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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:38 Sa 10.01.2009 | | Autor: | noobo2 |
Hallo,
ich habe eine Frage, hier
http://www.mathe-seiten.de/fourier.pdf
gibt es ein skript zu den Fourierreihen, jedoch wird darin nicht erklärt, was eine Orthogonalitätsrelation ist, oder weshalb man sie bracuh, kann mri jemand erklären wei man da drauf kommt?
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Die Fourier-Zerlegung erlaubt es, eine periodische Funktion als Summe von sin- und cos-Funktionen darzustellen, bei denen die Perioden bekannt sind
(cos(nx) und sin(nx), wobei n die natürlichen Zahlen durchläuft), aber nicht die Koeffizienten und damit die Stärke dieses Summmanden. Wenn z.B. ein Summand nicht vorkommt, ist sein Koeffizient 0. Bei einer bekannten Funktion sind somit die Koeffizienten herauszufinden.
Der Trick besteht nun in Folgendem: Man multipliziert die Funktion der Reihe nach mit sin(1x), sin(2x), sin(3x) usw. und bildet das Integral über dem Intervall, das der Periodenlänge entspricht. Dann erhält man irgendeinen Zahlenwert.
Da die Funktion aber die Summe aus sin- und cos-Funktionen ist, macht man dies jeweils auch mit dieser Summe. Das gäbe aber unendlich viele Produkte mit unendlich vielen Integrationen. Der Witz ist aber: Der jeweilige Faktor sin(1x) oder sin(2x) oder sin(3x)... ist Orthogonal zu allen Summanden, das heißt, das Integral von z.B. sin(4x)*sin(23x) ergibt den Wert 0, ebenso z.B. von sin(4x)*cos(133x) usw. (nicht das Produkt, sondern das Integral über dem Periodenintervall - und das nennt man dann Orthogonalität).
Das einzige Produkt, dessen Integral nicht 0 ist, ist das Produkt mit dem Summanden, der dem jeweiligen Faktor selbst entspricht, also z.B. sin(4x)*sin(4x).
Gibt also z.B. das Integral von f(x)*sin(4x) den Wert 12 und das Integral von sin(4x)*sin(4x) den Wert 16, so weißt du, dass vor den Summanden sin(4x) der Koeffizient 12/16 gehört, damit das Integral von sin(4x)*12/16*sin(4x)nun 16 * 12/16 =12 ist, denn sonst kann die Summe nicht mit f(x) übereinstimmen.
Diese Erfindung von Fourier erlaubt z.B., irgendeinen längeren, sich wiederholenden Ton einer Geige, die aus verschiedenen Schwingungen besteht, in eine Anzahl einzelner Sin-Schwingungen zu zerlegen, von denen man nur die jeweiligen Koeffizienten bestimmen muss. So wird ein Musikstück in mp3 übersetzt, indem man nur die Koeffizienten von sin(1x), sin(2x), sin(3x) usw. erfasst und zusätzlich die zeitliche Länge des Intervalls angibt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:54 So 11.01.2009 | | Autor: | noobo2 |
Hallo,
danke für die ausführliche antworte, ich hätte jedoch ein paar rückfragen.
> Die Fourier-Zerlegung erlaubt es, eine periodische Funktion
> als Summe von sin- und cos-Funktionen darzustellen, bei
> denen die Perioden bekannt sind
> (cos(nx) und sin(nx), wobei n die natürlichen Zahlen
> durchläuft), aber nicht die Koeffizienten
was sind denn genau die Koeffizienten?
> und damit die Stärke dieses Summmanden. Wenn z.B. ein Summand nicht
> vorkommt, ist sein Koeffizient 0.
also welcher summand den genau?? cos(nx) * sin(nx) ist doch ein produkt oder?
>Bei einer bekannten
> Funktion sind somit die Koeffizienten herauszufinden.
> Der Trick besteht nun in Folgendem: Man multipliziert die
> Funktion der Reihe nach mit sin(1x), sin(2x), sin(3x) usw.
> und bildet das Integral über dem Intervall, das der
> Periodenlänge entspricht.
also ich muss gestehen den restahb cih noch weniger verstanden was wird en eigentlich genau bei dieser umformung gemacht und über welche PEriode muss ich sin(4x)*cos(133x) denn integrieren, dass 0 rauskommt?
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Betrachte z.B. die folgende Funktion (Sägezahn-Funktion):
[Dateianhang nicht öffentlich]
Zwischen -1 und 1 ist f(x)=x, danach widerholt sich das Ganze periodisch.
Hierfür macht man folgenden Ansatz:
f(x)= [mm] \bruch{a_0}{2}+\summe_{i=1}^{\infty}a_i*cos(i*\pi*x)+\summe_{i=1}^{\infty}b_i*sin(i*\pi*x).
[/mm]
Wenn x=-1 ist, stehen im sin und cos die Werte [mm] -i*\pi, [/mm] für x=1 die Werte [mm] i*\pi. [/mm] Nach dem Abstand 2 zwischen -1 und 1 widerholt sich f(x), nach dem Abstand [mm] 2*\pi [/mm] zwischen [mm] -i*\pi [/mm] und [mm] i*\pi [/mm] wiederholen sich die sin- und cos- Werte und damit auch die rechte Seite der obigen Gleichung.
Alle periodischen Summen lassen sich normaler Weise so darstellen, wobei sie sich nur durch die Koeffizienten [mm] a_i [/mm] und [mm] b_i [/mm] unterscheiden.
Diese Koeffizienten bestimmt man nun so, indem man die linke Seite - hier also f(x)=x - der Reihe nach mit [mm] sin(\pi*x), sin(2*\pi*x), sin(3*\pi*x)... [/mm] von -1 bis 1 integriert und das dann auch mit der rechten Seite macht.
Für die rechte Seite zeigt man vorher, dass alle Integrale
[mm] \integral_{-1}^{1}{sin(i*\pi*x)*sin(j*\pi*x) dx}=0 [/mm] für [mm] i\not=j [/mm] und [mm] \integral_{-1}^{1}{sin(i*\pi*x)*cos(j*\pi*x) dx}=0 [/mm] für alle i und j werden, so dass rechts insgesamt nur der Wert [mm] \integral_{-1}^{1}{b_i*sin(i*\pi*x)*sin(i*\pi*x) dx}= b_i [/mm] herauskommt.
Entsprechend geben alle Integrale [mm] \integral_{-1}^{1}{cos(i*\pi*x)*sin(j*\pi*x) dx}=0 [/mm] für alle i und j und [mm] \integral_{-1}^{1}{cos(i*\pi*x)*cos(j*\pi*x) dx}=0 [/mm] für alle i [mm] \not= [/mm] j, so dass rechts insgesamt nur der Wert [mm] \integral_{-1}^{1}{a_i*cos(i*\pi*x)*cos(i*\pi*x) dx}= a_i [/mm] herauskommt.
Außerdem gibt rechts [mm] \integral_{-1}^{1}{(\bruch{a_0}{2}+\summe_{i=1}^{\infty}a_i*cos(i*\pi*x)+\summe_{i=1}^{\infty}b_i*sin(i*\pi*x)) dx}= \integral_{-1}^{1}{\bruch{a_0}{2} dx}= a_0.
[/mm]
Weil nun aber der rechte Ausdruck mit dem linken - nämlich f(x) - übereinstimmen soll, braucht man nur noch den linken mit [mm] sin(i*\pi*x) [/mm] bzw. [mm] cos(i*\pi*x) [/mm] zu multiplizieren und zu integrieren, so dass die Ergebnisse dann die [mm] a_i [/mm] bzw [mm] b_i [/mm] sind:
[mm] a_i=\integral_{-1}^{1}{f(x)*cos(i*\pi*x) dx}= \integral_{-1}^{1}{x*cos(i*\pi*x) dx}= [/mm] 0 für alle [mm] a_i
[/mm]
[mm] b_i=\integral_{-1}^{1}{f(x)*sin(i*\pi*x) dx}= \integral_{-1}^{1}{x*sin(i*\pi*x) dx}=-\bruch{2}{i\pi}cos(i*\pi)= -\bruch{2}{i\pi}*(-1)^i.
[/mm]
Schließlich ist noch [mm] a_0=\integral_{-1}^{1}{f(x) dx}=\integral_{-1}^{1}{(x) dx}=0.
[/mm]
Insgesamt ergibt sich damit:
[mm] f(x)=\bruch{2}{1*\pi}sin(1*\pi*x)-\bruch{2}{2*\pi}sin(2*\pi*x)+\bruch{2}{3*\pi}sin(3*\pi*x)-\bruch{2}{4*\pi}sin(4*\pi*x)+\bruch{2}{5*\pi}sin(5*\pi*x)-...
[/mm]
Den Graphen siehst du hier, wenn man nur die oben angebebenen 5 Glieder einsetzt. Er hat schon viel Ähnlichkeit mit der Ausgangsfunktion im 1. Bild.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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