Fourier-Reihen < HochschulPhysik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:35 So 18.12.2011 | | Autor: | omarco |
| Aufgabe | 1. Eine Periode einer zeitlich periodischen Funktion f(t) sei durch folgende Wertepaare {t,f}
definiert: {0s,1};{1s,2};{3s,4};{7s,0};{8s,1} und f(t) verlaufe dazwischen jeweils linear. |
Ich habe die Fourier-Reihen so verstanden, dass der Graph angenähert rechteckig verlaufen soll. Wenn wir uns jetzt die Wertepaare angucken und diese linear verinden, bilden sie kein Rechteck. Gibt es da einen Zusammenhang ? Muss es vielleicht kein Rechteck am Ende sein ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:12 So 18.12.2011 | | Autor: | chrisno |
Es muss kein Rechteck sein. Das sieht nach einem "Dreieck" aus. Das Vorgehen zum bestimmen der Fourierkoeffizienten bleibt das Gleiche. Nur kommen eben andere Koeffizienten heraus. Für jede "gutartige" (z.B. stetige) Funktion kann man die Fourierkoeffizienten bestimmen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:07 So 18.12.2011 | | Autor: | omarco |
Also man bildet das Rechteck aus der Summe von sin und cos-Funktionen. Wie bildet man mithilfe von sin- und cos-funktionen ein Dreieck ?
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Hallo!
Da ist kein Rechteck, es ist ein Dreieck!
Prinzipiell solltest du wissen, wie man die Fourier-Koeffizienten zu einer gegebenen Funktion f(t) berechnet.
Hier hast du eine Dreieckfunktion, die du abschnittsweise in drei Graden zerlegen kannst, deren Funktionsvorschrift du ermitteln kannst. Damit mußt du das Integral aufteilen in drei Einzelintegrale, deren Grenzen bei 0, 3, 7 und 8 liegen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:51 So 18.12.2011 | | Autor: | omarco |
> Hallo!
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> Da ist kein Rechteck, es ist ein Dreieck!
Das habe ich schon gesehen, dass es ein Dreieck ist.
Das einzige, was ich verstanden habe, dass man aus der Summe von sin- und cos funktion ein rechteck bilden könnte. Ich kann mir jetzt nicht vorstellen wie ich aus sin und cos-funktionen sowas wie ein dreieck bilden kann? Wann kommt ein Rechteck und wann ein Dreieck zustande. das habe ich noch nicht wirklich verstanden.
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> Prinzipiell solltest du wissen, wie man die
> Fourier-Koeffizienten zu einer gegebenen Funktion f(t)
> berechnet.
Vielleicht habe ich das noch nicht wirklich verstanden? Wo wird das gut erklärt?
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> Hier hast du eine Dreieckfunktion, die du abschnittsweise
> in drei Graden zerlegen kannst, deren Funktionsvorschrift
> du ermitteln kannst. Damit mußt du das Integral aufteilen
> in drei Einzelintegrale, deren Grenzen bei 0, 3, 7 und 8
> liegen.
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Hallo!
Ah, wenn das so ist... Tatsächlich habe ich auf die schnelle keine schöne Webseite gefunden, wo das in kleinen Schritten genau gezeigt wird. Aber im Prinzip geht es so:
Die Fourier-Reihe einer Funktion f(t) läßt sich schreiben als eine Summe von SIN und COS-Funktionen:
[mm] $f(t)=\frac{a_0}{2} [/mm] + [mm] \sum_{k=1}^\infty (a_k \cdot \cos(k \omega [/mm] t) + [mm] b_k \cdot \sin(k \omega [/mm] t))$
Dabei ist [mm] \omega=\frac{T}{2\pi} [/mm] , und T die Periode, also der Abstand, bis sich die Funktionsform wiederholt. Bei dir ist T=8.
Gesucht sind dann die Werte [mm] a_k [/mm] und [mm] b_k [/mm] . Die kann man so berechnen:
[mm] $a_k=\frac{2}{T}\int_{0}^{T} [/mm] f(t) [mm] \cdot \cos(k\omega t)\, [/mm] dt $
[mm] $b_k=\frac{2}{T}\int_{0}^{T} [/mm] f(t) [mm] \cdot \sin(k\omega t)\, [/mm] dt $
Ich mach mal den Anfang:
[mm] $a_0=\frac{2}{8}\int_{0}^{8} [/mm] f(t) [mm] \cdot \cos(0*\frac{8}{2\pi} t)\, [/mm] dt $
[mm] $a_0=\frac{2}{8}\int_{0}^{8} f(t)\, [/mm] dt $
Jetzt schau dir deine Wertepaare an, die Funktion besteht auf dem Intervall [0;8] aus drei unterschiedlichen Gradensegmenten, deshalb muß man das Integral aufteilen:
[mm] $a_0=\frac{2}{8}\left(\int_{0}^{3} f(t)\, dt+\int_{3}^{7} f(t)\, dt+\int_{7}^{8} f(t)\, dt \right)$
[/mm]
Auf dem ersten Teilstück ist $f(t)=t+1_$, wie lautet f(t) auf den anderen beiden?
Wenn du das ausrechnest, kommst du auf
[mm] $a_0=\frac{2}{8}\left(\frac{15}{2}+ 8 +\frac{1}{2} \right)=6$
[/mm]
Auf die gleiche Weise kannst du dir nun [mm] a_1 [/mm] , [mm] a_2, a_3 [/mm] ,... und [mm] b_1 [/mm] , [mm] b_2 [/mm] , [mm] b_3 [/mm] , ... ausrechnen.
Das ist etwas mühseliger, weil die Integrale etwas komplizierter werden, aber da mußt du durch.
Es ist geschickter, wenn man nicht jedes a und nicht jedes b von Hand ausrechnet, sondern von vorn herein das k in der Rechnung stehen läßt. Das macht das Rechnen zwar noch eine Ecke komplizierter, dafür muß man das ganze nur einmal machen, und hat dann eine fertige Formel, die für jedes k das passende [mm] a_k [/mm] bzw. [mm] b_k [/mm] direkt angibt.
Ich weiß nicht, ob es das ist, was du suchst. Es gibt leider keine wirklich anschauliche Erlärung, wie das funktioniert.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:59 So 18.12.2011 | | Autor: | omarco |
Danke für die sehr ausführliche Erklärung :)
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