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Fourier Reihe: Elektrotechnik Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:52 Do 09.01.2014
Autor: mathefreak89

Aufgabe
Ein Strom mit dem Scheitelwert î hat den angegebenen zeitlichen Verlauf. Es ist die Fourier-Reihe der Funktion anzugeben.

i=î * |sin(wt)|

Hallo zusammen,

den Gleichanteil der Funktion mit [mm] a_0 [/mm] habe ich bereits berechnet.
Da es sich um eine gerade Funktion handelt fehlt mir noch der Koeffizient [mm] a_v. [/mm]

Die Periode habe ich von 0 bis pi angenommen und bin von folgendem Start ausgegangen:

[mm] a_v [/mm] = [mm] \bruch{2}{\pi}*\integral_{0}^{\pi}{ i*sin(wt)*cos(vwt) dwt} [/mm]

Integriert und Grenzen eingesetzt bringt mich zu folgendem:

[mm] a_v= \bruch{2i}{\pi}[\bruch{-cos((1+v)\pi)}{2(1+v)}-\bruch{cos((1-v)\pi)}{2(1-v)}+\bruch{1}{2(1+v)}+\bruch{1}{2(1-v)}] [/mm]

(Das i hier soll eigentlich ein î sein, allerdings wird das anscheinend einfach weggelassen)

An dieser Stelle komme ich nicht weiter.
Kann mir einer behilflich sein und sagen wie ich das ganze etwas vereinfachen kann?

liebe Grüße
mathefreak

        
Bezug
Fourier Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:25 Do 09.01.2014
Autor: MathePower

Hallo mathefreak89,


> Ein Strom mit dem Scheitelwert î hat den angegebenen
> zeitlichen Verlauf. Es ist die Fourier-Reihe der Funktion
> anzugeben.
>  
> i=î * |sin(wt)|
>  Hallo zusammen,
>  
> den Gleichanteil der Funktion mit [mm]a_0[/mm] habe ich bereits
> berechnet.
>  Da es sich um eine gerade Funktion handelt fehlt mir noch
> der Koeffizient [mm]a_v.[/mm]
>  
> Die Periode habe ich von 0 bis pi angenommen und bin von
> folgendem Start ausgegangen:
>  
> [mm]a_v[/mm] = [mm]\bruch{2}{\pi}*\integral_{0}^{\pi}{ i*sin(wt)*cos(vwt) dwt}[/mm]
>  
> Integriert und Grenzen eingesetzt bringt mich zu
> folgendem:
>  
> [mm]a_v= \bruch{2i}{\pi}[\bruch{-cos((1+v)\pi)}{2(1+v)}-\bruch{cos((1-v)\pi)}{2(1-v)}+\bruch{1}{2(1+v)}+\bruch{1}{2(1-v)}][/mm]

>


Bringe diesen Ausdruck auf den Hauptnenner,
wobei auf die Cosinus-Ausdrücke die entsprechenden
Additionstheoreme anzuwenden sind.

  

> (Das i hier soll eigentlich ein î sein, allerdings wird
> das anscheinend einfach weggelassen)
>  
> An dieser Stelle komme ich nicht weiter.
>  Kann mir einer behilflich sein und sagen wie ich das ganze
> etwas vereinfachen kann?
>  
> liebe Grüße
>  mathefreak


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Fourier Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:50 Do 09.01.2014
Autor: mathefreak89

Ich komme dann auf folgendes:

[mm] a_v=\bruch{i}{\pi} [/mm] [ [mm] \bruch{-cos((1+v)\pi)(1-v)+(1-v)-cos((1-v)\pi)+(1+v)}{1-v^2}] [/mm]

Ist es nicht irgendwie möglich das ganze zu vereinfachen unter der Betrachtung, dass sich v ganzzahlig ändert und der cos somit gegebenenfalls wegfällt oder gleich dem anderen cos ist?


Bezug
                        
Bezug
Fourier Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:58 Do 09.01.2014
Autor: MathePower

Hallo mathefreak89,


> Ich komme dann auf folgendes:
>  
> [mm]a_v=\bruch{i}{\pi}[/mm] [
> [mm]\bruch{-cos((1+v)\pi)(1-v)+(1-v)-cos((1-v)\pi)+(1+v)}{1-v^2}][/mm]
>  
> Ist es nicht irgendwie möglich das ganze zu vereinfachen
> unter der Betrachtung, dass sich v ganzzahlig ändert und
> der cos somit gegebenenfalls wegfällt oder gleich dem
> anderen cos ist?
>  


Die Argumente der Cosinüsse sind auszumultiplizieren
und dann diese Additionstheoreme anzuwenden.


Gruss
MathePower

Bezug
                                
Bezug
Fourier Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:14 Do 09.01.2014
Autor: mathefreak89

Nun bin ich bei folgendem angelangt:

[mm] \bruch{2i}{\pi}[\bruch{cos(v\pi)+1}{1-v^2}] [/mm]

Ist das soweit richtig?

Bekomme ich den Cosinus jetz noch irgendwie weg, wenn ich betrachte was passiert wenn ich v einsetzte?



Bezug
                                        
Bezug
Fourier Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:40 Do 09.01.2014
Autor: MathePower

Hallo mathefreak89,

> Nun bin ich bei folgendem angelangt:
>  
> [mm]\bruch{2i}{\pi}[\bruch{cos(v\pi)+1}{1-v^2}][/mm]
>  
> Ist das soweit richtig?
>  


Ja.


> Bekomme ich den Cosinus jetz noch irgendwie weg, wenn ich
> betrachte was passiert wenn ich v einsetzte?
>  


Jetzt musst Du eine Fallunterscheidung nach v machen.
Dementsprechend ergeben sich dann die Koeffizienten.


Gruss
MathePower  

Bezug
                                                
Bezug
Fourier Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:46 Do 09.01.2014
Autor: mathefreak89

Ich würde sagen, dass für gerade v gilt:

[mm] \bruch{4i}{\pi}*\bruch{1}{1-v^2} [/mm]

und für ungerade [mm] a_v=0 [/mm]

soweit gut?

Mein Gleichanteil _0 beträgt übrigens :

[mm] a_0=\bruch{2i}{\pi} [/mm]

Wie stelle ich nun die Fourier Reihe auf?
bzw wie kann ich darstellen, dass nur gerade v beachtet werden

Grüße

Bezug
                                                        
Bezug
Fourier Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:19 Do 09.01.2014
Autor: MathePower

Hallo mathefreak89,

> Ich würde sagen, dass für gerade v gilt:
>  
> [mm]\bruch{4i}{\pi}*\bruch{1}{1-v^2}[/mm]
>  
> und für ungerade [mm]a_v=0[/mm]
>  
> soweit gut?
>  
> Mein Gleichanteil _0 beträgt übrigens :
>  
> [mm]a_0=\bruch{2i}{\pi}[/mm]
>  
> Wie stelle ich nun die Fourier Reihe auf?
>  bzw wie kann ich darstellen, dass nur gerade v beachtet
> werden
>  


Setze v=2k.

Dann ergibt sich die Fourierreihe zu

[mm]\bruch{2}{\pi}+\bruch{4}{\pi}*\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{1-4k^{2}}*\cos\left(2kt\right)[/mm]


> Grüße


Gruss
MathePower

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