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Formel für Ableitung von Produ: gibt's das?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:17 Mo 17.04.2006
Autor: Bastiane

Hallo!

Für eine Aufgabe muss ich (glaube ich jedenfalls ;-)) die Ableitung von [mm] \produkt_{i=0}^n(x-x_i) [/mm] berechnen. Gibt es da eine allgemeine Formel für oder muss ich die mir selber herleiten? Hab's schon versucht und mal für n=1 und n=2 ausgerechnet:

[mm] \produkt_{i=0}^1(x-x_i)=x^2-x_0x-x_1x+x_0x_1 [/mm]

[mm] \Rightarrow (\produkt_{i=0}^1(x-x_i))'=2x-x_0-x_1 [/mm]

[mm] \produkt_{i=0}^2(x-x_i)=x^3+x^2(-x_0-x_1-x_2)+x(-x_0x_2+x_1x_2+x_0x_1)-x_0x_1x_2 [/mm]

[mm] \Rightarrow (\produkt_{i=0}^2(x-x_i))'=3x^2+2x(-x_1-x_1-x_2)+(-x_0x_2+x_1x_2+x_0x_1) [/mm]

Aber irgendwie will das bei mir nie in eine Formel gehen... Kann mir jemand dabei helfen? Oder sagen, wo's steht, falls man das irgendwo schon findet... :-)

Viele Grüße
Bastiane
[cap]

        
Bezug
Formel für Ableitung von Produ: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:56 Mo 17.04.2006
Autor: Marc

Hallo Bastiane!

> Für eine Aufgabe muss ich (glaube ich jedenfalls ;-)) die
> Ableitung von [mm]\produkt_{i=0}^n(x-x_i)[/mm] berechnen. Gibt es da
> eine allgemeine Formel für oder muss ich die mir selber
> herleiten?

Beides, würde ich sagen ;-)

Die Formel ist doch ganz einfach und läßt sich sogar noch verallgemeinern (Beweis mit vollständiger Induktion):

[mm] $(f_1*f_2*f_3*\ldots*f_n)'=f_1'*f_2*f_3*\ldots*f_n\ [/mm] +\ [mm] f_1*f_2'*f_3*\ldots*f_n\ [/mm] +\ [mm] f_1*f_2*f_3'*\ldots*f_n\ [/mm] +\ [mm] \ldots\ [/mm] +\ [mm] f_1*f_2*f_3*\ldots*f_n'$ [/mm]

Damit haben wir

[mm] $\left(\produkt_{i=0}^n(x-x_i)\right)'=\summe_{j=0}^{n}\produkt_{0\le i\le n\atop i\not=j} (x-x_i)$ [/mm]

Viele Grüße,
Marc
Bezug
                
Bezug
Formel für Ableitung von Produ: Vielen Dank.
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:43 Di 18.04.2006
Autor: Bastiane

Hallo Marc!

> > Für eine Aufgabe muss ich (glaube ich jedenfalls ;-)) die
> > Ableitung von [mm]\produkt_{i=0}^n(x-x_i)[/mm] berechnen. Gibt es da
> > eine allgemeine Formel für oder muss ich die mir selber
> > herleiten?
>
> Beides, würde ich sagen ;-)
>  
> Die Formel ist doch ganz einfach und läßt sich sogar noch
> verallgemeinern (Beweis mit vollständiger Induktion):
>  
> [mm](f_1*f_2*f_3*\ldots*f_n)'=f_1'*f_2*f_3*\ldots*f_n\ +\ f_1*f_2'*f_3*\ldots*f_n\ +\ f_1*f_2*f_3'*\ldots*f_n\ +\ \ldots\ +\ f_1*f_2*f_3*\ldots*f_n'[/mm]

Ja, ich hätte ja mal an die Produktregeln denken können... [bonk] Die hatten wir nämlich auch schon irgendwann einmal bewiesen. :-)
  
> Damit haben wir
>  
> [mm]\left(\produkt_{i=0}^n(x-x_i)\right)'=\summe_{j=0}^{n}\produkt_{0\le i\le n\atop i\not=j} (x-x_i)[/mm]

Vielen vielen Dank - auch wenn's wirklich nicht allzu schwierig ist, ich glaub', alleine wäre ich da nicht drauf gekommen, aber jetzt habe ich damit sogar meine Aufgabe gelöst.

Viele Grüße
Bastiane
[cap]

Bezug
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