Fourierreihe < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:32 Fr 28.08.2009 | | Autor: | xPae |
| Aufgabe | Berechnen sie die Fourierreihe der [mm] 2\pi [/mm] -periodischen Funktion
[mm] f(x)=x^{2} [/mm]
[mm] x\varepsilon[-\pi,\pi] [/mm] |
Moin,
habe hier ein paar Schwierigkeiten.
[mm] f(x)=\bruch{a_{0}}{2}+\summe_{n=1}^{\infty}(a_{n}*cos(n*x)+b_{n}*sin(n*x)) [/mm]
Es müsste eigentlich egal sein, ob ich [mm] von-\pi [/mm] bis [mm] \pi [/mm] oder von 0 bis [mm] 2*\pi [/mm] integriere oder?
mit
[mm] a_{n}=\bruch{1}{\pi}*\integral_{0}^{2*\pi}{f(x)*cos(n*x) dx} [/mm]
mit n=0,1,2,...
[mm] b_{n}=\bruch{1}{\pi}*\integral_{0}^{2*\pi}{f(x)*sin(n*x) dx} [/mm]
n=1,2,3...
Berechnung von [mm] a_{0}
[/mm]
[mm] a_{0}=\bruch{1}{\pi}*\integral_{0}^{2*\pi}{x^{2} dx}=\bruch{1}{\pi}*[\bruch{1}{3}*x^{3}]_{0}^{2*\pi}=\bruch{1}{3*\pi}*8*\pi^{3}=\bruch{8}{3}*\pi^{2}
[/mm]
Berechnung von [mm] a_{n}
[/mm]
[mm] a_{n}=\bruch{1}{\pi}*\integral_{0}^{2*\pi}{f(x)*cos(n*x) dx} =a_{n}=\bruch{1}{\pi}*\integral_{0}^{2*\pi}{x^{2}*cos(n*x) dx}=\bruch{1}{\pi}*\underbrace{[x^{2}*\bruch{1}{n}*sin(n*x)]_{0}^{2*\pi}}_{=0}-\bruch{1}{\pi}*\integral_{0}^{2*\pi}{2*x*\bruch{1}{n}*sin(n*x)dx}
[/mm]
Nebenrechnung I:
[mm] \integral_{0}^{2*\pi}{2*x*\bruch{1}{n}*sin(n*x)dx}=[\bruch{-2*x}{n^{2}}*cos(n*x)]_{0}^{2*\pi}+\underbrace{\integral_{0}^{2*\pi}{\bruch{2}{n^{2}}*cos(n*x)dx}}_{=0}
[/mm]
[mm] a_{n}=\bruch{-1}{\pi}*[\bruch{-2*x}{n^{2}}*cos(n*x)]_{0}^{2*\pi}=\bruch{2}{n^{2}*\pi}*[4*\pi-0]=\bruch{8}{n^{2}}
[/mm]
Berechnung von [mm] b_{n}
[/mm]
hier hatte ich mir zunächst überlegt, dass eigentlich b für alle n=1,2,3... Null sein müsste, da [mm] x^{2} [/mm] eine an der Y-Achse gespiegelte Funktion ist, genau, wie der Cosinus. Daher dachte ich, dass nur die [mm] a_{n}-Koeffizienten [/mm] stehen bleiben. Wollte dies nachprüfen, leider klappt das nicht unbedingt:
[mm] b_{n}=\bruch{1}{\pi}*\integral_{0}^{2*\pi}{f(x)*sin(n*x) dx}=\bruch{1}{\pi}*\integral_{0}^{2*\pi}{x^{2}*sin(n*x) dx}=\bruch{1}{\pi}*[\bruch{-x^{2}}{n}*cos(n*x)]_{0}^{2*\pi}+\bruch{1}{\pi}*\integral_{0}^{2*\pi}{\bruch{2*x}{n}*cos(n*x)dx}
[/mm]
Nebenrechnung II:
[mm] \integral_{0}^{2*\pi}{\bruch{2*x}{n}*cos(n*x)dx}=\underbrace{[\bruch{2*x}{n}*sin(n*x)]_{0}^{2*\pi}}_{=0}-\underbrace{\integral_{0}^{2*\pi}{\bruch{2}{n}*sin(n*x)dx}}_{=0}
[/mm]
[mm] b_{n}=\bruch{1}{\pi}*[\bruch{-x^{2}}{n}*cos(n*x)]_{0}^{2*\pi}=\bruch{1}{\pi}*[\bruch{-4*\pi^{2}}{n}]=\bruch{-4*\pi}{n}
[/mm]
Stimmt meine Vermutung nicht, oder die Berechnung?
Vielen Dank für das Nachgucken
[Integriert wurde fast ausschließlich mit partieller Integration, hoffe ich habe es einigermaßen sauber und verständlich aufgeschrieben]
lg xPae
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> Berechnen sie die Fourierreihe der [mm]2\pi[/mm] -periodischen
> Funktion
>
> [mm]f(x)=x^{2}[/mm]
>
> [mm]x\varepsilon[-\pi,\pi][/mm]
> Moin,
>
> habe hier ein paar Schwierigkeiten.
>
> [mm]f(x)=\bruch{a_{0}}{2}+\summe_{n=1}^{\infty}(a_{n}*cos(n*x)+b_{n}*sin(n*x))[/mm]
>
> Es müsste eigentlich egal sein, ob ich [mm]von-\pi[/mm] bis [mm]\pi[/mm]
> oder von 0 bis [mm]2*\pi[/mm] integriere oder?
Hallo,
nein, das ist nicht egal - bzw. wenn Du von 0 bis [mm] 2\pi [/mm] integrieren willst, mußt Du Deine Funktion anders aufschreiben:
Wenn Du die [mm] 2\pi [/mm] periodische Funktion
> [mm]f(x)=x^{2}[/mm]
>
> [mm]x\varepsilon[-\pi,\pi][/mm]
hast,
Dann hängst Du an den "Ausschnitt" aus der Normalparabel zwischen [mm] -\pi [/mm] und [mm] \pi [/mm] rechts und links ebensolche Funktionsstücke an, so daß Du eine zur y-Achse symmetrische Funktion erhältst.
Die [mm] 2\pi [/mm] periodische Funktion
> [mm]f(x)=x^{2}[/mm]
>
> [mm]x\varepsilon[0,2\pi][/mm]
sieht völlig anders aus! An den Auschnitt aus der Normalparabel zwischen 0 und [mm] 2\pi [/mm] werden hier rechts und links ebensolche Stücke darangehängt.
Du kannst Dir natürlich Deine Ursprungsfunktion aufschreiben für das Intervall [mm] [0,2\pi], [/mm] aber das ist ein wenig unbequem. Für diese kannst Du dann aber natürlich von 0 bis [mm] 2\pi [/mm] integrieren.
Die Integrale durchzugucken ist mir just zur Stunde zu mühsam, das Prinzip jedenfalls scheint klar zu sein.
Gruß v. Angela
> mit
>
> [mm]a_{n}=\bruch{1}{\pi}*\integral_{0}^{2*\pi}{f(x)*cos(n*x) dx}[/mm]
> mit n=0,1,2,...
>
>
> [mm]b_{n}=\bruch{1}{\pi}*\integral_{0}^{2*\pi}{f(x)*sin(n*x) dx}[/mm]
>
> n=1,2,3...
>
> Berechnung von [mm]a_{0}[/mm]
>
> [mm]a_{0}=\bruch{1}{\pi}*\integral_{0}^{2*\pi}{x^{2} dx}=\bruch{1}{\pi}*[\bruch{1}{3}*x^{3}]_{0}^{2*\pi}=\bruch{1}{3*\pi}*8*\pi^{3}=\bruch{8}{3}*\pi^{2}[/mm]
>
> Berechnung von [mm]a_{n}[/mm]
>
>
> [mm]a_{n}=\bruch{1}{\pi}*\integral_{0}^{2*\pi}{f(x)*cos(n*x) dx} =a_{n}=\bruch{1}{\pi}*\integral_{0}^{2*\pi}{x^{2}*cos(n*x) dx}=\bruch{1}{\pi}*\underbrace{[x^{2}*\bruch{1}{n}*sin(n*x)]_{0}^{2*\pi}}_{=0}-\bruch{1}{\pi}*\integral_{0}^{2*\pi}{2*x*\bruch{1}{n}*sin(n*x)dx}[/mm]
>
> Nebenrechnung I:
>
> [mm]\integral_{0}^{2*\pi}{2*x*\bruch{1}{n}*sin(n*x)dx}=[\bruch{-2*x}{n^{2}}*cos(n*x)]_{0}^{2*\pi}+\underbrace{\integral_{0}^{2*\pi}{\bruch{2}{n^{2}}*cos(n*x)dx}}_{=0}[/mm]
>
> [mm]a_{n}=\bruch{-1}{\pi}*[\bruch{-2*x}{n^{2}}*cos(n*x)]_{0}^{2*\pi}=\bruch{2}{n^{2}*\pi}*[4*\pi-0]=\bruch{8}{n^{2}}[/mm]
>
> Berechnung von [mm]b_{n}[/mm]
>
> hier hatte ich mir zunächst überlegt, dass eigentlich b
> für alle n=1,2,3... Null sein müsste, da [mm]x^{2}[/mm] eine an
> der Y-Achse gespiegelte Funktion ist, genau, wie der
> Cosinus. Daher dachte ich, dass nur die [mm]a_{n}-Koeffizienten[/mm]
> stehen bleiben. Wollte dies nachprüfen, leider klappt das
> nicht unbedingt:
>
> [mm]b_{n}=\bruch{1}{\pi}*\integral_{0}^{2*\pi}{f(x)*sin(n*x) dx}=\bruch{1}{\pi}*\integral_{0}^{2*\pi}{x^{2}*sin(n*x) dx}=\bruch{1}{\pi}*[\bruch{-x^{2}}{n}*cos(n*x)]_{0}^{2*\pi}+\bruch{1}{\pi}*\integral_{0}^{2*\pi}{\bruch{2*x}{n}*cos(n*x)dx}[/mm]
>
>
> Nebenrechnung II:
>
> [mm]\integral_{0}^{2*\pi}{\bruch{2*x}{n}*cos(n*x)dx}=\underbrace{[\bruch{2*x}{n}*sin(n*x)]_{0}^{2*\pi}}_{=0}-\underbrace{\integral_{0}^{2*\pi}{\bruch{2}{n}*sin(n*x)dx}}_{=0}[/mm]
>
> [mm]b_{n}=\bruch{1}{\pi}*[\bruch{-x^{2}}{n}*cos(n*x)]_{0}^{2*\pi}=\bruch{1}{\pi}*[\bruch{-4*\pi^{2}}{n}]=\bruch{-4*\pi}{n}[/mm]
>
>
> Stimmt meine Vermutung nicht, oder die Berechnung?
>
> Vielen Dank für das Nachgucken
> [Integriert wurde fast ausschließlich mit partieller
> Integration, hoffe ich habe es einigermaßen sauber und
> verständlich aufgeschrieben]
>
> lg xPae
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:01 Fr 28.08.2009 | | Autor: | xPae |
Hallo Angela,
wir hatten in der Vorlesung notiert:
Die Integration zur Berechnung Fourierkoeffizienten kann (bei identischem Integranden) über ein beliebiges Intervall der Länge [mm] 2*\pi [/mm] erfolgen, zb kann
[mm] \integral_{0}^{2*\pi}{f(x) dx} [/mm] statt [mm] \integral_{-\pi}^{\pi}{f(x) dx} [/mm] verwendet werden.
Aber vllt hab ich das auch falsch verstanden.
lg xPae
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> Hallo Angela,
>
> wir hatten in der Vorlesung notiert:
>
>
> Die Integration zur Berechnung Fourierkoeffizienten kann
> (bei identischem Integranden) über ein beliebiges
> Intervall der Länge [mm]2*\pi[/mm] erfolgen,
Hallo,
das stimmt schon.
Du hast es hier mit der [mm] 2\pi-periodischen [/mm] Funktion [mm] f:\IR \to \IR [/mm] zu tun mit
[mm] f(x):=x^2 [/mm] für [mm] x\in [-\pi, \pi].
[/mm]
Du kannst auch genausogut schreiben
[mm] f(x):=\begin{cases} x^2, & \mbox{für } x\in[0,\pi] \mbox{} \\ (x-\2\pi)^2, & \mbox{für } nx\in (\pi,\2\pi] \mbox{ } \end{cases},
[/mm]
und dies dann von 0 bis [mm] 2\pi [/mm] integrieren.
Du kannst f auch von -17 bis [mm] -17+2\pi [/mm] integrieren, aber Du mußt die Funktionsvorschrift dann richtig hinschreiben.
Solange in Deinen Integralen f(x) steht, ist alles in Ordnung, bloß Du darfst nciht einfach [mm] x^2 [/mm] einsetzen.
Die [mm] 2\pi-Periodische [/mm] Funktion g mit
[mm] g(x):=x^2 [/mm] für [mm] x\in [/mm] [0, [mm] 2\pi] [/mm] sieht völlig anders aus, und diese bearbeitest Du, wenn Du so integrierst, wie Du es getan hast.
Du mußt es Dir wirklich die "kl. Funktinen" und ihre periodischen Fortsetzungen mal aufmalen.
Gruß v. Angela
zb kann
> [mm]\integral_{0}^{2*\pi}{f(x) dx}[/mm] statt
> [mm]\integral_{-\pi}^{\pi}{f(x) dx}[/mm] verwendet werden.
>
> Aber vllt hab ich das auch falsch verstanden.
> lg xPae
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> Berechnen sie die Fourierreihe der [mm]2\pi[/mm] -periodischen
> Funktion
>
> [mm]f(x)=x^{2}[/mm]
>
> [mm]x\varepsilon[-\pi,\pi][/mm]
> Moin,
>
> habe hier ein paar Schwierigkeiten.
>
> [mm]f(x)=\bruch{a_{0}}{2}+\summe_{n=1}^{\infty}(a_{n}*cos(n*x)+b_{n}*sin(n*x))[/mm]
>
> Es müsste eigentlich egal sein, ob ich [mm]von-\pi[/mm] bis [mm]\pi[/mm]
> oder von 0 bis [mm]2*\pi[/mm] integriere oder?
Hallo,
das haben wir bis auf weiteres jetzt ja geklärt: es ist von [mm] -\pi [/mm] bis [mm] \pi [/mm] zu integrieren,
>
> mit
>
> [mm]a_{n}=\bruch{1}{\pi}*\integral_{0}^{2*\pi}{f(x)*cos(n*x) dx}[/mm]
> mit n=0,1,2,...
>
>
> [mm]b_{n}=\bruch{1}{\pi}*\integral_{0}^{2*\pi}{f(x)*sin(n*x) dx}[/mm]
>
> n=1,2,3...
Ihr habt bestimmt aufgeschrieben, daß bei geraden Funktionen die Koeffizienten [mm] b_n=0 [/mm] sind - und eine gerade Funktion hast Du vorliegen.
Du kannst also viel Arbeit sparen - und hättest unten spätestens in dem Moment, in dem Du Deine [mm] b_n [/mm] in den Händen hieltest, stutzig werden können.
Dein Integral für [mm] a_n [/mm] ist prinzipiell richtig, aber Du mußt nun natürlich prüfen, was mit den veränderten Grenzen herauskommt.
>
> Berechnung von [mm]a_{0}[/mm]
>
> [mm]a_{0}=\bruch{1}{\pi}*\integral_{0}^{2*\pi}{x^{2} dx}=\bruch{1}{\pi}*[\bruch{1}{3}*x^{3}]_{0}^{2*\pi}=\bruch{1}{3*\pi}*8*\pi^{3}=\bruch{8}{3}*\pi^{2}[/mm]
>
> Berechnung von [mm]a_{n}[/mm]
>
>
> [mm]a_{n}=\bruch{1}{\pi}*\integral_{0}^{2*\pi}{f(x)*cos(n*x) dx} =a_{n}=\bruch{1}{\pi}*\integral_{0}^{2*\pi}{x^{2}*cos(n*x) dx}=\bruch{1}{\pi}*\underbrace{[x^{2}*\bruch{1}{n}*sin(n*x)]_{0}^{2*\pi}}_{=0}-\bruch{1}{\pi}*\integral_{0}^{2*\pi}{2*x*\bruch{1}{n}*sin(n*x)dx}[/mm]
>
> Nebenrechnung I:
>
> [mm]\integral_{0}^{2*\pi}{2*x*\bruch{1}{n}*sin(n*x)dx}=[\bruch{-2*x}{n^{2}}*cos(n*x)]_{0}^{2*\pi}+\underbrace{\integral_{0}^{2*\pi}{\bruch{2}{n^{2}}*cos(n*x)dx}}_{=0}[/mm]
>
> [mm]a_{n}=\bruch{-1}{\pi}*[\bruch{-2*x}{n^{2}}*cos(n*x)]_{0}^{2*\pi}=\bruch{2}{n^{2}*\pi}*[4*\pi-0]=\bruch{8}{n^{2}}[/mm]
>
> Berechnung von [mm]b_{n}[/mm]
>
> hier hatte ich mir zunächst überlegt, dass eigentlich b
> für alle n=1,2,3... Null sein müsste, da [mm]x^{2}[/mm] eine an
> der Y-Achse gespiegelte Funktion ist, genau, wie der
> Cosinus. Daher dachte ich, dass nur die [mm]a_{n}-Koeffizienten[/mm]
> stehen bleiben.
Achso, Du hast es ja gemerkt!
> Wollte dies nachprüfen, leider klappt das
> nicht unbedingt:
Das Rätsel dürfte gelöst sein.
Gruß v. Angela
>
> [mm]b_{n}=\bruch{1}{\pi}*\integral_{0}^{2*\pi}{f(x)*sin(n*x) dx}=\bruch{1}{\pi}*\integral_{0}^{2*\pi}{x^{2}*sin(n*x) dx}=\bruch{1}{\pi}*[\bruch{-x^{2}}{n}*cos(n*x)]_{0}^{2*\pi}+\bruch{1}{\pi}*\integral_{0}^{2*\pi}{\bruch{2*x}{n}*cos(n*x)dx}[/mm]
>
>
> Nebenrechnung II:
>
> [mm]\integral_{0}^{2*\pi}{\bruch{2*x}{n}*cos(n*x)dx}=\underbrace{[\bruch{2*x}{n}*sin(n*x)]_{0}^{2*\pi}}_{=0}-\underbrace{\integral_{0}^{2*\pi}{\bruch{2}{n}*sin(n*x)dx}}_{=0}[/mm]
>
> [mm]b_{n}=\bruch{1}{\pi}*[\bruch{-x^{2}}{n}*cos(n*x)]_{0}^{2*\pi}=\bruch{1}{\pi}*[\bruch{-4*\pi^{2}}{n}]=\bruch{-4*\pi}{n}[/mm]
>
>
> Stimmt meine Vermutung nicht, oder die Berechnung?
>
> Vielen Dank für das Nachgucken
> [Integriert wurde fast ausschließlich mit partieller
> Integration, hoffe ich habe es einigermaßen sauber und
> verständlich aufgeschrieben]
>
> lg xPae
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:50 Sa 29.08.2009 | | Autor: | xPae |
Hi,
vielen Dank für das Nachgucken der Integrale. Kann ich die [mm] 2*\pi [/mm] periodische Funktion mit z.B funkyplot zeichnen? , wenn ja - wie? =)
lg xPae
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> Kann ich die
> [mm]2*\pi[/mm] periodische Funktion mit z.B funkyplot zeichnen? ,
> wenn ja - wie? =)
Hallo,
ob man damit Funktionsschnippel periodisch fortsetzen kann, weiß ich nicht. All sowas kann ich nicht, auch wenn's prinzipiell geht.
Aber für Deine aktuelle Funktion reicht ja Zettel und Stift.
Oder Du plottest f und die ersten paar Reihenglieder und schaust, wie das in dem angegebenen Bereich aussieht.
So schummele ich mich mit Provisiorien und Krücken durchs Leben...
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:09 Sa 29.08.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
ist dir aus der Diskussion klar geworden dass deine Koeffizienten falsch sind, weil du zwischen 0 und [mm] 2\pi [/mm] die falsche fkt integriert hast?
Gruss leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:10 Sa 29.08.2009 | | Autor: | xPae |
Hallo,
ja das schon. Ich habe jetzt nochmal nachgerechnet mit den Grenzen [mm] \pi [/mm] und [mm] -\pi. [/mm] Für die Integrale, " die Null geworden sind." Spielt das ja keine Rolle, hauptsache über die Strecke [mm] 2*\pi. [/mm]
Dann müsste ich doch nur das so rechnen:
[mm] a_{n}=\bruch{-1}{\pi}\cdot{}[\bruch{-2\cdot{}x}{n^{2}}\cdot{}cos(n\cdot{}x)]_{-\pi}^{\pi}=\bruch{2}{n^{2}*\pi}*[-\pi-\pi]=\bruch{-4}{n^{2}}
[/mm]
oder ist das auch falsch? =/
lg xPae
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Hallo xPae,
> Hallo,
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>
> ja das schon. Ich habe jetzt nochmal nachgerechnet mit den
> Grenzen [mm]\pi[/mm] und [mm]-\pi.[/mm] Für die Integrale, " die Null
> geworden sind." Spielt das ja keine Rolle, hauptsache über
> die Strecke [mm]2*\pi.[/mm]
>
> Dann müsste ich doch nur das so rechnen:
>
> [mm]a_{n}=\bruch{-1}{\pi}\cdot{}[\bruch{-2\cdot{}x}{n^{2}}\cdot{}cos(n\cdot{}x)]_{-\pi}^{\pi}=\bruch{2}{n^{2}*\pi}*[-\pi-\pi]=\bruch{-4}{n^{2}}[/mm]
>
> oder ist das auch falsch? =/
>
Hier muss es doch so heißen:
[mm]a_{n}=\bruch{-1}{\pi}\cdot{}[\bruch{-2\cdot{}x}{n^{2}}\cdot{}cos(n\cdot{}x)]_{-\pi}^{\pi}=\bruch{2}{n^{2}*\pi}*[\red{+}\pi*\red{\cos\left(n*\pi\right)}-\left(-\pi\right)*\red{\cos\left(n*\left(-\pi\right)\right)}][/mm]
mit [mm]\cos\left(n*\pi\right)= ...[/mm]
> lg xPae
Gruss
MathePower
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