Folgenkriterium der Stetigkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:24 Fr 11.11.2011 | | Autor: | Orchis |
| Aufgabe | | Zeigen Sie mithilfe des Folgenkriteriums, dass f: [mm] \IR \backslash \{0\}, x\mapsto \bruch{1}{x^{2}} [/mm] stetig ist. |
Hallo zusammen,
ich beschäftige mich momentan mit der Stetigkeit und komme mit dem [mm] \varepsilon [/mm] - [mm] \delta-Kriterium [/mm] wunderbar zurecht, doch weiß ich mit dem Folgenkriterium noch nicht so recht was anzufangen. Nach Definition muss ich also folgendes für die Stetigkeit an zunächst einer Stelle [mm] x_{0} [/mm] zeigen:
[mm] \forall x_{n} \in \IR \backslash \{0\} [/mm] mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} x_{n} [/mm] = [mm] x_{0} [/mm] muss gelten: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f(x_{n}) [/mm] = [mm] f(\limes_{n\rightarrow\infty} f(x_{n})) [/mm] = [mm] f(x_{0}). [/mm]
An dieser Stelle habe ich nun wirklich keinerlei Ahnung wie ich beginnen soll. Es wäre toll, wenn man mir zumindest einen Ansatz liefern könnte.
Allein anschaulich ist klar, dass f unstetig in 1 wäre, was ja bereits aus dem Def.-Bereich gestrichen ist und somit keine Relevanz mehr für die Frage nach Stetigkeit hat. Der Rest ist, nach dem [mm] \varepsilon [/mm] - [mm] \delta-Kriterium [/mm] stetig, doch das ist natürlich keine Argumentation für das Folgenkriterium...
Vielen Dank und lg
Orchis
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:34 Fr 11.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
es ist ja fast das [mm] \epsilon -\delta:
[/mm]
gegeben [mm] limx_n=x_0 [/mm] d.h. es gibt zu jedem [mm] \delta [/mm] ein [mm] N(\delta) [/mm] so dass [mm] |x-x_n|<\delta [/mm] für alle n>N daraus musst du auf [mm] |f(x)-f(x_0)|< \epsilon [/mm] schliessen also wie bei dem gewohnten beweis vorgehen und dann sagen es gibt zu dem dort bestimmten [mm] \delta [/mm] ein N
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:42 Fr 11.11.2011 | | Autor: | Orchis |
Vielen Dank für den Hinweis!
Nun bin ich also quasi so vorgegangen wie im bekannten [mm] \varepsilon-\delta-Krit.
[/mm]
Für jede Folge [mm] x_{n} [/mm] sei [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} x_{n} [/mm] = [mm] x_{0}.
[/mm]
D.h. Sei [mm] \varepsilon [/mm] > 0 beliebig. [mm] \forall \delta [/mm] = [mm] \delta(\varepsilon, x_{0}): \exists n_{0}(\varepsilon) \in \IN: \forall [/mm] n [mm] \ge n_{0}(\varepsilon): [/mm]
[mm] |f(x)-f(x_{0}| [/mm] = [mm] |\bruch{1}{x²}-\bruch{1}{x_{0}²}|=... [/mm] < [mm] |\bruch{\delta(x_{0}+x)}{x²{x_{0}}^2} [/mm] < [mm] |\bruch{\delta(x_{0}+\bruch{x_{0}}{2}}{{(\bruch{x_{0}}{2})}^2 {x_{0}}^2}| [/mm] = [mm] \bruch{6\delta}{x_{0}^3} [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] Ab hier würde man nach [mm] \delta [/mm] auflösen und ein bestimmtes [mm] n_{0} [/mm] wählen???
lg Orchis
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:41 Fr 11.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Das Vorgehen ist umgekehrt:
zu zeigen [mm] lim|f(x_n)-f(x_0)|=0 \epsilonlim|x_n-x0|=0
[/mm]
d.h. $ [mm] |\bruch{1}{x_n^2}-\bruch{1}{x_{0}^2}|<\epsilon [/mm] $für n>N
jetzt bestimme ein [mm] \delta [/mm] und sag dann es Existiert ein N so dass gilt
[mm] |x_n-x_0|<\delta [/mm]
fast wie du es gemacht hast, aber mit [mm] x_n [/mm] wo du x schreibst.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:57 Sa 12.11.2011 | | Autor: | Orchis |
Ah, mittlerweile habe ich es gut verinnerlicht. Vielen Dank für eure Hilfe!!!! :).
Ich muss sagen, man solche Themen wie die Stetigkeit fast am Besten lernen, wenn man zunächst einmal ein Beispiel betrachtet wie so etwas zu zeigen ist, was wir leider in der Vorlesung nicht getan haben. Doch nun ist alles klar! :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:10 Fr 11.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Orchis,
ihr kennt doch sicherlich "Rechenregeln" für konvergente Folgen...
Seien also [mm] x_n\in\IR\setminus\{0\} [/mm] mit [mm] \lim_{n\to\infty}x_n=x_0.
[/mm]
Dann gilt [mm] \lim_{n\to\infty}x_n\cdot x_n=x_0\cdot x_0, [/mm] also [mm] \lim_{n\to\infty}x_n^2=x_0^2. [/mm] Da [mm] x_0^2\not=0 [/mm] folgt [mm] \lim_{n\to\infty}\bruch1{x_n^2}=\bruch1{x_0^2}, [/mm] also [mm] \lim_{n\to\infty}f(x_n)=f(x_0).
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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