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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:43 So 30.03.2008 | | Autor: | dexter |
Hey Leute,
ich bin gerade in der Vorbereitungsphase für das Abitur.
Das Thema heute: Funktionsuntersuchungen.
Klappt alles ganz gut, nur gingen mir in vorigen Klausuren Punkte verloren, weil ich gewisse Formalien nicht beachtet habe, wie z.B. die korrekte Darstellung eines Definitionsbereiches.
Um einen Definitionsbereich einer Funktion, die für bestimmte Werte nicht definiert ist darzustellen gibt es diese Möglichkeit:
[mm] D_f [/mm] = [mm] \IR [/mm] \ {3;-3}
Beschreibt einen Definitionsbereich einer Funktion, die für 3 und -3 nicht definiert ist.
Gibt es für soetwas noch andere Darstellungsmöglichkeiten? Wie stelle ich den Def-Bereich einer Funktion dar, die nur auf einem bestimmten Intervall definiert ist, oder umgekehrt eine Funktion, die auf einem oder mehreren Intervallen gerade nicht definiert ist?
Vielen Dank im Voraus -> dex ;)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:56 So 30.03.2008 | | Autor: | Denny22 |
> Hey Leute,
Hallo,
> Um einen Definitionsbereich einer Funktion, die für
> bestimmte Werte nicht definiert ist darzustellen gibt es
> diese Möglichkeit:
>
> [mm]D_f[/mm] = [mm]\IR[/mm] \ {3;-3}
>
> Beschreibt einen Definitionsbereich einer Funktion, die für
> 3 und -3 nicht definiert ist.
Stimmt genau.
> Gibt es für soetwas noch andere Darstellungsmöglichkeiten?
Ja. Speziell für Dein Beispiel:
[mm] $D_f\,=\,\IR\backslash\{-3,3\}\,=\,]-\infty,-3[\cup]-3,3[\cup]3,\infty[$
[/mm]
Hier haben wir den Definitionsbereich als Vereinigung von Intervallen geschrieben, auf denen die Funktion definiert ist.
> Wie stelle ich den Def-Bereich einer Funktion dar, die nur
> auf einem bestimmten Intervall definiert ist
Wenn Deine Funktion nur für $x$-Werte zwischen $a$ und $b$ definiert ist, so schreibst Du
[mm] $D_f\,=\,[a,b]$
[/mm]
Wenn sie aber in den Punkten $a$ (bzw. $b$, bzw. $a$ und $b$) nicht definiert ist, so schreibst Du
[mm] $D_f\,=\,]a,b]$ [/mm] (bzw. [mm] $D_f\,=\,[a,b[$, [/mm] bzw. [mm] $D_f\,=\,]a,b[$)
[/mm]
> oder umgekehrt eine Funktion, die auf einem oder mehreren
> Intervallen gerade nicht definiert ist?
Falls Deine Funktion auf dem Intervall $[a,b]$ nicht definiert ist, so schreibst Du
[mm] $D_f\,=\,\IR\backslash[a,b]\,=\,]-\infty,a[\cup]b,\infty[$
[/mm]
Die Klammer $[$ bei dem $a$ bedeutet, dass $a$ nicht mit zum Definitionsbereich gehört. Wenn $a$ jedoch dazu gehören würde, so müsstest Du dort die Klammer $]$ schreiben.
> Vielen Dank im Voraus -> dex ;)
Bitte
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:18 Mo 31.03.2008 | | Autor: | dexter |
Danke sehr!
Ich bin auf eine weitere Darstellung gestoßen und möchte nun wissen, ob sie korrekt ist:
[mm] D_f [/mm] = { x [mm] \in \IR [/mm] | x [mm] \le [/mm] -2 [mm] \vee [/mm] 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 2}
Intervalle, die nicht im Def.-Bereich liegen, sind darstellbar und die Verknüpfung geschieht über ein "ODER".
Ziemlich komfortabel und einfach...
mfg
dex
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Hallo dexter,
> Danke sehr!
>
> Ich bin auf eine weitere Darstellung gestoßen und möchte
> nun wissen, ob sie korrekt ist:
>
> [mm] D_f [/mm] = [mm] \{ x\in \IR | x \le -2 \vee 0 \le x \le 2\}
[/mm]
> Intervalle, die nicht im Def.-Bereich liegen, sind
> darstellbar und die Verknüpfung geschieht über ein "ODER".
> Ziemlich komfortabel und einfach...
Das sind aber hier genau diejenigen Intervalle, die im Definitionsbereich liegen, bzw. die ihn ausmachen
Und ja, die logische Verknüpfung "ODER" (in Zeichen [mm] $\vee$) [/mm] ist als Mengenverknüpfung (und genau das sind Intervalle ja, Mengen von (reellen) Zahlen) ein [mm] "$\cup$"
[/mm]
Hier hast du also in Intervallschreibweise:
[mm] $D_f=\underbrace{]-\infty,-2]}_{\text{entspricht} x\le -2} [/mm] \ [mm] \cup [/mm] \ [mm] \underbrace{[0,2]}_{\text{entspricht} 0\le x\le 2}$
[/mm]
> mfg
> dex
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:35 Mo 31.03.2008 | | Autor: | dexter |
> Hallo dexter,
>
> > Danke sehr!
> >
> > Ich bin auf eine weitere Darstellung gestoßen und möchte
> > nun wissen, ob sie korrekt ist:
> >
> > [mm]D_f[/mm] = [mm]\{ x\in \IR | x \le -2 \vee 0 \le x \le 2\}[/mm]
> >
> Intervalle, die nicht im Def.-Bereich liegen, sind
> > darstellbar und die Verknüpfung geschieht über ein "ODER".
> > Ziemlich komfortabel und einfach...
>
> Das sind aber hier genau diejenigen Intervalle, die im
> Definitionsbereich liegen, bzw. die ihn ausmachen
Ja, du hast recht, das meinte ich auch, hab mich grad vertan.
Mir ging es nur um die Richtigkeit der Darstellung.
Vielen Dank
mfg dex
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Hallo dexter,
ahso ok 
Ja, die obige Mengendarstellung ist absolut korrekt und entspricht der Intervalldarstellung, die ich angegeben habe.
Es sind nur verschiedene Schreibweisen für dieselbe Sache
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:50 Mo 31.03.2008 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
Habe heute eine Klausur wiederbekommen und mir wurde folgendes angestrichen:
D=(0;3)
Es war halt eine Funktion gegeben, von der man den Definitionsbereich unter anderem bestimmen sollte, dieser ist auch richtig. Ich meinte das offene Intervall von 0 bis 3.
Natürlich hätte ich auch D=]0;3[ schreiben können, aber ist D=(0;3) nicht genau so richtig? Außerdem wurde mir ein " [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in \IR [/mm] " hintergesetzt, aber schließt das diese Intervalldarstellung nicht schon ein?
[a;b]:={x [mm] \in \IR [/mm] | a [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] b}, oder? Dann ist es doch unnötig, das noch einmal zu erwähnen.
Mir wurde gesagt, dass meine gewählte Darstellung, also nur D=(0;3), einfach nicht eindeutig sei. Ich würde aber sagen, dass das eindeutig ist.
Ich muss zudem aber sagen, dass wir im Unterricht nur die Schreibweise ]a;b[ verwendet haben, aber kann man es mir im Abitur auch ankreiden, wenn ich (a;b) schreibe? Oder muss ich das da auch so wie im Unterricht machen? Also müsste meine Lehrerin das so akzeptieren, wenn ich nicht die Schreibweise benutze, die im Unterricht verwendet wurde?
Danke.
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Hallo!
Ich sehe bei deiner Argumentationen keinen Fehler. Ich denke auch dass es richtig ist wenn man statt ]0;3[ auch (0;3) schreibt. Vielleicht hättest du aich schreiben sollen (a;b):={x [mm] \in [/mm] K : a<x<b} ist als zusätzliche Bemerkung.
![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]") Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:05 Mo 31.03.2008 | | Autor: | Teufel |
Hi, danke erstmal ;)
Ja, hätte ich machen können, aber ist es "von Natur aus" nicht schon so definiert und müsste es nicht so akzeptiert werden?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:12 Mo 31.03.2008 | | Autor: | dexter |
Ähnliches hat sich übrigens auch bei mir zugetragen, deshalb dieser Thread ;)
lg dex
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Hi!
> Hi, danke erstmal ;)
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> Ja, hätte ich machen können, aber ist es "von Natur aus"
> nicht schon so definiert und müsste es nicht so akzeptiert
> werden?
Hmmm. Ja natürlich ist es so definiert nur vielleicht hätte deine Lehrerin sehen wollen ob du es auch weisst, weil du sagtest ja das ihr das offene Intervall immer in der Form ]a,b[ geschrieben habt. Aber meiner Meinung nach ist hier "eigentlich" kein Punktabzug von Nöten gewesen.
Übrigens wenn du was behauptest und es im unterricht vorher nicht besprochen worden ist dann solltest du dich immer auf Definitionen, Sätze etc, die du irgendwo aufgeschnappt hast, berufen. Wenn du beispielsweise irgendwelche Umformungen machst dann würde ich persönlich immer schreiben warum diese Umformung erlaubt ist. Zum Beispiel hier:
[mm] \vektor{n \\ k}+\vektor{n \\ k+1}=\vektor{n \\ k}+\vektor{n \\ k}\cdot\bruch{n-k}{k+1} [/mm] (nach Rekursionsformel [mm] \vektor{n \\ k+1}=\vektor{n \\ k}\cdot\bruch{n-k}{k+1})
[/mm]
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:48 Di 01.04.2008 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
ich würde hierzu auch noch gerne etwas sagen:
1. Gebräuchlich sind für offene Intervalle beide Schreibweisen, d.h. sowohl $]0;3[$ als auch $(0;3)$, wobei ich die zuerst genannte geschickter finden, da sich die zweite Schreibweise mit der eines Vektors verwechseln lässt.
2. Zahlreiche Lehrkräfte an den Universitäten und zahlreiche Autoren benutzen dennoch die zweite Schreibweise. Du könntest Deinem Lehrer daher sagen, dass Du zur Klausurvorbereitung parallel mit anderen Werken gelernt hast und Dir daher diese Schreibweise angeeignet hast (auch wenn ich sie nicht so schön finde).
3. Einen Punktabzug würde ich dafür aber nicht geben. Da ihr im Unterricht jedoch eine andere Schreibweise gelernt habt, ist der Abzug nachvollziehbar, wenn auch ärgerlich.
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:40 Di 01.04.2008 | | Autor: | Teufel |
Ok, danke für eure Antworten!
Aber ich hätte noch eine Frage speziell zu dem x [mm] \in \IR [/mm] .
Wenn ich die Intervallschreibweise wähle, dann kann ich mir das doch sparen, weil es schon mit einbegriffen ist, dass x aus [mm] \IR [/mm] ist, oder nicht?
x [mm] \in [/mm] M muss ich doch dann nur erwähnen, wenn M nicht die Menge der reellen Zahlen ist, also z.B. die Menge der ganzen Zahlen oder der Primzahlen.
Oder sehe ich da was falsch?
Ich frag lieber ganz genau, bevor mir das irgendwann in den Rücken fällt ;)
Danke.
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Hallo Teufel,
wenn klar ist, auf welchem Zahlenbereich du die Funktion betrachtest, reicht die Intervallschreibweise.
Falls das aber nicht klar ist, was ist dann $(2,3)$ ??
Das könnte auch das offene Intervall rationaler Zahlen von 2 bis 3 sein, also [mm] $\{x\in\IQ\mid 2
Über [mm] \IN [/mm] wäre das Intervall gar die leere Menge ...
Also schreibe vllt. besser den Zahlbereich dran, auf den du dich beziehst,
Also z.Bsp. [mm] $D_f=(-\infty,\pi]\subset\IR [/mm] \ $(oder [mm] $\subseteq\IR$)
[/mm]
Vllt. gab's dafür den Punktabzug? Das Intervall alleine für sich ist ja wirklich nicht eindeutig...
Hmm, also immer alle Infos dranschreiben ...
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:07 Di 01.04.2008 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ah ok, gut.
Und D=(0;3) [mm] \cap \IR [/mm] wäre gleichbedeutend mit D=(0;3) [mm] \supset \IR, [/mm] oder?
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Hallo nochmal,
> Hi!
>
> Ah ok, gut.
> Und D=(0;3) [mm]\cap \IR[/mm] wäre gleichbedeutend mit D=(0;3) [mm]\supset \IR,[/mm] oder? ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Der letzte Ausdruck ist doch unsinnig, das würde bedeuten, dass jedes Element [mm] $\in\IR$ [/mm] auch [mm] $\in(0,3)$ [/mm] ist, also dass [mm] $\IR$ [/mm] ne Teilmenge von $(0,3)$ ist
>
Nee, der Schnitt von zwei Mengen ist die Menge aller Elemente, die in beiden Mengen liegen, also hier: [mm] $D=(0,3)\cap\IR=(0,3)$
[/mm]
Nochmal kurz auf den max. Defbereich zurück:
Wenn ne Funktion von [mm] $\IR\to\IR$ [/mm] das reelle Intervall [mm] $[1,10]_{\IR}$ [/mm] als max. Definitionsbereich hat, so ist sie natülich auch auf [mm] $[1,10]_{\IQ}$ [/mm] und auf [mm] $[1,10]_{\IN}$ [/mm] definiert
Das Intervall ist ja eine Menge (hier von reellen Zahlen) und damit Teilmemge von ganz [mm] \IR
[/mm]
Aber das max. ist [mm] $[1,10]_{\IR}$ [/mm] oder geschrieben als [mm] $[1,10]\subset\IR$,
[/mm]
denn [mm] $[1,10]_{\IN}\subset[1,10]_{\IQ}\subset[1,10]_{\IR}$
[/mm]
Die Intervalle sind in der Reihenfolge ineinander enthalten.
Darum ist die Angabe der "Bezugsmenge" nicht unwichtig
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:50 Di 01.04.2008 | | Autor: | Teufel |
Ah ok, danke :)
Meinte das Zeichen da auch umgedreht. Ich hab es glaube jetzt kapiert :P
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