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| Aufgabe | Ein LKW soll eine Strecke von 300km mit konstanter Geschwindigkeit von x km/h gefahren werden. Dabei muss wegen Geschwindigkeitsbegrenzung 50 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 80 gelten. Wir nehmen an, dass bei einer Geschwindigkeit von x km/h in der Stunde [mm] 10+\frac{x^{2}}{100} [/mm] Liter Diesel verbraucht werden.
(i) Bestimmen Sie die Gesamtkosten der Fahrt in Abhängigkeit von Geschwindigkeit bei einem Dieselpreis von 1,2 Euro pro Liter und einem Stundenlohn des Fahrers von L Euro.
(ii) Finden Sie die ökonomischste Geschwindigkeit bei L=12 und L=24. |
Hallo,
ich bräuchte jemanden der über die Aufgabe schaut und mir gegebenfalls Korrekturhinweise zukommen lässt.
(i) Die Anzahl der Stunden in Abhängigkeit zur Geschwindigkeit ist [mm] \frac{300}{x} [/mm] mit [mm] x\not=0;
[/mm]
Daher entspricht
[mm] f(x)=\frac{300}{x}(1,2(10+\frac{x^{2}}{100})+L)
[/mm]
[mm] \Rightarrow \frac{300}{x}((12+\frac{6x^{2}}{500})+L)
[/mm]
[mm] \Rightarrow \frac{300}{x}(\frac{6000+6x^{2}}{500}+L) [/mm] den Gesamtkosten zur Geschwindigkeit x.
(ii)Der ökonomischste Preis stellt sich in der Kurve als Minimum dar.
Daher wird f'(x)=0 gesucht.
Für L=12:
[mm] f(x)=\frac{300}{x}(\frac{6000+6x^{2}}{500}+12)
[/mm]
[mm] \Rightarrow \frac{1800000+1800x^{2}}{500x}+\frac{3600}{x}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \frac{3600+3,6x^{2}+3600}{x}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \frac{7200+3,6x^{2}}{x}\Rightarrow 3,6x+\frac{7200}{x}
[/mm]
[mm] (3,6x+\frac{7200}{x})' =3,6-\frac{7200}{x^{2}}
[/mm]
[mm] f'(x)=0=3,6-\frac{7200}{x^{2}}
[/mm]
[mm] \Rightarrow x=\pm\sqrt{2000}\approx44,72
[/mm]
44,72km/h < 50km/h, deswegen kann diese Geschwindigkeit nicht angenommen werden. Da allerdings rechtsseitig der Nullstelle die Funktion monoton wachsend ist, stellt die Intervallgrenze 50km/h, den ökonomischsten Preis, da hier ein lokales Minimum existiert.
Für L=24 ergibt sich analog:
[mm] f(x)=3,6x+\frac{10800}{x}
[/mm]
[mm] f'(x)=0=3,6-\frac{10800}{x^{2}}
[/mm]
[mm] \Rightarrow x=\pm\sqrt{3000}\approx54,77
[/mm]
Der ökonomischste Preis liegt bei einer Geschwindigkeit von x=54,77km/h
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:30 Di 01.06.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich seh keinen Fehler der Ansatz ist sicher richtig, die numerik hab ich nur überschlagen.
Gruss leduart
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