}*e^{\pi}+1)[/mm]
>
> [mm]a_0=\bruch{1}{\pi} (e^{\pi}-1)[/mm]
>
Das ist auch richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]a_0[/mm] wird dann als [mm]\bruch{a_0}{2}[/mm] in die Reihe eingesetzt.
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> Die Annäherung für positive t haut ganz gut hin, leider
> nähert aber meine Fourierreihe aber auch für negative t
> an [mm]e^t[/mm] an, was ja nicht sein soll.
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> Danke fürs drüberschauen!
>
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:16 Sa 08.12.2012 | | Autor: | BunDemOut |
Dankeschön!
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