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| Aufgabe | | Untersuchen Sie die Folge [mm] x_{n}=\wurzel{n^{2}+n}-n [/mm] auf Konvergenz und geben Sie gegebenenfalls den Grenzwert an. |
Einfach durch Nachrechnen komme ich auf den Grenzwert 0,5. Das habe ich aber auf einem Weg rausgefunden, der für Schulmathematik ok ist. Wie kann ich einen korrekten mathematischen Beweis führen?
Vielen Dank
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Hallo Tony,
[mm] \frac{1}{2} [/mm] als GW stimmt ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Aber was genau ist bei dir "einfach Nachrechnen"? 
Vllt. war ja das schon genau der richtige Weg.
Bei solchen Differenzen von/mit Wurzelausdrücken empfiehlt sich oft eine Erweiterung so, dass du die 3. binomische Formel verwenden kannst
Hier erweitere also [mm] $\sqrt{n^2+n}-n$ [/mm] mit [mm] $\sqrt{n^2+n}\red{+}n$
[/mm]
Das gibt: [mm] $\sqrt{n^2+n}-n=\frac{(\sqrt{n^2+n}-n)\cdot{}(\sqrt{n^2+n}+n)}{\sqrt{n^2+n}+n}$
[/mm]
Nun fasse den Zähler zusammen (3. binom. Formel !!) und im Nenner klammere unter der Wurzel [mm] $n^2$ [/mm] aus und ziehe es aus der Wurzel
Dann noch einmal im Nenner ausklammern und den Grenzübergang machen
Gruß
schachuzipus
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