Fourierpolynom gesucht < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:30 Fr 01.05.2009 | | Autor: | ganzir |
| Aufgabe | f(t) = [mm] t^{2} [/mm] - 1 , t [mm] \in [/mm] [-1,1]
Bestimmen Sie das Fourierpolynom 3.Grades [mm] F_{3}(t) [/mm] für die o.g. Fkt. |
Mir ist nicht klar, was ich überhaupt tun muss, ich habe in meinen Unterlagen zwar allerhand theoritsche Geschichten zu Fourierreihen, allerdings glaube ich, dass mir ein handfestes Rechenbeispiel mehr bringen würde.
Hier:
http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=1054
Gibt es ein sehr schönes Beispiel für die Taylorreihe, welche mir bei selbiger sehr weitergeholfen hat, so etwas bräuchte ich auch für Fourier, ein Link wäre mir sehr willkommen oder wenn es sowas nicht gibt, wäre es nett, wenn jemand der die Materie beherrscht mal ein Beispiel in diesem Stil machen könnte.
Vielen Dank im Vorraus
Ganzir
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> f(t) = [mm]t^{2}[/mm] - 1 , t [mm]\in[/mm] [-1,1]
>
> Bestimmen Sie das Fourierpolynom 3.Grades [mm]F_{3}(t)[/mm] für die
> o.g. Fkt.
> Mir ist nicht klar, was ich überhaupt tun muss, ich habe
> in meinen Unterlagen zwar allerhand theoritsche Geschichten
> zu Fourierreihen, allerdings glaube ich, dass mir ein
> handfestes Rechenbeispiel mehr bringen würde.
Hallo,
gerechnete Beispiele zu suchen, ist mir zur Stunde zu mühsam - es würde mich auch nicht weniger Zeit kosten als Dich.
Statt hier etwas vorzurechnen, will ich Dir gerade kurz erklären, was zu tun ist, und dann Deine Versuche abwarten.
Vielleicht studierst Du erstmal ![[]](/images/popup.gif) das bei der wikipedia, ich halte mich daran.
Bei der Fourierentwicklung möchte man eine vorgegebene periodische Funktion f als Reihe der Gestalt
[mm] \displaystyle f(t)=\frac{a_0}{2} [/mm] + [mm] \sum_{k=1}^\infty (a_k \cdot \cos(k \omega [/mm] t) + [mm] b_k \cdot \sin(k \omega [/mm] t))
schreiben.
Die Funktion f, die Du jetzt durch ein Fourierpolynom 3. [mm] Grades,\displaystyle f_3(t)=\frac{a_0}{2} [/mm] + [mm] \sum_{k=1}^{3} (a_k \cdot \cos(k \omega [/mm] t) + [mm] b_k \cdot \sin(k \omega [/mm] t)), annähern sollst,
lautet eingeschränkt auf das Intervall [-1,1] [mm] \qquad f(t):=x^2-1. [/mm] Die komplette Funktion ist die, die durch periodische Fortsetzung entsteht, die Periodenlänge T=2, Du solltest Dir auch schonmal überlegen, ob Du eine gerade, eine ungerade Funktion vorliegen hast, oder nichts von beidem.
Du kannst Dir's ja auch mal aufmalen.
Gesucht ist nun, wie gesagt, die dritte Partialsumme der Fourierreihe.
Um diese aufstellen zu können, muß man die Koeffizienten [mm] a_i [/mm] und [mm] b_i [/mm] berechnen. Berechne dazu für n=1,2,3
[mm] \displaystyle a_n=\frac{2}{T}\int_{-1}^{1} [/mm] f(t) [mm] \cdot \cos(n\omega t)\, \mathrm{d}t [/mm] und [mm] \displaystyle b_n=\frac{2}{T}\int_{-1}^{1} [/mm] f(t) [mm] \cdot \sin(n\omega t)\, \mathrm{d}t, [/mm] sowie
[mm] \displaystyle\frac{a_0}{2}=\frac{1}{T}\int_{-1}^{1} [/mm] f(t) [mm] \mathrm{d}t [/mm] .
[mm] \omega [/mm] ist die Grundfrequenz, also [mm] \omega=\bruch{2\pi}{T}=\pi.
[/mm]
Nun müssen die Integrale berechnet werden.
Für gerade und ungerade Funktionen ergeben sich drastische Vereinfachungen, welche Du dem Artikel entnehmen kannst.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:44 Sa 02.05.2009 | | Autor: | ganzir |
| Aufgabe | | Fourierpolynom 3. $ [mm] Grades,\displaystyle f_3(t)=\frac{a_0}{2} [/mm] $ + $ [mm] \sum_{k=1}^{3} (a_k \cdot \cos(k \omega [/mm] $ t) + $ [mm] b_k \cdot \sin(k \omega [/mm] $ t)) |
OK das ganze muss also in diese Form gebracht werden.
$ [mm] \displaystyle\frac{a_0}{2}=\frac{1}{T}\int_{c}^{c+T} [/mm] $ f(t) $ [mm] \mathrm{d}t [/mm] $
Für [mm] \bruch{a_{0}}{2} [/mm] muss ich also obiges Integral berechnen, was ist denn der Wert den du hier mit c bezeichnest? T ist meine Intervalllänge in meinem Fall also 2.
Um diese aufstellen zu können, muß man die Koeffizienten $ [mm] a_i [/mm] $ und $ [mm] b_i [/mm] $ berechnen. Berechne dazu für n=1,2,3
$ [mm] \displaystyle a_n=\frac{2}{T}\int_{-1}^{1} [/mm] $ f(t) $ [mm] \cdot \cos(n\omega t)\, \mathrm{d}t [/mm] $ und $ [mm] \displaystyle b_n=\frac{2}{T}\int_{-1}^{1} [/mm] $ f(t) $ [mm] \cdot \sin(n\omega t)\, \mathrm{d}t, [/mm] $ sowie
Das verwirrt mich nun etwas, du sprichst von [mm] a_{i}, [/mm] sowie [mm] b_{i} [/mm] und im Anschluss von [mm] a_{n} [/mm] und [mm] b_{n}.... [/mm] ist hier immer [mm] a_{k} [/mm] respektive [mm] b_{k} [/mm] gemeint?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:53 Sa 02.05.2009 | | Autor: | Infinit |
Das braucht Dich nicht zu verwirren, das ist nur eine Bezeichnung für die Laufvariable. Nimm einfach Angelas Beispiel und rechne es für n = 3 aus.
Viele Grüße,
Infinit
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> Fourierpolynom 3. [mm]Grades,\displaystyle f_3(t)=\frac{a_0}{2}[/mm]
> + [mm]\sum_{k=1}^{3} (a_k \cdot \cos(k \omega[/mm] t) + [mm]b_k \cdot \sin(k \omega[/mm]
> t))
> OK das ganze muss also in diese Form gebracht werden.
>
> [mm]\displaystyle\frac{a_0}{2}=\frac{1}{T}\int_{c}^{c+T}[/mm] f(t)
> [mm]\mathrm{d}t[/mm]
>
> Für [mm]\bruch{a_{0}}{2}[/mm] muss ich also obiges Integral
> berechnen, was ist denn der Wert den du hier mit c
> bezeichnest? T ist meine Intervalllänge in meinem Fall also
> 2.
Hallo,
bei den anderen [mm] a_i [/mm] habe ich das schon eingesetzt, hier habe ich's vergessen.
Ich habe c=-1 genommen. Man Integriert ja über eine Periode, und ich nehme genau die angegebene von -1 bis 1.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:41 Sa 02.05.2009 | | Autor: | ganzir |
| Aufgabe | | $ [mm] \displaystyle\frac{a_0}{2}=\frac{1}{T}\int_{c}^{c+T} [/mm] $ f(t) |
bei mir also:
[mm] \bruch{a_{0}}{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}\integral_{-1}^{1}{t^{2}-1 dt}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2}[\bruch{t^{3}}{3}-t] [/mm] (von -1 bis 1)
sofern ich mich nicht verrechnet habe ist [mm] \bruch{a_{0}}{2} [/mm] = 0
Ist das soweit schonmal richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:47 Sa 02.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] a_0=0 [/mm] ist richtig, ausserdem sollten alle [mm] b_i=0 [/mm] sein, weil die fkt ja sym. zur y-Achse ist.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:52 Sa 02.05.2009 | | Autor: | ganzir |
| Aufgabe | | $ [mm] \displaystyle a_n=\frac{2}{T}\int_{-1}^{1} [/mm] $ f(t) $ [mm] \cdot \cos(n\omega t)\, \mathrm{d}t [/mm] $ |
Hallo leduart, dann bin ich ja schonmal auf der richtigen Spur....
Nun habe ich noch eine Frage und zwar wurde in der ersten Antwort gesacht, das ich hier für n =1,2,3 einsetzen soll. Warum ist das so? Hat es damit zu tun, dass es ein Polynom 3. Grades werden soll und bei einem 4.Grade würde ich dann 1,2,3,4 einsetzen oder ist dies ein trugschluss?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:00 Sa 02.05.2009 | | Autor: | Infinit |
Ja, so ist es, Du näherst die Funktion durch ein Polynom dritten Grades an.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:13 Sa 02.05.2009 | | Autor: | ganzir |
| Aufgabe | | $ [mm] \displaystyle a_n=\frac{2}{T}\int_{-1}^{1} [/mm] $ [mm] (t^2-1) [/mm] $ [mm] \cdot \cos(n\omega t)\, \mathrm{d}t [/mm] $ |
OK, dann ist mir jetzt in etwa klar was ich tun muss, kann mir jetzt noch jemand sagen wie ich von obigem Integral die Stammfunktion finden kann, ich habe bei sowas immer Schwierigkeiten, sachen wie von [mm] t^2-1 [/mm] die Stammfunktion zu finden bekomme ich ja noch hin, da ich mir die Funktion vorstellen kann, die ich Ableiten muss um auf [mm] t^2-1 [/mm] zu kommen, sobald da aber ein komplizierter Ausdruck steht weiß ich nicht mehr wirklich was ich tun muss.
Greetz
Ganzir
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:29 Sa 02.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
die Summe teilen, und [mm] t^2sin(n\omega*t) [/mm] 2 mal partiell integrieren. [mm] t^2=u sin(n\omega*t)=v'
[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:36 Sa 02.05.2009 | | Autor: | ganzir |
| Aufgabe | | $ [mm] \displaystyle a_n=\frac{2}{T}\int_{-1}^{1} [/mm] $ $ [mm] (t^2-1) [/mm] $ $ [mm] \cdot \cos(n\omega t)\, \mathrm{d}t [/mm] $ |
Hallo leduart,
welche Summe meinst du? Ich habe hier doch "nur" eine Multipliaktion innerhalb des Integrals oder sehe ich das falsch?
Oder meinst du ich soll es ausmultiplizieren:
zu [mm] t^2 [/mm] cos(n [mm] \omega [/mm] t) - cos(n [mm] \omega [/mm] t )
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:37 Sa 02.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Genau das mein ich.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:39 Sa 02.05.2009 | | Autor: | ganzir |
| Aufgabe | | $ [mm] \displaystyle a_n=\frac{2}{T}\int_{-1}^{1} [/mm] $ $ [mm] (t^2-1) [/mm] $ $ [mm] \cdot \cos(n\omega t)\, \mathrm{d}t [/mm] $ |
Hallo,
in meinen Unterlagen habe ich folgendes gefunden, wenn so eine Situation auftritt soll ich so oft partiell integrieren, wie der Grad des Polynoms, in meinem Fall also 3 mal wenn ich das richtig verstanden habe, ich habe das einfach mal gemacht und komme zu folgendem zwischen Ergibnis:
Ich gebe den Rechenweg mal mit an, damit ihr evtl. sehen könnt ob ich irgendwo einen Fehler gemacht habe:
[mm] \integral_{a}^{b}{f(x)g'(x) dx} [/mm] = [mm] [f(x)g(x)]-\integral_{a}^{b}{f'(x)g(x) dx}
[/mm]
Uns wurde gesagt, der trigonometrische Term soll grundsätzlich g' sein. Ich nehme das mal so hin und mache mich ans Werk...
demnach
f(x) = [mm] t^{2}-1
[/mm]
g'(x) = cos(n [mm] \omega [/mm] t)
Erste part.Int. ergibt:
[mm] [(t^{2}-1)(\bruch{sin(n \omega t)}{n \omega}] [/mm] - [mm] \integral_{}^{}{2t \bruch{sin(n \omega t)}{n \omega} dt}
[/mm]
Ich lasse die Int.Grenzen jetzt mal weg, wir behalten im Hinterkopf, dass diese -1 und 1 sind.
Es hat zwar etwas gedauert, bis ich verstanden habe, warum die Stammfunktion von cos(n [mm] \omega [/mm] t) so ist wie sie da oben steht, aber ich denke das Prinzip ist mir nun klar.
Zweite part.Int. von [mm] \integral_{}^{}{2t \bruch{sin(n \omega t)}{n \omega} dt} [/mm] ergibt:
f(x) = 2t
g'(x) = [mm] \bruch{sin(n \omega t)}{n \omega}
[/mm]
[2t [mm] (-\bruch{cos(n \omega t)}{n^{2} \omega^{2}})] [/mm] - [mm] \integral_{}^{}{2 (-\bruch{cos(n \omega t)}{n^{2} \omega^{2}}) dt}
[/mm]
Dritte part.Int von [mm] \integral_{}^{}{2 (-\bruch{cos(n \omega t)}{n^{2} \omega^{2}}) dt} [/mm] ergibt:
f(x) = 2
g'(x) = [mm] -\bruch{cos(n \omega t)}{n^{2} \omega^{2}}
[/mm]
[2 [mm] (-\bruch{sin(n \omega t)}{n^{3} \omega^{3}})] [/mm] - [mm] \integral_{}^{}{0 (was auch immer)dt} [/mm] (Dieses Integral wird immer 0 sein, daher endet die Integration an dieser Stelle)
Demnach also:
[mm] [(t^{2}-1)(\bruch{sin(n \omega t)}{n \omega}] [/mm] - [2t [mm] (-\bruch{cos(n \omega t)}{n^{2} \omega^{2}})] [/mm] - [2 [mm] (-\bruch{sin(n \omega t)}{n^{3} \omega^{3}})]
[/mm]
Ist das soweit richtig und macht Sinn oder habe ich irgendwas missverstanden?
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> Ist das soweit richtig und macht Sinn oder habe ich
> irgendwas missverstanden?
Hallo,
ich habe beim Drüberschauen jedenfalls keinen Fehler entdeckt.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:47 Sa 02.05.2009 | | Autor: | ganzir |
| Aufgabe | | ich habe beim Drüberschauen jedenfalls keinen Fehler entdeckt. |
Das ist ja schonmal ermutigend....
So [mm] \omega [/mm] lässt sich berechnen und t bleibt als Variable stehen.... was passiert hier denn nun mit dem n? Du sagtest was von n= 1,2,3 oder erübrigt sich das bei deisem Lösungsweg?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:57 Sa 02.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
der Grad deines Pol ist 2 deshalb musst du nur 2 mal part. integrieren, die letzte Stufe ist ueberflussig, nach 2 mal hast du doch schon nur noch ein integral ueber ne reine sin oder cos fkt.
Wenn du das mit der part. integration schon hattest, warum fragst du dann uns?
Gruss leduart
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:10 Sa 02.05.2009 | | Autor: | ganzir |
| Aufgabe | | Wenn du das mit der part. integration schon hattest, warum fragst du dann uns? |
Weil ich mir nicht sicher war
a) Wie ich von der eigentlichen Aufgabe bis zu der Stelle komme an der ich integrieren muss
b) Mit das Integrieren dann und wann immer noch so seine Probleme bereitet.
Aber meine letzte Frage bleibt dennoch bestehen, was ist nun mit n?
Hier muss ich ja hin:
$ [mm] \displaystyle f(t)=\frac{a_0}{2} [/mm] $ + $ [mm] \sum_{k=1}^\infty (a_k \cdot \cos(k \omega [/mm] $ t) + $ [mm] b_k \cdot \sin(k \omega [/mm] $ t))
Und da bin ich noch nicht, ich weiß inzwischen, dass [mm] \bruch{a_{0}}{2} [/mm] = 0 ist.
Also
[mm] \displaystyle [/mm] f(t)= [mm] \sum_{k=1}^\infty (a_k \cdot \cos(k \omega [/mm] t) + [mm] b_k \cdot \sin(k \omega [/mm] t))
Nun handelt es sich um eine gerade Funktion, will heißen, der [mm] b_{k} [/mm] Teil fällt weg... also:
[mm] \displaystyle [/mm] f(t)= [mm] \sum_{k=1}^\infty (a_k \cdot \cos(k \omega [/mm] t))
Nun habe ich also diese Form und mein Ergebnis von vorhin nämlich:
$ [mm] [(t^{2}-1)(\bruch{sin(n \omega t)}{n \omega}] [/mm] $ - [2t $ [mm] (-\bruch{cos(n \omega t)}{n^{2} \omega^{2}})] [/mm] $ - [2 $ [mm] (-\bruch{sin(n \omega t)}{n^{3} \omega^{3}})] [/mm] $
Wie kommt das nun zusammen? Das ist mir noch nicht wirklich klar.
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> So [mm]\omega[/mm] lässt sich berechnen und t bleibt als Variable
> stehen....
Hallo,
Du hast ja noch die grenzen einzusetzen und den Faktor [mm] \bruch{2}{T} [/mm] - achso, der ist ja =1.
Jedenfalls ist das t weg, vwqenn Du die Grenzen eingesetzt hast.
Dann schreibst Du Dir schön [mm] a_1, a_2, a_3 [/mm] auf. ( für n einsetzen.)
Anschließend kannst Du dann das dritte Fourierpolynom aufstellen, indem Du die Fourierkoeffizienten einsetzt.
Zum Abschluß ist es dann erhebend, wenn man sich sowohl die Funktion als auch das Fourierpolynom mal plottet.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:34 Sa 02.05.2009 | | Autor: | ganzir |
| Aufgabe | Dann schreibst Du Dir schön $ [mm] a_1, a_2, a_3 [/mm] $ auf. ( für n einsetzen.)
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OK damit ich das jetzt richtig verstehe:
Ich setze hier zunächst die Int.Grenzen ein:
$ [mm] [(t^{2}-1)(\bruch{sin(n \pi t)}{n \pi}] [/mm] $ - [2t $ [mm] (-\bruch{cos(n \pi t)}{n^{2} \pi^{2}})] [/mm] $ - [2 $ [mm] (-\bruch{sin(n \pi t)}{n^{3} \pi^{3}})] [/mm] $
Wir erinnern uns [mm] \omega [/mm] war in meinem Fall = [mm] \pi
[/mm]
Wenn ich nun einsetze wird das erste Glied 0, da [mm] t^2 [/mm] und für t = 1 oder -1 der erste Ausdruck immer 0 wird, bleiben also nur die beilden letzten Glieder übrig. Das führt dann zu:
[mm] [2(-\bruch{cos(n \pi)}{n^{2} \pi^{2}}) [/mm] - [mm] (-2(-\bruch{cos(-n \pi)}{n^{2} \pi^{2}})]-[2(-\bruch{sin(n \pi)}{n^{3} \pi^{3}})-2(-\bruch{sin(-n \pi)}{n^{3} \pi^{3}})]
[/mm]
In diesen Ausdruck setze ich nun für n 1 2 3 ein uns habe damit [mm] a_{1} a_{2} a_{3} [/mm] und das Summenzeichen fällt dann weg, da ich hier
$ [mm] \sum_{k=1}^{3} (a_k \cdot \cos(k \omega [/mm] $ t)
nun die ersten 3 Glieder ausgeschrieben habe?
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> Dann schreibst Du Dir schön [mm]a_1, a_2, a_3[/mm] auf. ( für n
> einsetzen.)
>
> OK damit ich das jetzt richtig verstehe:
>
> Ich setze hier zunächst die Int.Grenzen ein:
>
>
>
> [mm][(t^{2}-1)(\bruch{sin(n \pi t)}{n \pi}][/mm] - [2t
> [mm](-\bruch{cos(n \pi t)}{n^{2} \pi^{2}})][/mm] - [2 [mm](-\bruch{sin(n \pi t)}{n^{3} \pi^{3}})][/mm]
>
> Wir erinnern uns [mm]\omega[/mm] war in meinem Fall = [mm]\pi[/mm]
>
> Wenn ich nun einsetze wird das erste Glied 0, da [mm]t^2[/mm] und
> für t = 1 oder -1 der erste Ausdruck immer 0 wird, bleiben
> also nur die beilden letzten Glieder übrig. Das führt dann
> zu:
>
> [mm][2(-\bruch{cos(n \pi)}{n^{2} \pi^{2}})[/mm] - [mm](-2(-\bruch{cos(-n \pi)}{n^{2} \pi^{2}})]-[2(-\bruch{sin(n \pi)}{n^{3} \pi^{3}})-2(-\bruch{sin(-n \pi)}{n^{3} \pi^{3}})][/mm]
Hallo,
vielleicht kannst du hier ja noch ein bißchen zusammenfassen, wenn Du die Klammern (schön sorgfältig) auflöst und Symmetrieeigenschaften von sin und cos verwendest.
>
> In diesen Ausdruck setze ich nun für n 1 2 3 ein uns habe
> damit [mm]a_{1} , a_{2}, a_{3}[/mm]
Ja.
Dann kannst Du Dir [mm] f_3(t)=(a_1\cdot \cos( \omega[/mm] [/mm] t) [mm] +(a_2 \cdot \cos(2 \omega[/mm] [/mm] t) [mm] +(a_3 \cdot \cos(3 \omega[/mm] [/mm] t) aufschreiben.
(Im Plot müßtest Du es sehen, wenn irgendwo etwas gravieren falsch ist.)
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:11 Sa 02.05.2009 | | Autor: | ganzir |
| Aufgabe | > In diesen Ausdruck setze ich nun für n 1 2 3 ein uns habe
> damit $ [mm] a_{1} [/mm] , [mm] a_{2}, a_{3} [/mm] $
Ja. |
Das habe ich gemacht, .... es kommt überall 0 raus.
[mm] 2(-\bruch{cos(n \pi)}{n^{2} \pi^{2}}) [/mm]
Für n = 1 steht dann dort
[mm] 2(-\bruch{cos(\pi)}{\pi^{2}}) [/mm]
[mm] cos(\pi) [/mm] = -1
daher
[mm] 2(-\bruch{-1}{\pi^{2}}) [/mm] = [mm] 2(\bruch{1}{\pi^{2}}) [/mm] = [mm] \bruch{2}{\pi^{2}}
[/mm]
davon wir subtrahiert:
[mm] (-2(\bruch{cos(-n \pi)}{n^{2} \pi^{2}})
[/mm]
[mm] cos(-\pi) [/mm] = -1
Also:
[mm] (-2(\bruch{-1}{ \pi^{2}}) [/mm] = [mm] \bruch{2}{ \pi^{2}}
[/mm]
Im Endeffekt also [mm] \bruch{2}{\pi^{2}} [/mm] - [mm] \bruch{2}{\pi^{2}} [/mm] = 0
Ähnliches passiert mit dem 2. Glied, da kann doch was nicht stimmen odeR?
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> > In diesen Ausdruck setze ich nun für n 1 2 3 ein uns habe
> > damit [mm]a_{1} , a_{2}, a_{3}[/mm]
>
> Ja.
> Das habe ich gemacht, .... es kommt überall 0 raus.
Hallo,
das ist verdächtig.
Wahrscheinlich hast Du einen Vorzeichenfehler irgendwo.
>>> $ [mm] [2(-\bruch{cos(n \pi)}{n^{2} \pi^{2}}) [/mm] $ - $ [mm] (-2(-\bruch{cos(-n \pi)}{n^{2} \pi^{2}})]-[2(-\bruch{sin(n \pi)}{n^{3} \pi^{3}})-2(-\bruch{sin(-n \pi)}{n^{3} \pi^{3}})] [/mm] $
ist ja sehr fehleranfällig aufgeschrieben. Hast Du mal die Klammern langsam weggemacht?
Ich habe (ohne Gewähr) [mm] -4\bruch{cos(n \pi)}{n^{2} \pi^{2}}+4\bruch{sin(n \pi)}{n^{3} \pi^{3}}bekommen.
[/mm]
Gruß v. Angela
>
> [mm]2(-\bruch{cos(n \pi)}{n^{2} \pi^{2}})[/mm]
>
> Für n = 1 steht dann dort
>
>
> [mm]2(-\bruch{cos(\pi)}{\pi^{2}})[/mm]
>
> [mm]cos(\pi)[/mm] = -1
>
> daher
>
> [mm]2(-\bruch{-1}{\pi^{2}})[/mm] = [mm]2(\bruch{1}{\pi^{2}})[/mm] =
> [mm]\bruch{2}{\pi^{2}}[/mm]
>
> davon wir subtrahiert:
> [mm](-2(\bruch{cos(-n \pi)}{n^{2} \pi^{2}})[/mm]
>
> [mm]cos(-\pi)[/mm] = -1
>
> Also:
>
> [mm](-2(\bruch{-1}{ \pi^{2}})[/mm] = [mm]\bruch{2}{ \pi^{2}}[/mm]
>
> Im Endeffekt also [mm]\bruch{2}{\pi^{2}}[/mm] - [mm]\bruch{2}{\pi^{2}}[/mm] =
> 0
>
> Ähnliches passiert mit dem 2. Glied, da kann doch was nicht
> stimmen odeR?
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 20:41 Sa 02.05.2009 | | Autor: | ganzir |
| Aufgabe | | Hast Du mal die Klammern langsam weggemacht? |
Ich habe die Klammern so gelassen wie sie waren und dann eingesetzt, damit mir nich noch beim Auflösen der Klammern Vorzeichenfehler unterlaufen, die hinterher kein Mensch mehr nachvollziehen kann. Ich habe ja vorgerechnet wie ich die ersten Klammer ausgerechnet habe. Wenn da kein Fehler drin ist, kann das Auflösen der Klammer doch nicht zu einem anderen Ergebnis führen und die Klammern sind das Resultat der Integration von davor, da diese anscheinend richtig war müssen doch auch die Klammern richtig sein..... ich finde den Fehler sofern vorhanden jedenfalls nicht....
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Hallo,
Du hattest ja ausgerechnet
>>> [mm] a_n= [[(t^{2}-1)(\bruch{sin(n \pi t)}{n \pi}] [/mm] - [2t [mm] (-\bruch{cos(n \pi t)}{n^{2} \pi^{2}}) [/mm] - [2 [mm] (-\bruch{sin(n \pi t)}{n^{3} \pi^{3}})] ]_{-1}^1
[/mm]
[mm] =[(t^{2}-1)(\bruch{sin(n \pi t)}{n \pi} [/mm] +2t [mm] (\bruch{cos(n \pi t)}{n^{2} \pi^{2}})-2 (\bruch{sin(n \pi t)}{n^{3} \pi^{3}})]_{-1}^1
[/mm]
[mm] =2\bruch{cos(n \pi )}{n^{2} \pi^{2}})-2 \bruch{sin(n \pi )}{n^{3} \pi^{3}} -[-2\bruch{cos(-n \pi )}{n^{2} \pi^{2}}-2 \bruch{sin(-n \pi )}{n^{3} \pi^{3}})
[/mm]
[mm] =2\bruch{cos(n \pi )}{n^{2} \pi^{2}})-2 \bruch{sin(n \pi )}{n^{3} \pi^{3}}+2\bruch{cos(n \pi )}{n^{2} \pi^{2}}-2 \bruch{sin(n \pi )}{n^{3} \pi^{3}})
[/mm]
[mm] =4*\bruch{cos(n \pi )}{n^{2} \pi^{2}})-4 \bruch{sin(n \pi )}{n^{3} \pi^{3}},
[/mm]
und dies ist für kein n Null.
Du hast irgendwo ein Durcheinander mit den Vorzeichen angerichtet, vermute ich ganz stark.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:06 Sa 02.05.2009 | | Autor: | ganzir |
Hallo, ja in der Tat der Vorzeichenfehler war auch irgendwo, ich habe alles nochmal nachgerechnet und habe jetzt ein Ergebnis, den Rechenweg werde ich nicht nochmal aufführen:
[mm] a_{1} [/mm] = [mm] -\bruch{4}{\pi^{2}}
[/mm]
[mm] a_{2} [/mm] = [mm] \bruch{4}{4\pi^{2}}
[/mm]
[mm] a_{3} [/mm] = [mm] -\bruch{4}{9\pi^{3}}
[/mm]
Demnach
[mm] F_{3}(t)= 0-\bruch{4}{\pi^{2}}cos(\pi [/mm] t) + [mm] \bruch{4}{4\pi^{2}}cos(2 \pi [/mm] t) [mm] -\bruch{4}{9\pi^{3}}cos(3 \pi [/mm] t)
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