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| Aufgabe | Bestimmen Sie auf dem (Referenz-) Taylor-Hood Element T
P1 = (0,0) P2 = (1,0) P3 = (0,1)
P4 = (0.5,0.5) P5 = (0,0.5) P6 = (0.5,0)
die sechs Formfunktionen
[mm] s_i(x, [/mm] y) = [mm] a_i x^2 [/mm] + [mm] b_i y^2 [/mm] + [mm] c_i [/mm] xy + [mm] d_i [/mm] x + [mm] e_i [/mm] y + [mm] f_i; [/mm] i = 1; ... ; 6
so, dass gilt:
[mm] s_i(P_j) [/mm] = [mm] \delta_{ij} [/mm] :
Tipp:
Um die Koeffzienten der Formfunktion zu bestimmen bietet es sich an, in Matlab die Vandermonde Matrix V aufzustellen und danach das resultierende Gleichungssystem für die Koeffzienten 6-mal mit den Einheitsvektoren [mm] e_i; [/mm] i = 1,...,6 als rechte Seite zu lösen. |
Also erstmal generell....hatt jmd ne ahnung warum das mit der V matrix funktionieren soll? und die wichtigere, wie sieht V aus? Also es muss ja sowas sein wie
[mm] \pmat{ 1 & A & A^2 & A^3 & A^4 & A^5 \\ 1 & B & B^2 & B^3 & B^4 & B^5 \\ 1 & C & C^2 & C^3 & C^4 & C^5 \\1 & D & D^2 & D^3 & D^4 & D^5 \\1 & E & E^2 & E^3 & E^4 & E^5 \\1 & F & F^2 & F^3 & F^4 & F^5 }*\vektor{a_i \\ b_i\\ c_i\\ d_i\\ e_i\\ f_i}= e_i
[/mm]
So aber was muss ich für A,B,C,D,E,F einsetzen?
[mm] s_i(P_j) [/mm] = [mm] \delta_{ij}: [/mm] müsste ja heißen [mm] s_1(0,0)=1 [/mm] ,also [mm] f_1=1 [/mm] und die anderen gleich 0...
also
[mm] \pmat{ 1 & A & A^2 & A^3 & A^4 & A^5 \\ 1 & B & B^2 & B^3 & B^4 & B^5 \\ 1 & C & C^2 & C^3 & C^4 & C^5 \\1 & D & D^2 & D^3 & D^4 & D^5 \\1 & E & E^2 & E^3 & E^4 & E^5 \\1 & F & F^2 & F^3 & F^4 & F^5 }*\vektor{0 \\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 1}= \vektor{1 \\ 0\\ 0\\0\\0\\0}
[/mm]
kann mir da jmd helfen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:30 Fr 28.01.2011 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Bestimmen Sie auf dem (Referenz-) Taylor-Hood Element T
> P1 = (0,0) P2 = (1,0) P3 = (0,1)
> P4 = (0.5,0.5) P5 = (0,0.5) P6 = (0.5,0)
>
> die sechs Formfunktionen
> [mm]s_i(x,[/mm] y) = [mm]a_i x^2[/mm] + [mm]b_i y^2[/mm] + [mm]c_i[/mm] xy + [mm]d_i[/mm] x + [mm]e_i[/mm] y +
> [mm]f_i;[/mm] i = 1; ... ; 6
> so, dass gilt:
> [mm]s_i(P_j)[/mm] = [mm]\delta_{ij}[/mm] :
>
> Tipp:
> Um die Koeffzienten der Formfunktion zu bestimmen bietet
> es sich an, in Matlab die Vandermonde Matrix V aufzustellen
> und danach das resultierende Gleichungssystem für die
> Koeffzienten 6-mal mit den Einheitsvektoren [mm]e_i;[/mm] i =
> 1,...,6 als rechte Seite zu lösen.
> Also erstmal generell....hatt jmd ne ahnung warum das mit
> der V matrix funktionieren soll? und die wichtigere, wie
> sieht V aus? Also es muss ja sowas sein wie
> [mm]\pmat{ 1 & A & A^2 & A^3 & A^4 & A^5 \\ 1 & B & B^2 & B^3 & B^4 & B^5 \\ 1 & C & C^2 & C^3 & C^4 & C^5 \\1 & D & D^2 & D^3 & D^4 & D^5 \\1 & E & E^2 & E^3 & E^4 & E^5 \\1 & F & F^2 & F^3 & F^4 & F^5 }*\vektor{a_i \\ b_i\\ c_i\\ d_i\\ e_i\\ f_i}= e_i[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
So sieht eine ![[]](/images/popup.gif) Vandermonde Matrix aus, wenn man Polynome
[mm] $p_i(x) [/mm] = [mm] a_i [/mm] + b_ix + [mm] c_ix^2 [/mm] + [mm] d_ix^3 [/mm] + [mm] e_ix^4 [/mm] + [mm] f_ix^5$ [/mm] an den Stützstellen [mm] $x_1$ [/mm] = A, [mm] $x_2$ [/mm] = B, [mm] $x_3$ [/mm] = C, [mm] $x_4$ [/mm] = D, [mm] $x_5$ [/mm] = E, [mm] $x_6$ [/mm] = F mit den Werten [mm] $p_i(x_j) [/mm] = [mm] \delta_{ij}$ [/mm] interpolieren will.
>
> So aber was muss ich für A,B,C,D,E,F einsetzen?
> [mm]s_i(P_j)[/mm] = [mm]\delta_{ij}:[/mm] müsste ja heißen [mm]s_1(0,0)=1[/mm]
> ,also [mm]f_1=1[/mm] und die anderen gleich 0...
> also
> [mm]\pmat{ 1 & A & A^2 & A^3 & A^4 & A^5 \\ 1 & B & B^2 & B^3 & B^4 & B^5 \\ 1 & C & C^2 & C^3 & C^4 & C^5 \\1 & D & D^2 & D^3 & D^4 & D^5 \\1 & E & E^2 & E^3 & E^4 & E^5 \\1 & F & F^2 & F^3 & F^4 & F^5 }*\vektor{0 \\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 1}= \vektor{1 \\ 0\\ 0\\0\\0\\0}[/mm]
>
> kann mir da jmd helfen?
Die [mm] $s_i(x,y)$ [/mm] hängen aber von x und y ab, deshalb sieht die Matrix dann etwas anderst aus:
Wird mit dem Vektor [mm]\vektor{a_i \\ b_i \\ c_i\\ d_i\\ e_i\\ f_i}[/mm] multipliziert, muss in der 1. Spalte [mm] $x_i^2$, [/mm] in der 2. Spalte [mm] $y_i^2$, [/mm] in der 3. Spalte [mm] $x_iy_i$, [/mm] in der 4. Spalte [mm] $x_i$, [/mm] in der 5. Spalte [mm] $y_i$ [/mm] und in der 6. Spalte der Matrix nur 1'en stehen der gegebenen Punkte [mm] $P_i(x_i, y_i)$.
[/mm]
Auf der rechten Seite des Gleichungssystem stehen die Einheitsvektoren, da über die Bedingung [mm]s_i(P_j)[/mm] = [mm]\delta_{ij}[/mm] die Werte festgelegt sind.
Gruß
meili
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hey, danke für deine antwort...ich habs vll noch immer nicht so ganz gerafft...
heißt das also meine matrix sieht so aus?
[mm] \pmat{ x_1^2 & y_1^2 & x_1y_1 & x_1 & y_1 & 1 \\
x_2^2 & y_2^2 & x_2y_2 & x_2 & y_2 & 1 \\
x_3^2 & y_3^2 & x_3y_3 & x_3 & y_3 & 1 \\
x_4^2 & y_4^2 & x_4y_4 & x_4 & y_4 & 1 \\
x_5^2 & y_5^2 & x_5y_5 & x_5 & y_5 & 1 \\
x_6^2 & y_6^2 & x_6y_6 & x_6 & y_6 & 1 \\ }*\vektor{a_i \\ b_i \\ c_i\\ d_i\\ e_i\\ f_i}
[/mm]
und wenn ich P4 nehme also so?
[mm] \pmat{ 0,25 & 0,25 & 0,25 & 0,5&0,5 &1 \\ 0,25 & 0,25 & 0,25 & 0,5&0,5 &1 \\0,25 & 0,25 & 0,25 & 0,5&0,5 &1 \\0,25 & 0,25 & 0,25 & 0,5&0,5 &1 \\0,25 & 0,25 & 0,25 & 0,5&0,5 &1 \\0,25 & 0,25 & 0,25 & 0,5&0,5 &1 \\ }*\vektor{a_4 \\ b_4 \\ c_4\\ d_4\\ e_4\\ f_4}=\vektor{0 \\ 0 \\ 0\\ 1\\ 0\\ 0}
[/mm]
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Hallo KingHenni,
> hey, danke für deine antwort...ich habs vll noch immer
> nicht so ganz gerafft...
> heißt das also meine matrix sieht so aus?
> [mm]\pmat{ x_1^2 & y_1^2 & x_1y_1 & x_1 & y_1 & 1 \\
x_2^2 & y_2^2 & x_2y_2 & x_2 & y_2 & 1 \\
x_3^2 & y_3^2 & x_3y_3 & x_3 & y_3 & 1 \\
x_4^2 & y_4^2 & x_4y_4 & x_4 & y_4 & 1 \\
x_5^2 & y_5^2 & x_5y_5 & x_5 & y_5 & 1 \\
x_6^2 & y_6^2 & x_6y_6 & x_6 & y_6 & 1 \\ }*\vektor{a_i \\ b_i \\ c_i\\ d_i\\ e_i\\ f_i}[/mm]
>
Ja.
>
> und wenn ich P4 nehme also so?
> [mm]\pmat{ 0,25 & 0,25 & 0,25 & 0,5&0,5 &1 \\ 0,25 & 0,25 & 0,25 & 0,5&0,5 &1 \\0,25 & 0,25 & 0,25 & 0,5&0,5 &1 \\0,25 & 0,25 & 0,25 & 0,5&0,5 &1 \\0,25 & 0,25 & 0,25 & 0,5&0,5 &1 \\0,25 & 0,25 & 0,25 & 0,5&0,5 &1 \\ }*\vektor{a_4 \\ b_4 \\ c_4\\ d_4\\ e_4\\ f_4}=\vektor{0 \\ 0 \\ 0\\ 1\\ 0\\ 0}[/mm]
>
In der Matrix
[mm]\pmat{ x_1^2 & y_1^2 & x_1y_1 & x_1 & y_1 & 1 \\
x_2^2 & y_2^2 & x_2y_2 & x_2 & y_2 & 1 \\
x_3^2 & y_3^2 & x_3y_3 & x_3 & y_3 & 1 \\
x_4^2 & y_4^2 & x_4y_4 & x_4 & y_4 & 1 \\
x_5^2 & y_5^2 & x_5y_5 & x_5 & y_5 & 1 \\
x_6^2 & y_6^2 & x_6y_6 & x_6 & y_6 & 1 \\ }[/mm]
stehen doch alle 6 Punktepaare, wobei [mm]P_{i}=\left(x_{i}, \ y_{i}\right)[/mm].
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:47 Sa 29.01.2011 | | Autor: | Kinghenni |
:D das war doch ziemlich dämlich von mir^^
okay jetzt hab ich es...danke euch beiden
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