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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:40 Di 20.12.2011 | | Autor: | krueemel |
| Aufgabe | folgende Funktion ist gegeben
s. Anhang.
Es sollen die Fourier-Koeffizienten des ungeraden Anteils der Funktion berechnet werden. |
Ich habe folgende Funktionen aufgestellt:
[mm] \bruch{2x+2}{\pi} [/mm] für [mm] -\pi [/mm] < x < [mm] -\bruch{\pi}{2}
[/mm]
[mm] \bruch{2x}{\pi} [/mm] für [mm] -\bruch{\pi}{2} [/mm] < x < 0
0 für 0 < x < [mm] \pi
[/mm]
somit ergibt sich für [mm] b_{n}:
[/mm]
(erste Funktion lässt sich splitten, dadruch entstehen 3 Integrale, für f(x) = 0 wird das Integral weggelassen)
[mm] \bruch{2}{\pi^{2}}*\integral_{-\pi}^{-\bruch{\pi}{2}}{x*sin(n*x) dx} [/mm] + [mm] \bruch{2}{\pi}\integral_{-\pi}^{\pi^{2}}{sin(n*x) dx }+ -\bruch{2}{\pi^{2}}*\integral_{-\pi/2}^{0}{x*sin(n*x) dx}
[/mm]
und ich erhalte für ungerade n:
[mm] \bruch{4}{\pi*n} [/mm] - [mm] \bruch{4}{\pi^{2}*n^{2}}
[/mm]
ist das soweit richtig? Kann man die Berechnung beschleunigen? Gibt es da einen Trick?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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> folgende Funktion ist gegeben
> s. Anhang.
> Es sollen die Fourier-Koeffizienten des ungeraden Anteils
> der Funktion berechnet werden.
> Ich habe folgende Funktionen aufgestellt:
Hallo,
eine Periode der Funktion geht von [mm] -\pi [/mm] bis [mm] \pi,
[/mm]
und Du schreibst jetzt die 3 teilfunktionen auf, aus denen sie zusammengesetzt ist, was an sich sinnvoll ist.
>
> [mm]\bruch{2x+2}{\pi}[/mm] für [mm]-\pi[/mm] < x < [mm]-\bruch{\pi}{2}[/mm]
> [mm]\bruch{2x}{\pi}[/mm] für [mm]-\bruch{\pi}{2}[/mm] < x < 0
> 0 für 0 < x < [mm]\pi[/mm]
Die Teilfunktionen solltest Du nochmal gründlich prüfen.
Und gib' ihnen Namen, etwa [mm] f_1, f_2, f_3.
[/mm]
(Setze etwa markante Werte ein, dann siehst Du, daß da was nicht stimmt.)
>
> somit ergibt sich für [mm]b_{n}:[/mm]
[mm] b_n =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} [/mm] f(t) [mm] \cdot \sin(nt)\, \mathrm{d}t
[/mm]
[mm] =\frac{1}{\pi}\int_{...}^{...} f_1(t) \cdot \sin(nt)\, \mathrm{d}t [/mm] + [mm] \frac{1}{\pi}\int_{...}^{...} f_2(t) \cdot \sin(nt)\, \mathrm{d}t+\frac{1}{\pi}\int_{...}^{...} f_3(t) \cdot \sin(nt)\, \mathrm{d}t
[/mm]
> (erste Funktion
> lässt sich splitten, dadruch entstehen 3
> Integrale, für f(x) = 0 wird das Integral weggelassen)
>
> [mm]\bruch{2}{\pi^{2}}*\integral_{-\pi}^{-\bruch{\pi}{2}}{x*sin(n*x) dx}[/mm] + [mm]\bruch{2}{\pi}\integral_{-\pi}^{\pi^{2}}{sin(n*x) dx }+ -\bruch{2}{\pi^{2}}*\integral_{-\pi/2}^{0}{x*sin(n*x) dx}[/mm]
Hier scheinen die eingesetzten Funktionen zu stimmen, aber die Grenzen solltest Du prüfen.
>
> und ich erhalte für ungerade n:
Was denn? [mm] b_n= [/mm] ?
> [mm]\bruch{4}{\pi*n}[/mm] - [mm]\bruch{4}{\pi^{2}*n^{2}}[/mm]
Und was bekommst Du für gerade n?
> ist das soweit richtig?
Wenn Du die Stammfunktionen sagen würdest, könnte man das schnell nachrechnen. Auf einen Blick sehen kann ich das nicht.
> Kann man die Berechnung
> beschleunigen? Gibt es da einen Trick?
"Trick" würde ich das nicht nennen. die zweite Teifunktion an der Achse [mm] x=\pi/2 [/mm] gespiegelt ergibt ja die erste Teilfunktion, so daß
[mm] b_n =2*\frac{1}{\pi}\int_{...}^{...} f_1(t) \cdot \sin(nt)\, \mathrm{d}t [/mm] + [mm] \frac{1}{\pi}\int_{...}^{...} f_2(t) \cdot \sin(nt)\, \mathrm{d}t
[/mm]
Was anderes sehe ich spontan nicht. Aber so aufwendig ist's doch gar nicht.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:50 Di 20.12.2011 | | Autor: | krueemel |
ups, ich hab mich bei der Funktion vertippt:
[mm] \bruch{2x}{\pi}+2 [/mm] für [mm] -\pi [/mm] < x < [mm] -\bruch{\pi}{2}
[/mm]
[mm] \bruch{-2x}{\pi} [/mm] für [mm] -\bruch{\pi}{2} [/mm] < x < 0
0 für 0 < x < [mm] \pi
[/mm]
somit ergibt sich für [mm] b_{n}:
[/mm]
[mm] \bruch{2}{\pi^{2}}*\integral_{-\pi}^{-\bruch{\pi}{2}}{x*sin(n*x) dx} [/mm] + [mm] \bruch{2}{\pi}\integral_{-\pi}^{-\bruch{\pi}{2}}{sin(n*x) dx }+ -\bruch{2}{\pi^{2}}*\integral_{-\pi/2}^{0}{x*sin(n*x) dx}
[/mm]
und ich erhalte für ungerade n:
[mm] b_{n} [/mm] = [mm] \bruch{4}{\pi*n} [/mm] - [mm] \bruch{4}{\pi^{2}*n^{2}}
[/mm]
die Stammfunktionen sind nicht das Problem, wichtig ist, ob das alles richtig aufgeteilt ist in den Integralen.
[mm] \integral_{}^{}{x*sin(n*x) dx} [/mm] = [mm] [\bruch{sin(n*x)}{n^{2}} [/mm] - [mm] \bruch{x*cos(n*x)}{n}]
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{sin(n*x) dx} [/mm] = [- [mm] \bruch{cos(n*x)}{n}]
[/mm]
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Hallo krueemel,
> ups, ich hab mich bei der Funktion vertippt:
>
> [mm]\bruch{2x}{\pi}+2[/mm] für [mm]-\pi[/mm] < x < [mm]-\bruch{\pi}{2}[/mm]
> [mm]\bruch{-2x}{\pi}[/mm] für [mm]-\bruch{\pi}{2}[/mm] < x < 0
> 0 für 0 < x < [mm]\pi[/mm]
>
> somit ergibt sich für [mm]b_{n}:[/mm]
>
> [mm]\bruch{2}{\pi^{2}}*\integral_{-\pi}^{-\bruch{\pi}{2}}{x*sin(n*x) dx}[/mm]
> + [mm]\bruch{2}{\pi}\integral_{-\pi}^{-\bruch{\pi}{2}}{sin(n*x) dx }+ -\bruch{2}{\pi^{2}}*\integral_{-\pi/2}^{0}{x*sin(n*x) dx}[/mm]
>
> und ich erhalte für ungerade n:
> [mm]b_{n}[/mm] = [mm]\bruch{4}{\pi*n}[/mm] - [mm]\bruch{4}{\pi^{2}*n^{2}}[/mm]
>
> die Stammfunktionen sind nicht das Problem, wichtig ist, ob
> das alles richtig aufgeteilt ist in den Integralen.
>
> [mm]\integral_{}^{}{x*sin(n*x) dx}[/mm] = [mm][\bruch{sin(n*x)}{n^{2}}[/mm] -
> [mm]\bruch{x*cos(n*x)}{n}][/mm]
>
> [mm]\integral_{}^{}{sin(n*x) dx}[/mm] = [- [mm]\bruch{cos(n*x)}{n}][/mm]
Die Aufteilung und die Stammfunktionen sind richtig.
Die Fourierkoeffizienten [mm]b_{n}[/mm] leider nicht.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:20 Sa 07.01.2012 | | Autor: | krueemel |
ich habe es nochmal versucht,
Ergebnis für [mm] b_{n}:
[/mm]
für gerade n:
[mm] b_{n} [/mm] = [mm] \bruch{-8}{\pi^{2}n^{2}}
[/mm]
für ungerade n:
[mm] b_{n} [/mm] = 0
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Hallo krueemel,
> ich habe es nochmal versucht,
>
> Ergebnis für [mm]b_{n}:[/mm]
>
> für gerade n:
> [mm]b_{n}[/mm] = [mm]\bruch{-8}{\pi^{2}n^{2}}[/mm]
>
> für ungerade n:
> [mm]b_{n}[/mm] = 0
Hier muss es doch so heißen:
[mm]b_{n}=\left\{\begin{matrix} 0 && \operatorname{,falls \ n \ gerade} \\ \bruch{-8}{\pi^{2}n^{2}} && \operatorname{,falls \ n \ ungerade} \end{matrix}\right[/mm]
Und dann stimmt der Koeffizient [mm]b_{n}[/mm] für n ungerade immer noch nicht.
Gruss
MathePower
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