Folgerung aus Summierbarkeit < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:50 Di 22.12.2015 | | Autor: | DesterX |
Hallo zusammen,
ich sitze aktuell an folgendem Problem und komme leider nicht weiter:
Es sei [mm] $(a_n)_{n \in \mathbb{N}_0}$ [/mm] eine Folge mit
[mm] $\sum_{n=0}^\infty a_n^3 [/mm] \ < [mm] \infty$
[/mm]
Folgt nun daraus bereits, dass
1. [mm] $\sum_{n=0}^\infty a_n^2 [/mm] < [mm] \infty$ [/mm] bzw [mm] $\sum_{n=0}^\infty a_n [/mm] < [mm] \infty$?
[/mm]
2. [mm] $\bigg(\sum_{n=0}^\infty a_n^2 \bigg)\bigg( \sum_{n=0}^\infty a_n\bigg) [/mm] < [mm] \infty$?
[/mm]
3. [mm] $\sum_{n=0}^\infty a_n a_{n+k} a_{n+h} [/mm] < [mm] \infty$ [/mm] für $h,k [mm] \in \mathbb{N}$ [/mm] ?
Ich würde mich über jeden Hilfe und jeden Hinweis sehr freuen. Vielen Dank vorab
Grüße, Dester
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Hiho,
bekanntlich ist die Reihe [mm] $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^\alpha}$ [/mm] absolut konvergent für [mm] $\alpha [/mm] > 1$, aber divergent für [mm] $\alpha \le [/mm] 1$
Baue dir daraus jeweils ein Gegenbeispiel für 1. und 2.
Für 3. bedenke, dass die alternierende harmonische Reihe konvergiert, die Teilsummen der positiven und negativen Glieder aber nicht.
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:18 Di 22.12.2015 | | Autor: | DesterX |
Danke für deine Hinweise.
Die Aussage Nummer 3 könnte man retten, wenn man die Absolut-Summierbarkeit von [mm] $(a_n^3)_{n \in \mathbb{N}}$ [/mm] fordert, oder?
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Hiho,
> Die Aussage Nummer 3 könnte man retten, wenn man die
> Absolut-Summierbarkeit von [mm](a_n^3)_{n \in \mathbb{N}}[/mm] fordert, oder?
ja
Gruß,
Gono
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