Formel für WA-Raum beweisen < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei [mm] (\Omega, \mathcal{A}, \IP) [/mm] ein Wahrscheinlichkeitsraum (d.h. der Stichprobenraum (Menge aller Ergebnisse) ist [mm] \Omega, \mathcal{A} [/mm] ist die Menge aller Ereignisse und [mm] \IP [/mm] die Wahrscheinlichkeitsverteilung), [mm] $n\ge [/mm] 1$ und [mm] $A_{l}\in\mathcal{A}$ [/mm] für [mm] $1\le l\le [/mm] n$. Man zeige, dass gilt:
[mm] $\IP\left(\bigcup_{l=1}^{n}A_{l}\right) [/mm] = [mm] \sum_{l=1}^{n}\left((-1)^{l-1}*\sum_{\left\{k_{1},...,k_{l}\right\}\subseteq \left\{1,...,n\right\}}\IP(A_{k_{1}}\cap ... \cap A_{k_{l}})\right)$
[/mm]
(Falls man es nicht erkennt: Die kleinen Indizes an den k's sind auch l's) |
Hallo!
Ich war erst etwas erschrocken, als ich die Aufgaben für die erste Übung in "Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik" gesehen habe, da es mit der Vorlesung verglichen viel schwerer war, und habe auch einige Probleme mit den Aufgaben und brauche eure Hilfe.
Ich habe mit erstmal mit einer Skizze (Mengenbild, Mengen = Kreise) verdeutlicht, was die Formel oben eigentlich macht (ich rede jetzt mal von Flächen anstatt von Wahrscheinlichkeiten): Sie addiert erst alle Flächen von [mm] A_{1} [/mm] bis [mm] A_{n} [/mm] zusammen, dann zieht sie im nächsten Teilsummanden die Flächen wieder ab, die jeweils als Schnitt von zwei [mm] A_{i}'s [/mm] entstehen, danach addiert sie wieder die dazu, die als Schnitt von drei [mm] A_{i}'s [/mm] entstehen, usw. Auf jeden Fall funktioniert es, am Ende kommt das richtige heraus.
Meine Idee war es, mit Induktion an die Sache heranzugehen. Induktionsanfang habe ich hinbekommen, beim Induktionsschritt habe ich jetzt "Formulierungsprobleme": Also, Formel oben sei für n erfüllt, nun n+1 zeigen:
[mm] $\IP\left(\bigcup_{l=1}^{n+1}A_{l}\right)$
[/mm]
$ = [mm] \IP\left(\left(\bigcup_{l=1}^{n}A_{l}\right)\cup A_{n+1}\right)$
[/mm]
$ = [mm] \IP\left(\bigcup_{l=1}^{n}A_{l}\right) [/mm] + [mm] \IP(A_{n+1}) [/mm] - [mm] \IP\left(\left(\bigcup_{l=1}^{n}A_{l}\right)\cap A_{n+1}\right)$
[/mm]
$ = [mm] \IP\left(\bigcup_{l=1}^{n}A_{l}\right) [/mm] + [mm] \IP(A_{n+1}) [/mm] - [mm] \IP\left(\bigcup_{l=1}^{n}(A_{l}\cap A_{n+1})\right)$
[/mm]
(Darf ich das machen?)
$ = [mm] \sum_{l=1}^{n}\left((-1)^{l-1}*\sum_{\left\{k_{1},...,k_{l}\right\}\subseteq \left\{1,...,n\right\}}\IP(A_{k_{1}}\cap ... \cap A_{k_{l}})\right) [/mm] + [mm] \IP(A_{n+1}) [/mm] - [mm] \sum_{l=1}^{n}\left((-1)^{l-1}*\sum_{\left\{k_{1},...,k_{l}\right\}\subseteq \left\{1,...,n\right\}}\IP(A_{k_{1}}\cap ... \cap A_{k_{l}} \cap A_{n+1})\right)$
[/mm]
Naja, und nun habe ich das Problem, diesen Ausdruck in letztendlich benötigten umzuformen:
[mm] \sum_{l=1}^{n+1}\left((-1)^{l-1}*\sum_{\left\{k_{1},...,k_{l}\right\}\subseteq \left\{1,...,n+1\right\}}\IP(A_{k_{1}}\cap ... \cap A_{k_{l}})\right)
[/mm]
Und zwar weil ich nicht weiß wie ich am besten aus den bis-n-Summen eine bis-n+1-Summe mache...
Oder bin ich mit meiner Idee auf dem falschen Dampfer, sollte ich andersherum beweisen, also bei der Summe anfangen?
Ich würde mich über Hilfe freuen!
Grüße,
Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:34 Do 15.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Stefan!
> Es sei [mm](\Omega, \mathcal{A}, \IP)[/mm] ein
> Wahrscheinlichkeitsraum (d.h. der Stichprobenraum (Menge
> aller Ergebnisse) ist [mm]\Omega, \mathcal{A}[/mm] ist die Menge
> aller Ereignisse und [mm]\IP[/mm] die
> Wahrscheinlichkeitsverteilung), [mm]n\ge 1[/mm] und
> [mm]A_{l}\in\mathcal{A}[/mm] für [mm]1\le l\le n[/mm]. Man zeige, dass
> gilt:
>
> [mm]\IP\left(\bigcup_{l=1}^{n}A_{l}\right) = \sum_{l=1}^{n}\left((-1)^{l-1}*\sum_{\left\{k_{1},...,k_{l}\right\}\subseteq \left\{1,...,n\right\}}\IP(A_{k_{1}}\cap ... \cap A_{k_{l}})\right)[/mm]
Da gibt's leider ein kleines Problem (wofuer du eventuell gar nichts kannst):
Die Teilmenge [mm] $\{ k_1, \dots, k_l \}$ [/mm] von [mm] $\{ 1, \dots, n \}$ [/mm] muss auch genau $l$ Elemente enthalten, also die [mm] $k_i$ [/mm] paarweise verschieden sein. Das steht da aber nicht.
> (Falls man es nicht erkennt: Die kleinen Indizes an den k's
> sind auch l's)
>
> Ich war erst etwas erschrocken, als ich die Aufgaben für
> die erste Übung in "Einführung in die
> Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik" gesehen habe, da
> es mit der Vorlesung verglichen viel schwerer war, und habe
> auch einige Probleme mit den Aufgaben und brauche eure
> Hilfe.
Ja, es sieht nicht so schoen aus, aber irgendwann gewoehnt man sich an solche Ausdruecke (beim Arbeiten hab ich grad auch mit einigen davon zu tun) und macht sowas immer brav per Induktion 
> Ich habe mit erstmal mit einer Skizze (Mengenbild, Mengen =
> Kreise) verdeutlicht, was die Formel oben eigentlich macht
> (ich rede jetzt mal von Flächen anstatt von
> Wahrscheinlichkeiten): Sie addiert erst alle Flächen von
> [mm]A_{1}[/mm] bis [mm]A_{n}[/mm] zusammen, dann zieht sie im nächsten
> Teilsummanden die Flächen wieder ab, die jeweils als
> Schnitt von zwei [mm]A_{i}'s[/mm] entstehen, danach addiert sie
> wieder die dazu, die als Schnitt von drei [mm]A_{i}'s[/mm]
> entstehen, usw. Auf jeden Fall funktioniert es, am Ende
> kommt das richtige heraus.
Genau.
> Meine Idee war es, mit Induktion an die Sache heranzugehen.
Eine sehr gute Idee.
> Induktionsanfang habe ich hinbekommen,
Der ist ja auch einfach, fuer $n = 1$ bleibt nicht viel von der Formel ueber
> beim Induktionsschritt habe ich jetzt "Formulierungsprobleme":
> Also, Formel oben sei für n erfüllt, nun n+1 zeigen:
>
> [mm]\IP\left(\bigcup_{l=1}^{n+1}A_{l}\right)[/mm]
>
> [mm]= \IP\left(\left(\bigcup_{l=1}^{n}A_{l}\right)\cup A_{n+1}\right)[/mm]
>
> [mm]= \IP\left(\bigcup_{l=1}^{n}A_{l}\right) + \IP(A_{n+1}) - \IP\left(\left(\bigcup_{l=1}^{n}A_{l}\right)\cap A_{n+1}\right)[/mm]
>
> [mm]= \IP\left(\bigcup_{l=1}^{n}A_{l}\right) + \IP(A_{n+1}) - \IP\left(\bigcup_{l=1}^{n}(A_{l}\cap A_{n+1})\right)[/mm]
>
> (Darf ich das machen?)
Ja.
> [mm]= \sum_{l=1}^{n}\left((-1)^{l-1}*\sum_{\left\{k_{1},...,k_{l}\right\}\subseteq \left\{1,...,n\right\}}\IP(A_{k_{1}}\cap ... \cap A_{k_{l}})\right) + \IP(A_{n+1}) - \sum_{l=1}^{n}\left((-1)^{l-1}*\sum_{\left\{k_{1},...,k_{l}\right\}\subseteq \left\{1,...,n\right\}}\IP(A_{k_{1}}\cap ... \cap A_{k_{l}} \cap A_{n+1})\right)[/mm]
Ok, dann lass uns mal weitermachen.
Und zwar machst du erst bei der rechten Summe [mm] $\sum_{l=1}^n$ [/mm] eine Indexverschiebung, so dass da [mm] $\sum_{l=2}^{n+1}$ [/mm] steht. Dann nimmst du aus beiden Summen die Faelle $l = n + 1$ (nur rechts) und $l = 1$ (nur links) raus. Zu $l = 1$ gehoert das [mm] $\mathbb{P}(A_{n+1})$, [/mm] und du kannst den Fall $l = 1$ schreiben als [mm] $\sum_{\{ k_1 \} \subseteq \{ 1, \dots, n+1 \}} P(A_{k_1})$ [/mm] (ueberleg dir das!). Den Fall $l = n + 1$ kannst du schreiben als [mm] $\sum_{\{ k_1, \dots, k_{n+1} \} \subseteq \{ 1, \dots, n+1 \}} \mathbb{P}(A_{k_1} \cap \dots \cap \mathbb{P}(A_{k_{n+1}}))$.
[/mm]
Bleibt also noch $l [mm] \in \{ 2, \dots, n \}$. [/mm] Jede Teilmenge $X = [mm] \{ k_1, \dots, k_l \} \subseteq \{ 1, \dots, n+1 \}$ [/mm] hat entweder $n + 1 [mm] \in [/mm] X$ oder $x + 1 [mm] \not\in [/mm] X$.
Im ersten Fall kann man ohne Einschraenkung [mm] $k_l [/mm] = n + 1$ annehmen und man hat [mm] $\mathbb{P}(A_{k_1} \cap \dots \cap A_{k_l)}) [/mm] = [mm] \mathbb{P}(A_{k_1} \cap \dots \cap A_{k_{l-1}} \cap A_{n+1})$; [/mm] dies kommt dann genau einmal in der rechten Summe [mm] $\sum_{l=2}^n$ [/mm] vor.
Andernfalls kommt [mm] $\mathbb{P}(A_{k_1} \cap \dots \cap A_{k_l)})$ [/mm] genau einmal in der linken Summe [mm] $\sum_{l=2}^n$ [/mm] vor.
Du kannst also die beiden Summen [mm] $\sum_{l=2}^n$ [/mm] zusammenfassen zu [mm] $\sum_{l=2}^n \sum_{\{ a_1, \dots, a_l \} \subseteq \{ 1, \dots, n+1 \}} \mathbb{P}(A_{k_1} \cap \dots \cap A_{k_l)})$.
[/mm]
Ich hoffe das hilft dir weiter...
LG Felix
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Hallo Felix,
zunächst vielen Dank, dass du dir Zeit genommen hast, meine lange Frage zu beantworten 
> Die Teilmenge [mm]\{ k_1, \dots, k_l \}[/mm] von [mm]\{ 1, \dots, n \}[/mm]
> muss auch genau [mm]l[/mm] Elemente enthalten, also die [mm]k_i[/mm]
> paarweise verschieden sein. Das steht da aber nicht.
Ich verstehe, was du meinst, jetzt sehe ich es auch. Aber ich denke, die meinen auf dem Übungsblatt das Richtige
> > [mm]= \sum_{l=1}^{n}\left((-1)^{l-1}*\sum_{\left\{k_{1},...,k_{l}\right\}\subseteq \left\{1,...,n\right\}}\IP(A_{k_{1}}\cap ... \cap A_{k_{l}})\right) + \IP(A_{n+1}) - \sum_{l=1}^{n}\left((-1)^{l-1}*\sum_{\left\{k_{1},...,k_{l}\right\}\subseteq \left\{1,...,n\right\}}\IP(A_{k_{1}}\cap ... \cap A_{k_{l}} \cap A_{n+1})\right)[/mm]
> Und zwar machst du erst bei der rechten Summe [mm]\sum_{l=1}^n[/mm]
> eine Indexverschiebung, so dass da [mm]\sum_{l=2}^{n+1}[/mm] steht.
Ich halte mich jetzt an deine Beschreibung:
$= [mm] \sum_{l=1}^{n}\left((-1)^{l-1}*\sum_{\left\{k_{1},...,k_{l}\right\}\subseteq \left\{1,...,n\right\}}\IP(A_{k_{1}}\cap ... \cap A_{k_{l}})\right) [/mm] + [mm] \IP(A_{n+1}) [/mm] - [mm] \sum_{l=2}^{n+1}\left((-1)^{l}*\sum_{\left\{k_{1},...,k_{l-1}\right\}\subseteq \left\{1,...,n\right\}}\IP(A_{k_{1}}\cap ... \cap A_{k_{l-1}} \cap A_{n+1})\right)$
[/mm]
> Dann nimmst du aus beiden Summen die Faelle [mm]l = n + 1[/mm] (nur
> rechts) und [mm]l = 1[/mm] (nur links) raus.
$= [mm] \left[\sum_{l=2}^{n}\left((-1)^{l-1}*\sum_{\left\{k_{1},...,k_{l}\right\}\subseteq \left\{1,...,n\right\}}\IP(A_{k_{1}}\cap ... \cap A_{k_{l}})\right) + \sum_{\{ k_1 \} \subseteq \{ 1, \dots, n \}} P(A_{k_1})\right] [/mm] + [mm] \IP(A_{n+1}) [/mm] - [mm] \left[\sum_{l=2}^{n}\left((-1)^{l}*\sum_{\left\{k_{1},...,k_{l-1}\right\}\subseteq \left\{1,...,n\right\}}\IP(A_{k_{1}}\cap ... \cap A_{k_{l-1}} \cap A_{n+1})\right) - \sum_{\{ k_1, \dots, k_{n+1} \} \subseteq \{ 1, \dots, n+1 \}} \mathbb{P}(A_{k_1} \cap \dots \cap \mathbb{P}(A_{k_{n+1}}))\right]$
[/mm]
> Zu [mm]l = 1[/mm] gehoert das
> [mm]\mathbb{P}(A_{n+1})[/mm], und du kannst den Fall [mm]l = 1[/mm] schreiben
> als [mm]\sum_{\{ k_1 \} \subseteq \{ 1, \dots, n+1 \}} P(A_{k_1})[/mm]
> (ueberleg dir das!). Den Fall [mm]l = n + 1[/mm] kannst du schreiben
> als [mm]\sum_{\{ k_1, \dots, k_{n+1} \} \subseteq \{ 1, \dots, n+1 \}} \mathbb{P}(A_{k_1} \cap \dots \cap \mathbb{P}(A_{k_{n+1}}))[/mm].
$= [mm] \sum_{l=2}^{n}\left((-1)^{l-1}*\sum_{\left\{k_{1},...,k_{l}\right\}\subseteq \left\{1,...,n\right\}}\IP(A_{k_{1}}\cap ... \cap A_{k_{l}})\right) [/mm] + [mm] \sum_{\{ k_1 \} \subseteq \{ 1, \dots, n + 1 \}} P(A_{k_1}) [/mm] - [mm] \sum_{l=2}^{n}\left((-1)^{l}*\sum_{\left\{k_{1},...,k_{l-1}\right\}\subseteq \left\{1,...,n\right\}}\IP(A_{k_{1}}\cap ... \cap A_{k_{l-1}} \cap A_{n+1})\right) [/mm] + [mm] \sum_{\{ k_1, \dots, k_{n+1} \} \subseteq \{ 1, \dots, n+1 \}} \mathbb{P}(A_{k_1} \cap \dots \cap \mathbb{P}(A_{k_{n+1}}))$
[/mm]
> Bleibt also noch [mm]l \in \{ 2, \dots, n \}[/mm]. Jede Teilmenge [mm]X = \{ k_1, \dots, k_l \} \subseteq \{ 1, \dots, n+1 \}[/mm]
> hat entweder [mm]n + 1 \in X[/mm] oder [mm]x + 1 \not\in X[/mm].
> ...
> Du kannst also die beiden Summen [mm]\sum_{l=2}^n[/mm]
> zusammenfassen zu [mm]\sum_{l=2}^n \sum_{\{ a_1, \dots, a_l \} \subseteq \{ 1, \dots, n+1 \}} \mathbb{P}(A_{k_1} \cap \dots \cap A_{k_l)})[/mm].
D.h. ich erhalte:
$= [mm] \sum_{l=2}^{n}\left((-1)^{l-1}*\sum_{\left\{k_{1},...,k_{l}\right\}\subseteq \left\{1,...,n\right\}}\IP(A_{k_{1}}\cap ... \cap A_{k_{l}})\right) [/mm] + [mm] \sum_{l=2}^{n}\left((-1)^{l-1}*\sum_{\left\{k_{1},...,k_{l-1}\right\}\subseteq \left\{1,...,n\right\}}\IP(A_{k_{1}}\cap ... \cap A_{k_{l-1}} \cap A_{n+1})\right) +\sum_{\{ k_1 \} \subseteq \{ 1, \dots, n + 1 \}} P(A_{k_1}) [/mm] + [mm] \sum_{\{ k_1, \dots, k_{n+1} \} \subseteq \{ 1, \dots, n+1 \}} \mathbb{P}(A_{k_1} \cap \dots \cap \mathbb{P}(A_{k_{n+1}}))$
[/mm]
$= [mm] \sum_{l=2}^n\left( (-1)^{l-1}*\sum_{\{ k_1, \dots, k_l \} \subseteq \{ 1, \dots, n+1 \}} \mathbb{P}(A_{k_1} \cap \dots \cap A_{k_l}) \right)+ \sum_{\{ k_1 \} \subseteq \{ 1, \dots, n + 1 \}} P(A_{k_1}) [/mm] + [mm] \sum_{\{ k_1, \dots, k_{n+1} \} \subseteq \{ 1, \dots, n+1 \}} \mathbb{P}(A_{k_1} \cap \dots \cap \mathbb{P}(A_{k_{n+1}}))$
[/mm]
Ich will aber ehrlich sein und zugeben, dass ich noch nicht ganz verstanden habe, warum die beiden Summen genau zusammenpassen, es ist für mich zumindest noch nicht offensichtlich. Ich werde es mir morgen nochmal in Ruhe anschauen, aber falls du noch ein paar erhellende Worte hast (oder jemand anderes, falls er sich diesen Monster - Beitrag durchliest ) und sie dir auf der Zunge liegen, spuck sie aus
Die beiden Teilsummen lassen sich nun in die große Summe einarbeiten, das verstehe ich:
$= [mm] \sum_{l=1}^{n+1}\left( (-1)^{l-1}*\sum_{\{ k_1, \dots, k_l \} \subseteq \{ 1, \dots, n+1 \}} \mathbb{P}(A_{k_1} \cap \dots \cap A_{k_l}) \right)$
[/mm]
q.e.d. (juhu!)
Stimmt das soweit?
Vielen Dank für Eure Hilfe,
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 06:57 Fr 16.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Stefan,
> > Bleibt also noch [mm]l \in \{ 2, \dots, n \}[/mm]. Jede Teilmenge [mm]X = \{ k_1, \dots, k_l \} \subseteq \{ 1, \dots, n+1 \}[/mm]
> > hat entweder [mm]n + 1 \in X[/mm] oder [mm]x + 1 \not\in X[/mm].
> > ...
> > Du kannst also die beiden Summen [mm]\sum_{l=2}^n[/mm]
> > zusammenfassen zu [mm]\sum_{l=2}^n \sum_{\{ a_1, \dots, a_l \} \subseteq \{ 1, \dots, n+1 \}} \mathbb{P}(A_{k_1} \cap \dots \cap A_{k_l)})[/mm].
>
>
> D.h. ich erhalte:
> [...]
> [mm]= \sum_{l=2}^n\left( (-1)^{l-1}*\sum_{\{ k_1, \dots, k_l \} \subseteq \{ 1, \dots, n+1 \}} \mathbb{P}(A_{k_1} \cap \dots \cap A_{k_l}) \right)+ \sum_{\{ k_1 \} \subseteq \{ 1, \dots, n + 1 \}} P(A_{k_1}) + \sum_{\{ k_1, \dots, k_{n+1} \} \subseteq \{ 1, \dots, n+1 \}} \mathbb{P}(A_{k_1} \cap \dots \cap \mathbb{P}(A_{k_{n+1}}))[/mm]
>
> Ich will aber ehrlich sein und zugeben, dass ich noch nicht
> ganz verstanden habe, warum die beiden Summen genau
> zusammenpassen, es ist für mich zumindest noch nicht
> offensichtlich. Ich werde es mir morgen nochmal in Ruhe
> anschauen, aber falls du noch ein paar erhellende Worte
> hast (oder jemand anderes, falls er sich diesen Monster -
> Beitrag durchliest ) und sie dir auf der Zunge liegen,
> spuck sie aus
>
> Die beiden Teilsummen lassen sich nun in die große Summe
> einarbeiten, das verstehe ich:
>
> [mm]= \sum_{l=1}^{n+1}\left( (-1)^{l-1}*\sum_{\{ k_1, \dots, k_l \} \subseteq \{ 1, \dots, n+1 \}} \mathbb{P}(A_{k_1} \cap \dots \cap A_{k_l}) \right)[/mm]
Also: ueberleg dir, dass jeder Summand von der Summe unten entweder genau einem Summanden aus der ersten Summe oben (falls $n + 1 [mm] \not\in \{ k_1, \dots, k_l \}$) [/mm] oder genau einem Summanden aus der zweiten Summe oben (falls $n + 1 [mm] \in \{ k_1, \dots, k_l \}$) [/mm] entsprechen.
> Stimmt das soweit?
Sieht so aus.
LG Felix
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Hallo Felix,
danke nochmal für die Antworten. Ich habe jetzt mal eine Begründung verfasst, die ich dann zwischen die beiden Summen schreiben würde:
"
Im Folgenden wird gezeigt, dass
[mm] $\sum_{\{ k_1, \dots, k_l \} \subseteq \{ 1, \dots, n+1 \}} \mathbb{P}(A_{k_1} \cap \dots \cap A_{k_l}) [/mm] = [mm] \sum_{\left\{k_{1},...,k_{l}\right\}\subseteq \left\{1,...,n\right\}}\IP(A_{k_{1}}\cap [/mm] ... [mm] \cap A_{k_{l}})+\sum_{\left\{k_{1},...,k_{l-1}\right\}\subseteq \left\{1,...,n\right\}}\IP(A_{k_{1}}\cap [/mm] ... [mm] \cap A_{k_{l-1}} \cap A_{n+1})$
[/mm]
gilt.
Für alle Teilmengen [mm] $\left\{k_{1},...,k_{l}\right\}\subset\left\{1,...,n+1\right\}$ [/mm] mit [mm] $1\le [/mm] l = [mm] \left|\left\{k_{1},...,k_{l}\right\}\right| \le [/mm] n$ gilt entweder [mm] $n+1\in\left\{k_{1},...,k_{l}\right\}$ [/mm] oder [mm] $n+1\notin\left\{k_{1},...,k_{l}\right\}$.
[/mm]
Falls [mm] $n+1\in\left\{k_{1},...,k_{l}\right\}$, [/mm] so sei o. E. [mm] $k_{l} [/mm] = n+1$, d.h. es ist dann [mm] $\left\{k_{1},...,k_{l-1}\right\}\subset\left\{1,...,n\right\}$. [/mm] Somit treten alle Summanden von [mm] $\sum_{\{ k_1, \dots, k_l \} \subseteq \{ 1, \dots, n+1 \}} \mathbb{P}(A_{k_1} \cap \dots \cap A_{k_l})$ [/mm] mit [mm] $n+1\in\left\{k_{1},...,k_{l}\right\}$ [/mm] genau einmal in [mm] $\sum_{\left\{k_{1},...,k_{l}\right\}\subseteq \left\{1,...,n\right\}}\IP(A_{k_{1}}\cap [/mm] ... [mm] \cap A_{k_{l}})$ [/mm] auf.
Falls [mm] $n+1\notin\left\{k_{1},...,k_{l}\right\}$, [/mm] so ist [mm] $\left\{k_{1},...,k_{l}\right\}\subset\left\{1,...,n\right\}$.
[/mm]
Somit treten alle Summanden von [mm] $\sum_{\{ k_1, \dots, k_l \} \subseteq \{ 1, \dots, n+1 \}} \mathbb{P}(A_{k_1} \cap \dots \cap A_{k_l})$ [/mm] mit [mm] $n+1\notin\left\{k_{1},...,k_{l}\right\}$ [/mm] genau einmal in [mm] $\sum_{\left\{k_{1},...,k_{l-1}\right\}\subseteq \left\{1,...,n\right\}}\IP(A_{k_{1}}\cap [/mm] ... [mm] \cap A_{k_{l-1}}\cap A_{n+1})$ [/mm] auf.
"
Ist das so okay?
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:48 Fr 16.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> danke nochmal für die Antworten. Ich habe jetzt mal eine
> Begründung verfasst, die ich dann zwischen die beiden
> Summen schreiben würde:
>
> "
> Im Folgenden wird gezeigt, dass
>
> [mm]\sum_{\{ k_1, \dots, k_l \} \subseteq \{ 1, \dots, n+1 \}} \mathbb{P}(A_{k_1} \cap \dots \cap A_{k_l}) = \sum_{\left\{k_{1},...,k_{l}\right\}\subseteq \left\{1,...,n\right\}}\IP(A_{k_{1}}\cap ... \cap A_{k_{l}})+\sum_{\left\{k_{1},...,k_{l-1}\right\}\subseteq \left\{1,...,n\right\}}\IP(A_{k_{1}}\cap ... \cap A_{k_{l-1}} \cap A_{n+1})[/mm]
>
> gilt.
>
> Für alle Teilmengen
> [mm]\left\{k_{1},...,k_{l}\right\}\subset\left\{1,...,n+1\right\}[/mm]
> mit [mm]1\le l = \left|\left\{k_{1},...,k_{l}\right\}\right| \le n[/mm]
> gilt entweder [mm]n+1\in\left\{k_{1},...,k_{l}\right\}[/mm] oder
> [mm]n+1\notin\left\{k_{1},...,k_{l}\right\}[/mm].
>
> Falls [mm]n+1\in\left\{k_{1},...,k_{l}\right\}[/mm], so sei o. E.
> [mm]k_{l} = n+1[/mm], d.h. es ist dann
> [mm]\left\{k_{1},...,k_{l-1}\right\}\subset\left\{1,...,n\right\}[/mm].
> Somit treten alle Summanden von [mm]\sum_{\{ k_1, \dots, k_l \} \subseteq \{ 1, \dots, n+1 \}} \mathbb{P}(A_{k_1} \cap \dots \cap A_{k_l})[/mm]
> mit [mm]n+1\in\left\{k_{1},...,k_{l}\right\}[/mm] genau einmal in
> [mm]\sum_{\left\{k_{1},...,k_{l}\right\}\subseteq \left\{1,...,n\right\}}\IP(A_{k_{1}}\cap ... \cap A_{k_{l}})[/mm]
> auf.
>
> Falls [mm]n+1\notin\left\{k_{1},...,k_{l}\right\}[/mm], so ist
> [mm]\left\{k_{1},...,k_{l}\right\}\subset\left\{1,...,n\right\}[/mm].
> Somit treten alle Summanden von [mm]\sum_{\{ k_1, \dots, k_l \} \subseteq \{ 1, \dots, n+1 \}} \mathbb{P}(A_{k_1} \cap \dots \cap A_{k_l})[/mm]
> mit [mm]n+1\notin\left\{k_{1},...,k_{l}\right\}[/mm] genau einmal in
> [mm]\sum_{\left\{k_{1},...,k_{l-1}\right\}\subseteq \left\{1,...,n\right\}}\IP(A_{k_{1}}\cap ... \cap A_{k_{l-1}}\cap A_{n+1})[/mm]
> auf.
>
> "
>
> Ist das so okay?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") :)
LG Felix
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| Aufgabe | | Man wende diese Formel auf folgendes Szenario an: Zu einer Tanzveranstaltung erscheinen n Paare. Um für Abwechslung zu sorgen, wird jeder Dame rein zufällig einer der Herren zugelost. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein ursprüngliches Paar miteinander tanzen wird? Bestimmen Sie den Grenzwert dieser Wahrscheinlichkeit für [mm] n\to\infty. [/mm] |
Hallo Felix,
danke für die Bestätigung
Die Aufgabe hat nun noch einen zweiten Teil (siehe obige Aufgabe). Mir gelingt es aber irgendwie überhaupt nicht, die Formel mit der Aufgabe in Verbindung zu bringen. Naja, einen "Interpretationsversuch" habe ich:
Angenommen, [mm] A_{1}, A_{2}, [/mm] ... , [mm] A_{n} [/mm] seien die Damen, [mm] A_{1}', A_{2}', [/mm] ..., [mm] A_{n}' [/mm] die zugehörigen Herren. Der Ergebnisraum ist dann die Menge aller Herren. Ich habe mit das nun so vorgestellt:
-------------------
[mm] A_{1} A_{2} [/mm] ... [mm] A_{n}
[/mm]
-------------------
[mm] A_{1}' [/mm] ......
-------------------
Man überlegt sich, dass wenn [mm] A_{1}' [/mm] fest zu [mm] A_{1} [/mm] zugeteilt wird, es nun egal ist, wie die anderen Herren [mm] A_{2}' [/mm] bis [mm] A_{n}' [/mm] zu den restlichen Damen [mm] A_{2} [/mm] bis [mm] A_{n} [/mm] zugeteilt werden, weil ja ein Paar schon übereinstimmt. Dafür gibt es nun (n-1)! Möglichkeiten. Weil genauso gut [mm] A_{2} [/mm] und [mm] A_{2}' [/mm] fest sein könnten, usw., gibt es insgesamt $n*(n-1)! = n!$ Möglichkeiten.
Bei dieser Variante wurden nun aber viele Kombinationen doppelt in die Wahrscheinlichkeit reingezählt, weil zum Beispiel bei den restlichen Verteilungen des festen Paares [mm] A_{1} [/mm] - [mm] A_{1}' [/mm] auch das Paar [mm] A_{2} [/mm] - [mm] A_{2}' [/mm] sich einige Male wiederfindet ( (n-2)! - mal, dachte ich mir ), genauso umgekehrt.
Also muss man nun wieder etwas abziehen, und zwar wahrscheinlich eben gerade diese Doppel-Kombinationen, ...
Aber irgendwie habe das Gefühl, dass ich damit auf dem Holzweg bin, auch weil mir noch völlig die Verbindung zur Wahrscheinlichkeit fehlt.
Kann mir jemand helfen, einen vernünftigen Ansatz für diese Aufgabe zu finden?
Vielen Dank!
Grüße,
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:27 Sa 17.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Stefan!
> Man wende diese Formel auf folgendes Szenario an: Zu einer
> Tanzveranstaltung erscheinen n Paare. Um für Abwechslung
> zu sorgen, wird jeder Dame rein zufällig einer der Herren
> zugelost. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
> mindestens ein ursprüngliches Paar miteinander tanzen
> wird? Bestimmen Sie den Grenzwert dieser Wahrscheinlichkeit
> für [mm]n\to\infty.[/mm]
>
> Hallo Felix,
>
> danke für die Bestätigung
> Die Aufgabe hat nun noch einen zweiten Teil (siehe obige
> Aufgabe). Mir gelingt es aber irgendwie überhaupt nicht,
> die Formel mit der Aufgabe in Verbindung zu bringen. Naja,
> einen "Interpretationsversuch" habe ich:
>
> Angenommen, [mm]A_{1}, A_{2},[/mm] ... , [mm]A_{n}[/mm] seien die Damen,
> [mm]A_{1}', A_{2}',[/mm] ..., [mm]A_{n}'[/mm] die zugehörigen Herren. Der
> Ergebnisraum ist dann die Menge aller Herren. Ich habe mit
> das nun so vorgestellt:
>
> -------------------
> [mm]A_{1} A_{2}[/mm] ... [mm]A_{n}[/mm]
> -------------------
> [mm]A_{1}'[/mm] ......
> -------------------
>
> Man überlegt sich, dass wenn [mm]A_{1}'[/mm] fest zu [mm]A_{1}[/mm]
> zugeteilt wird, es nun egal ist, wie die anderen Herren
> [mm]A_{2}'[/mm] bis [mm]A_{n}'[/mm] zu den restlichen Damen [mm]A_{2}[/mm] bis [mm]A_{n}[/mm]
> zugeteilt werden, weil ja ein Paar schon übereinstimmt.
> Dafür gibt es nun (n-1)! Möglichkeiten. Weil genauso gut
> [mm]A_{2}[/mm] und [mm]A_{2}'[/mm] fest sein könnten, usw., gibt es
> insgesamt [mm]n*(n-1)! = n![/mm] Möglichkeiten.
>
> Bei dieser Variante wurden nun aber viele Kombinationen
> doppelt in die Wahrscheinlichkeit reingezählt, weil zum
> Beispiel bei den restlichen Verteilungen des festen Paares
> [mm]A_{1}[/mm] - [mm]A_{1}'[/mm] auch das Paar [mm]A_{2}[/mm] - [mm]A_{2}'[/mm] sich einige
> Male wiederfindet
Genau.
> ( (n-2)! - mal, dachte ich mir ), genauso umgekehrt.
>
> Also muss man nun wieder etwas abziehen, und zwar
> wahrscheinlich eben gerade diese Doppel-Kombinationen, ...
>
> Aber irgendwie habe das Gefühl, dass ich damit auf dem
> Holzweg bin, auch weil mir noch völlig die Verbindung zur
> Wahrscheinlichkeit fehlt.
>
> Kann mir jemand helfen, einen vernünftigen Ansatz für
> diese Aufgabe zu finden?
Nun, die Mengen der Zuordnungen (dein Grundraum) sind ja praktisch die Menge [mm] $S_n$ [/mm] der bijektiven Abbildungen [mm] $\{ 1, \dots, n \} \to \{ 1, \dots, n \}$: [/mm] sie bilden von der Frauenmenge auf die Maennermenge ab (oder umgekehrt, macht keinen Unterschied). Du willst jetzt wissen, wieviele Elemente von [mm] $S_n$ [/mm] mindestens einen Fixpunkt haben (oder umgekehrt: keinen Fixpunkt haben).
Sei die Menge der Elemente aus [mm] $\Omega [/mm] = [mm] S_n$, [/mm] die mindestens einen Fixpunkt haben, mit [mm] $T_n$ [/mm] bezeichnet: dann ist deine gesuchte Wahrscheinlichkeit [mm] $\IP(T_n) [/mm] = [mm] \frac{|T_n|}{|S_n|}$.
[/mm]
Nun kannst du aber [mm] $T_n$ [/mm] so beschreiben: fuer $i [mm] \in \{ 1, \dots, n \}$ [/mm] sei [mm] $T_{n,i} [/mm] = [mm] \{ \sigma \in S_n \mid \sigma(i) = i \}$, [/mm] also die Menge der Abbildungen die $i$ festhalten. Dann gilt [mm] $T_n [/mm] = [mm] \bigcup_{i=1}^n T_{n,i}$. [/mm] Jetzt kannst du mit der Formel aus der vorherigen Aufgabe [mm] $\IP(T_n)$ [/mm] bestimmen.
Tipp: du kannst die Anzahl der Elemente in [mm] $T_{n_{i_1}} \cap \dots \cap T_{n_{i_t}}$ [/mm] genau angeben: der Schnitt ist ja [mm] $\{ \sigma \in S_n \mid \sigma(i_1) = i_1, \dots, \sigma(i_t) = i_t \}$. [/mm] Du hast also $t$ Punkte fest gewaehlt, und kannst die restlichen $n - t$ Punkte beliebig permutieren. Damit hat dies die gleiche Kardinalitaet wie [mm] $S_{n - t}$, [/mm] also $(n - t)!$.
LG Felix
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Hallo Felix,
deine Antwort hat mir sehr weitergeholfen. Ich bewundere dich dafür, dass du da durchgeblickt hast
Ich habe es jetzt erstmal so gemacht:
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung zu obigem Experiment ist Laplace-verteilt, weil jede Zuordnung der Herren zu den Männern aufgrund des Losverfahrens gleichwahrscheinlich ist.
Es ist
[mm] $\Omega [/mm] = [mm] S_{n}:=\{f|f:\{1,...,n\}\to\{1,...,n\} \mbox{ ist bijektive Abbildung}\}$
[/mm]
(Darf man das so schreiben?)
Da [mm] S_{n} [/mm] gerade die Menge der Permutationen von [mm] \{1,...,n\} [/mm] in sich selbst ist, ist [mm] $|S_{n}| [/mm] = n!$.
(Sollte ich das noch eindringlicher begründen?)
[mm] $T_{n}:=\{f\in S_{n}|\exists k\in\{1,...,n\}:f(k)=k\}$
[/mm]
[mm] $T_{n,k} [/mm] := [mm] \{f\in S_{n}| f(k)=k\}$
[/mm]
Dann ist [mm] $\bigcup_{i=1}^{n}T_{n,i} [/mm] = [mm] T_{n}$.
[/mm]
Nun kann ich die Formel anwenden:
[mm] $\IP(T_{n}) [/mm] = [mm] \IP\left(\bigcup_{k=1}^{n}T_{n,k}\right) [/mm] = [mm] \sum_{l=1}^{n}\left((-1)^{l-1}*\sum_{\{k_{1},...,k_{l}\}\in\{1,...,n\}}\IP(T_{n,k_{1}}\cap ... \cap T_{n,k_{l}})\right)$
[/mm]
Es ist
[mm] $T_{n,k_{1}}\cap [/mm] ... [mm] \cap T_{n,k_{l}} [/mm] = [mm] T_{n,k} [/mm] := [mm] \{f\in S_{n}| f(k_{1})=k_{1}, ..., f(k_{l}) = k_{l}\}$
[/mm]
Damit enthält die Menge [mm] $T_{n,k_{1}}\cap [/mm] ... [mm] \cap T_{n,k_{l}}$ [/mm] also nur noch $(n-l)!$ verschiedene Abbildungen, weil sowohl bei der Definitionsmenge als auch bei der Bildmenge von [mm] $f\in T_{n,k_{1}}\cap [/mm] ... [mm] \cap T_{n,k_{l}}$ [/mm] nur noch (n-l) Zuordnungen nicht festgesetzt sind.
(Kann man das so schreiben? Klingt ein bisschen holprig, oder?)
Somit ist wegen der Laplace-Verteilung von [mm] \IP [/mm] und [mm] $|S_{n}| [/mm] = n!$:
[mm] $\IP(T_{n,k_{1}}\cap [/mm] ... [mm] \cap T_{n,k_{l}}) [/mm] = [mm] \frac{|T_{n,k_{1}}\cap ... \cap T_{n,k_{l}}|}{|\Omega|} [/mm] = [mm] \frac{(n-l)!}{n!}$
[/mm]
Also wieder oben eingesetzt:
[mm] $\IP(T_{n}) [/mm] = [mm] \IP\left(\bigcup_{k=1}^{n}T_{n,k}\right) [/mm] = [mm] \sum_{l=1}^{n}\left((-1)^{l-1}*\sum_{\{k_{1},...,k_{l}\}\in\{1,...,n\}}\frac{(n-l)!}{n!}\right) [/mm] = [mm] \sum_{l=1}^{n}\left((-1)^{l-1}*l!*\frac{(n-l)!}{n!}\right) [/mm] $
Stimmt das?
Wahrscheinlich nicht, denn so komme ich nicht weiter...
Könnt ihr mir nochmal helfen ?
Grüße,
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:32 Sa 17.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Stefan!
> Ich habe es jetzt erstmal so gemacht:
>
> Die Wahrscheinlichkeitsverteilung zu obigem Experiment ist
> Laplace-verteilt, weil jede Zuordnung der Herren zu den
> Männern aufgrund des Losverfahrens gleichwahrscheinlich
> ist.
> Es ist
>
> [mm]\Omega = S_{n}:=\{f|f:\{1,...,n\}\to\{1,...,n\} \mbox{ ist bijektive Abbildung}\}[/mm]
>
> (Darf man das so schreiben?)
Ja.
> Da [mm]S_{n}[/mm] gerade die Menge der Permutationen von [mm]\{1,...,n\}[/mm]
> in sich selbst ist, ist [mm]|S_{n}| = n![/mm].
>
> (Sollte ich das noch eindringlicher begründen?)
Wenn ihr das schonmal hattet, dass die Menge der Permutationen von [mm] $\{ 1, \dots, n \}$ [/mm] genau $n!$ Elemente hat, dann nein.
> [mm]T_{n}:=\{f\in S_{n}|\exists k\in\{1,...,n\}:f(k)=k\}[/mm]
>
> [mm]T_{n,k} := \{f\in S_{n}| f(k)=k\}[/mm]
>
> Dann ist [mm]\bigcup_{i=1}^{n}T_{n,i} = T_{n}[/mm].
Genau.
> Nun kann ich die Formel anwenden:
>
> [mm]\IP(T_{n}) = \IP\left(\bigcup_{k=1}^{n}T_{n,k}\right) = \sum_{l=1}^{n}\left((-1)^{l-1}*\sum_{\{k_{1},...,k_{l}\}\in\{1,...,n\}}\IP(T_{n,k_{1}}\cap ... \cap T_{n,k_{l}})\right)[/mm]
> Es ist
>
> [mm]T_{n,k_{1}}\cap ... \cap T_{n,k_{l}} = T_{n,k} := \{f\in S_{n}| f(k_{1})=k_{1}, ..., f(k_{l}) = k_{l}\}[/mm]
Schreib lieber [mm] $T_{n,k_1,\dots,k_l}$ [/mm] anstelle [mm] $T_{n,k}$, [/mm] da [mm] $T_{n,k}$ [/mm] genauso aussieht wie das [mm] $T_{n,k}$ [/mm] oben, aber etwas anderes ist.
> Damit enthält die Menge [mm]T_{n,k_{1}}\cap ... \cap T_{n,k_{l}}[/mm]
> also nur noch [mm](n-l)![/mm] verschiedene Abbildungen, weil sowohl
> bei der Definitionsmenge als auch bei der Bildmenge von
> [mm]f\in T_{n,k_{1}}\cap ... \cap T_{n,k_{l}}[/mm] nur noch (n-l)
> Zuordnungen nicht festgesetzt sind.
Genau: und die anderen Elemente [mm] $\{ 1, \dots, n \} \setminus \{ k_1, \dots, k_l \}$ [/mm] koennen immer noch beliebig permutiert werden.
> (Kann man das so schreiben? Klingt ein bisschen holprig,
> oder?)
Ja es ist ein wenig holprig, aber ok. Wenn du es formal schreiben willst: nimm dir eine Bijektion [mm] $\phi [/mm] : [mm] \{ 1, \dots, n \} \setminus \{ k_1, \dots, k_l \} \to \{ 1, \dots, n - l \}$. [/mm] Dann kannst du eine Bijektion [mm] $T_{n,k_1,\dots,k_l} \to S_{n - l}$ [/mm] angeben durch [mm] $\phi \mapsto \begin{cases} \{ 1, \dots, n - l \} \to \{ 1, \dots, n - l \}, \\ x \mapsto \phi(\pi(\phi^{-1}(x))) \end{cases}$.
[/mm]
> Somit ist wegen der Laplace-Verteilung von [mm]\IP[/mm] und [mm]|S_{n}| = n![/mm]:
>
> [mm]\IP(T_{n,k_{1}}\cap ... \cap T_{n,k_{l}}) = \frac{|T_{n,k_{1}}\cap ... \cap T_{n,k_{l}}|}{|\Omega|} = \frac{(n-l)!}{n!}[/mm]
>
> Also wieder oben eingesetzt:
>
> [mm]\IP(T_{n}) = \IP\left(\bigcup_{k=1}^{n}T_{n,k}\right) = \sum_{l=1}^{n}\left((-1)^{l-1}*\sum_{\{k_{1},...,k_{l}\}\in\{1,...,n\}}\frac{(n-l)!}{n!}\right) = \sum_{l=1}^{n}\left((-1)^{l-1}*l!*\frac{(n-l)!}{n!}\right)[/mm]
>
> Stimmt das?
Nein: die Anzahl der $l$-Elementigen Teilmengen von [mm] $\{ 1, \dots, n \}$ [/mm] ist nicht $l!$, sondern [mm] $\binom{n}{l} [/mm] = [mm] \frac{n!}{l! (n - l)!}$. [/mm] Damit erhaelst du [mm] $\IP(T_n) [/mm] = [mm] \sum_{l=1}^n (-1)^{l-1} \frac{n!}{l! (n - l!)} \frac{(n - l)!}{n!} [/mm] = [mm] \sum_{l=1}^n (-1)^{l-1} \frac{1}{l!}$.
[/mm]
Jetzt kannst du auch den Grenzwert fuer $n [mm] \to \infty$ [/mm] sehr schoen angeben (denke an die Reihenentwicklung der Exponentialfunktion).
LG Felix
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Danke Felix für die Antwort !!
> > Da [mm]S_{n}[/mm] gerade die Menge der Permutationen von [mm]\{1,...,n\}[/mm]
> > in sich selbst ist, ist [mm]|S_{n}| = n![/mm].
> >
> > (Sollte ich das noch eindringlicher begründen?)
>
> Wenn ihr das schonmal hattet, dass die Menge der
> Permutationen von [mm]\{ 1, \dots, n \}[/mm] genau [mm]n![/mm] Elemente hat,
> dann nein.
Wir hatten es noch nicht, aber eigentlich hat man Analysis I und LA als Vorwissen, wenn man die Vorlesung besucht... Und ehrlich gesagt sehe ich es auch nicht ein, mir soviel Mühe wegen läppischen 4 Punkten machen zu müssen
> Schreib lieber [mm]T_{n,k_1,\dots,k_l}[/mm] anstelle [mm]T_{n,k}[/mm], da
> [mm]T_{n,k}[/mm] genauso aussieht wie das [mm]T_{n,k}[/mm] oben, aber etwas
> anderes ist.
Stimmt, da habe ich das irgendwie falsch bezeichnet. Danke für die Korrektur.
> > Stimmt das?
>
> Nein: die Anzahl der [mm]l[/mm]-Elementigen Teilmengen von [mm]\{ 1, \dots, n \}[/mm]
> ist nicht [mm]l![/mm], sondern [mm]\binom{n}{l} = \frac{n!}{l! (n - l)!}[/mm].
> Damit erhaelst du [mm]\IP(T_n) = \sum_{l=1}^n (-1)^{l-1} \frac{n!}{l! (n - l!)} \frac{(n - l)!}{n!} = \sum_{l=1}^n (-1)^{l-1} \frac{1}{l!}[/mm].
>
> Jetzt kannst du auch den Grenzwert fuer [mm]n \to \infty[/mm] sehr
> schoen angeben (denke an die Reihenentwicklung der
> Exponentialfunktion).
Stimmt, da habe ich mich vertan... So ein Mist.
Na gut, als Grenzwert erhalte ich dann [mm] e^{-1} [/mm] = [mm] \frac{1}{e} [/mm] ?
Danke für die Hilfe,
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 04:02 So 18.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Stefan!
> Danke Felix für die Antwort !!
Bitte :)
> > > Da [mm]S_{n}[/mm] gerade die Menge der Permutationen von [mm]\{1,...,n\}[/mm]
> > > in sich selbst ist, ist [mm]|S_{n}| = n![/mm].
> > >
> > > (Sollte ich das noch eindringlicher begründen?)
> >
> > Wenn ihr das schonmal hattet, dass die Menge der
> > Permutationen von [mm]\{ 1, \dots, n \}[/mm] genau [mm]n![/mm] Elemente hat,
> > dann nein.
>
> Wir hatten es noch nicht, aber eigentlich hat man Analysis
> I und LA als Vorwissen, wenn man die Vorlesung besucht...
> Und ehrlich gesagt sehe ich es auch nicht ein, mir soviel
> Mühe wegen läppischen 4 Punkten machen zu müssen
Ich meinte das auch eher auf's ganze Studium bezogen als nur auf die Vorlesung. Anfang des ersten Semesters muesste man sowas wohl schon selber noch zeigen, aber spaeter (wenn man das schon irgendwo hatte) reicht es voellig aus das einfach zu benutzen.
> > > Stimmt das?
> >
> > Nein: die Anzahl der [mm]l[/mm]-Elementigen Teilmengen von [mm]\{ 1, \dots, n \}[/mm]
> > ist nicht [mm]l![/mm], sondern [mm]\binom{n}{l} = \frac{n!}{l! (n - l)!}[/mm].
> > Damit erhaelst du [mm]\IP(T_n) = \sum_{l=1}^n (-1)^{l-1} \frac{n!}{l! (n - l!)} \frac{(n - l)!}{n!} = \sum_{l=1}^n (-1)^{l-1} \frac{1}{l!}[/mm].
>
> >
> > Jetzt kannst du auch den Grenzwert fuer [mm]n \to \infty[/mm] sehr
> > schoen angeben (denke an die Reihenentwicklung der
> > Exponentialfunktion).
>
> Stimmt, da habe ich mich vertan... So ein Mist.
> Na gut, als Grenzwert erhalte ich dann [mm]e^{-1}[/mm] =
> [mm]\frac{1}{e}[/mm] ?
Nein, es kommt $1 - [mm] e^{-1}$ [/mm] heraus. Beachte dazu:
1) da ist ein $-1$ zuviel in jedem Summand,
2) die Reihe faengt bei $l = 1$ und nicht bei $l = 0$ (wie bei der Exponentialreihe) an.
LG Felix
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Danke vielmals Felix!!
Da hab ich mal wieder rumgeschludert.
Grüße,
Stefan
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> > Dann nimmst du aus beiden Summen die Faelle [mm]l = n + 1[/mm] (nur
> > rechts) und [mm]l = 1[/mm] (nur links) raus.
>
>
>
> [mm]= \left[\sum_{l=2}^{n}\left((-1)^{l-1}*\sum_{\left\{k_{1},...,k_{l}\right\}\subseteq \left\{1,...,n\right\}}\IP(A_{k_{1}}\cap ... \cap A_{k_{l}})\right) + \sum_{\{ k_1 \} \subseteq \{ 1, \dots, n \}} P(A_{k_1})\right] + \IP(A_{n+1}) - \left[\sum_{l=2}^{n}\left((-1)^{l}*\sum_{\left\{k_{1},...,k_{l-1}\right\}\subseteq \left\{1,...,n\right\}}\IP(A_{k_{1}}\cap ... \cap A_{k_{l-1}} \cap A_{n+1})\right)\textbf{\red{-}} \sum_{\{ k_1, \dots, k_{n+1} \} \subseteq \{ 1, \dots, n+1 \}} \mathbb{P}(A_{k_1} \cap \dots \cap \mathbb{P}(A_{k_{n+1}}))\right][/mm]
>
Wieso steht da ein Minus (rot) und kein Plus? das ist doch ein Teil der Summe gewesen. Wäre es nicht genau anders herum, also wenn ich die Klammer auflöse steht dann das - da und kein +?
>
>
> > Zu [mm]l = 1[/mm] gehoert das
> > [mm]\mathbb{P}(A_{n+1})[/mm], und du kannst den Fall [mm]l = 1[/mm] schreiben
> > als [mm]\sum_{\{ k_1 \} \subseteq \{ 1, \dots, n+1 \}} P(A_{k_1})[/mm]
> > (ueberleg dir das!). Den Fall [mm]l = n + 1[/mm] kannst du schreiben
> > als [mm]\sum_{\{ k_1, \dots, k_{n+1} \} \subseteq \{ 1, \dots, n+1 \}} \mathbb{P}(A_{k_1} \cap \dots \cap \mathbb{P}(A_{k_{n+1}}))[/mm].
>
>
>
> [mm]= \sum_{l=2}^{n}\left((-1)^{l-1}*\sum_{\left\{k_{1},...,k_{l}\right\}\subseteq \left\{1,...,n\right\}}\IP(A_{k_{1}}\cap ... \cap A_{k_{l}})\right) + \sum_{\{ k_1 \} \subseteq \{ 1, \dots, n + 1 \}} P(A_{k_1}) - \sum_{l=2}^{n}\left(\green{(-1)^{l}}*\sum_{\left\{k_{1},...,k_{l-1}\right\}\subseteq \left\{1,...,n\right\}}\IP(A_{k_{1}}\cap ... \cap A_{k_{l-1}} \cap A_{n+1})\right) + \sum_{\{ k_1, \dots, k_{n+1} \} \subseteq \{ 1, \dots, n+1 \}} \mathbb{P}(A_{k_1} \cap \dots \cap \mathbb{P}(A_{k_{n+1}}))[/mm]
>
>
>
> > Bleibt also noch [mm]l \in \{ 2, \dots, n \}[/mm]. Jede Teilmenge [mm]X = \{ k_1, \dots, k_l \} \subseteq \{ 1, \dots, n+1 \}[/mm]
> > hat entweder [mm]n + 1 \in X[/mm] oder [mm]x + 1 \not\in X[/mm].
> > ...
> > Du kannst also die beiden Summen [mm]\sum_{l=2}^n[/mm]
> > zusammenfassen zu [mm]\sum_{l=2}^n \sum_{\{ a_1, \dots, a_l \} \subseteq \{ 1, \dots, n+1 \}} \mathbb{P}(A_{k_1} \cap \dots \cap A_{k_l)})[/mm].
>
>
> D.h. ich erhalte:
>
> [mm]= \sum_{l=2}^{n}\left((-1)^{l-1}*\sum_{\left\{k_{1},...,k_{l}\right\}\subseteq \left\{1,...,n\right\}}\IP(A_{k_{1}}\cap ... \cap A_{k_{l}})\right) + \sum_{l=2}^{n}\left(\blue{(-1)^{l-1}}*\sum_{\left\{k_{1},...,k_{l-1}\right\}\subseteq \left\{1,...,n\right\}}\IP(A_{k_{1}}\cap ... \cap A_{k_{l-1}} \cap A_{n+1})\right) +\sum_{\{ k_1 \} \subseteq \{ 1, \dots, n + 1 \}} P(A_{k_1}) + \sum_{\{ k_1, \dots, k_{n+1} \} \subseteq \{ 1, \dots, n+1 \}} \mathbb{P}(A_{k_1} \cap \dots \cap \mathbb{P}(A_{k_{n+1}}))[/mm]
Der hier markierte blaue Teil ist anders als der oben markierte grüne Teil, wieso muss das so sein? Hat man hier einfach nur noch ein minus ausgeklammert?
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Hallo T_Sleeper,
> > [mm]= \sum_{l=2}^{n}\left((-1)^{l-1}*\sum_{\left\{k_{1},...,k_{l}\right\}\subseteq \left\{1,...,n\right\}}\IP(A_{k_{1}}\cap ... \cap A_{k_{l}})\right) + \sum_{\{ k_1 \} \subseteq \{ 1, \dots, n + 1 \}} P(A_{k_1}) - \sum_{l=2}^{n}\left(\green{(-1)^{l}}*\sum_{\left\{k_{1},...,k_{l-1}\right\}\subseteq \left\{1,...,n\right\}}\IP(A_{k_{1}}\cap ... \cap A_{k_{l-1}} \cap A_{n+1})\right) + \sum_{\{ k_1, \dots, k_{n+1} \} \subseteq \{ 1, \dots, n+1 \}} \mathbb{P}(A_{k_1} \cap \dots \cap \mathbb{P}(A_{k_{n+1}}))[/mm]
>
> >
> >
> >
> > > Bleibt also noch [mm]l \in \{ 2, \dots, n \}[/mm]. Jede Teilmenge [mm]X = \{ k_1, \dots, k_l \} \subseteq \{ 1, \dots, n+1 \}[/mm]
> > > hat entweder [mm]n + 1 \in X[/mm] oder [mm]x + 1 \not\in X[/mm].
> > >
> ...
> > > Du kannst also die beiden Summen [mm]\sum_{l=2}^n[/mm]
> > > zusammenfassen zu [mm]\sum_{l=2}^n \sum_{\{ a_1, \dots, a_l \} \subseteq \{ 1, \dots, n+1 \}} \mathbb{P}(A_{k_1} \cap \dots \cap A_{k_l)})[/mm].
>
> >
> >
> > D.h. ich erhalte:
> >
> > [mm]= \sum_{l=2}^{n}\left((-1)^{l-1}*\sum_{\left\{k_{1},...,k_{l}\right\}\subseteq \left\{1,...,n\right\}}\IP(A_{k_{1}}\cap ... \cap A_{k_{l}})\right) + \sum_{l=2}^{n}\left(\blue{(-1)^{l-1}}*\sum_{\left\{k_{1},...,k_{l-1}\right\}\subseteq \left\{1,...,n\right\}}\IP(A_{k_{1}}\cap ... \cap A_{k_{l-1}} \cap A_{n+1})\right) +\sum_{\{ k_1 \} \subseteq \{ 1, \dots, n + 1 \}} P(A_{k_1}) + \sum_{\{ k_1, \dots, k_{n+1} \} \subseteq \{ 1, \dots, n+1 \}} \mathbb{P}(A_{k_1} \cap \dots \cap \mathbb{P}(A_{k_{n+1}}))[/mm]
>
> Der hier markierte blaue Teil ist anders als der oben
> markierte grüne Teil, wieso muss das so sein? Hat man hier
> einfach nur noch ein minus ausgeklammert?
Genau, vor der oberen Summe steht nämlich ein Minus.
Grüße,
Stefan
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> > Der hier markierte blaue Teil ist anders als der oben
> > markierte grüne Teil, wieso muss das so sein? Hat man hier
> > einfach nur noch ein minus ausgeklammert?
>
> Genau, vor der oberen Summe steht nämlich ein Minus.
>
> Grüße,
> Stefan
Das ist schonmal gut.
Leider ist die Rechnung sehr unübersichtlich wenn man sie so auf ein Blatt Papier schreibt.
Deshalb nochmal zu diesem Teil:
[mm]= \left[\sum_{l=2}^{n}\left((-1)^{l-1}*\sum_{\left\{k_{1},...,k_{l}\right\}\subseteq \left\{1,...,n\right\}}\IP(A_{k_{1}}\cap ... \cap A_{k_{l}})\right) + \sum_{\{ k_1 \} \subseteq \{ 1, \dots, n \}} P(A_{k_1})\right] + \IP(A_{n+1}) - \left[\sum_{l=2}^{n}\left((-1)^{l}*\sum_{\left\{k_{1},...,k_{l-1}\right\}\subseteq \left\{1,...,n\right\}}\IP(A_{k_{1}}\cap ... \cap A_{k_{l-1}} \cap A_{n+1})\right)\textbf{\red{-}} \sum_{\{ k_1, \dots, k_{n+1} \} \subseteq \{ 1, \dots, n+1 \}} \mathbb{P}(A_{k_1} \cap \dots \cap \mathbb{P}(A_{k_{n+1}}))\right][/mm]
Wieso steht da ein Minus (rot) und kein Plus? das ist doch ein Teil der Summe gewesen. Wäre es nicht genau anders
herum, also wenn ich die Klammer auflöse steht dann das - da und kein +?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:43 Di 20.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Leider ist die Rechnung sehr unübersichtlich wenn man sie
> so auf ein Blatt Papier schreibt.
> Deshalb nochmal zu diesem Teil:
>
>
> [mm]= \left[\sum_{l=2}^{n}\left((-1)^{l-1}*\sum_{\left\{k_{1},...,k_{l}\right\}\subseteq \left\{1,...,n\right\}}\IP(A_{k_{1}}\cap ... \cap A_{k_{l}})\right) + \sum_{\{ k_1 \} \subseteq \{ 1, \dots, n \}} P(A_{k_1})\right] + \IP(A_{n+1}) - \left[\sum_{l=2}^{n}\left((-1)^{l}*\sum_{\left\{k_{1},...,k_{l-1}\right\}\subseteq \left\{1,...,n\right\}}\IP(A_{k_{1}}\cap ... \cap A_{k_{l-1}} \cap A_{n+1})\right)\textbf{\red{-}} \sum_{\{ k_1, \dots, k_{n+1} \} \subseteq \{ 1, \dots, n+1 \}} \mathbb{P}(A_{k_1} \cap \dots \cap \mathbb{P}(A_{k_{n+1}}))\right][/mm]
>
> Wieso steht da ein Minus (rot) und kein Plus?
Na, weil da eigentlich $+ [mm] (-1)^1$ [/mm] steht. Und daraus wird halt Minus.
LG Felix
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> Hallo!
>
> > Leider ist die Rechnung sehr unübersichtlich wenn man sie
> > so auf ein Blatt Papier schreibt.
> > Deshalb nochmal zu diesem Teil:
> >
> >
> > [mm]= \left[\sum_{l=2}^{n}\left((-1)^{l-1}*\sum_{\left\{k_{1},...,k_{l}\right\}\subseteq \left\{1,...,n\right\}}\IP(A_{k_{1}}\cap ... \cap A_{k_{l}})\right) + \sum_{\{ k_1 \} \subseteq \{ 1, \dots, n \}} P(A_{k_1})\right] + \IP(A_{n+1}) - \left[\sum_{l=2}^{n}\left((-1)^{l}*\sum_{\left\{k_{1},...,k_{l-1}\right\}\subseteq \left\{1,...,n\right\}}\IP(A_{k_{1}}\cap ... \cap A_{k_{l-1}} \cap A_{n+1})\right)\textbf{\red{-}} \sum_{\{ k_1, \dots, k_{n+1} \} \subseteq \{ 1, \dots, n+1 \}} \mathbb{P}(A_{k_1} \cap \dots \cap \mathbb{P}(A_{k_{n+1}}))\right][/mm]
>
> >
> > Wieso steht da ein Minus (rot) und kein Plus?
>
> Na, weil da eigentlich [mm]+ (-1)^1[/mm] steht. Und daraus wird halt
> Minus.
>
> LG Felix
>
Aber wir ziehen doch den n+1 Summanden raus, müsste es dann nicht sein [mm] +(-1)^{n+1}?
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:16 Di 20.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> > > [mm]= \left[\sum_{l=2}^{n}\left((-1)^{l-1}*\sum_{\left\{k_{1},...,k_{l}\right\}\subseteq \left\{1,...,n\right\}}\IP(A_{k_{1}}\cap ... \cap A_{k_{l}})\right) + \sum_{\{ k_1 \} \subseteq \{ 1, \dots, n \}} P(A_{k_1})\right] + \IP(A_{n+1}) - \left[\sum_{l=2}^{n}\left((-1)^{l}*\sum_{\left\{k_{1},...,k_{l-1}\right\}\subseteq \left\{1,...,n\right\}}\IP(A_{k_{1}}\cap ... \cap A_{k_{l-1}} \cap A_{n+1})\right)\textbf{\red{-}} \sum_{\{ k_1, \dots, k_{n+1} \} \subseteq \{ 1, \dots, n+1 \}} \mathbb{P}(A_{k_1} \cap \dots \cap \mathbb{P}(A_{k_{n+1}}))\right][/mm]
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> > > Wieso steht da ein Minus (rot) und kein Plus?
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> > Na, weil da eigentlich [mm]+ (-1)^1[/mm] steht. Und daraus wird halt
> > Minus.
>
> Aber wir ziehen doch den n+1 Summanden raus, müsste es
> dann nicht sein [mm]+(-1)^{n+1}?[/mm]
Oh, da hast du Recht. Ja, da muss $+ [mm] (-1)^{n+1}$ [/mm] stehen -- also weder ein festes Plus noch ein festes Minus.
LG Felix
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