Folgen,Zahl N bestimmen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo ihr..Ich bins nochmal...auf meine andere Frage zu Folgen habe ich leider bisher immer noch keine Antwort bekommen, aber ich versuche es noch einmal mit dieser Frage.
Wir haben in der letzten Vorlesung angefangen mit Folgen und Reihen , aber darüber noch nicht sehr viel erfahren...
Als Übungsaufgabe haben wir jetzt aber schon folgende:
Bestimmen sie für die Folge reeler Zahlen (aj) j [mm] \in \IN, [/mm] und a [mm] \in \IR [/mm] zu vorgegebenem [mm] \varepsilon [/mm] größer 0 eine natürliche Zahl N , so dass aj [mm] \in [/mm] (a- [mm] \varepsilon [/mm] , a + [mm] \varepsilon) [/mm] für alle aj [mm] \in \IN [/mm] mit j [mm] \ge [/mm] N gilt:
[mm] \summe_{k=1}^{j} \bruch{1}{k*(k+1)} [/mm] , j [mm] \in \IN [/mm] , a:=1
Durch vollständige Induktion habe ich bereits bewiesen, dass diese Summe =
[mm] \bruch{j}{j+1} [/mm] ist. Kann ich das hier benutzen?
Wenn ja , wäre der nächste Schritt
[mm] \left| \bruch{j}{j+1} -1 \right| [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
umgeformt wäre das dann
[mm] \left| \bruch{-1}{j+1}\right| [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
jetzt habe ich durch umformen erhalten : j> - [mm] (\bruch{1}{\varepsilon} [/mm] +1)
Und jetzt?...Jetzt weiß ich, das j größer als dieser Ausdruck sein muss...aber ich soll ja eine bestimmte Zahl N angeben.Wie mache ich das dann?
Wäre über eine Antwort sehr dankbar,
Liebe Grüße Sandra
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:25 So 06.11.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo pusteblume!
> [mm]\left| \bruch{-1}{j+1}\right|[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]
>
> jetzt habe ich durch umformen erhalten : j> - [mm](\bruch{1}{\varepsilon}[/mm] +1)
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Kleiner Rechenfehler:
[mm] $\left|\bruch{-1}{j+1}\right| [/mm] \ = \ [mm] \bruch{|-1|}{|j+1|} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{j+1} [/mm] \ < \ [mm] \varepsilon$ $\gdw$ [/mm] $j \ > \ [mm] \bruch{1}{\varepsilon} [/mm] - 1$
Und damit bist Du bereits fertig, da $N \ = \ [mm] N(\varepsilon)$ [/mm] nun die nächste größere natürliche Zahl zu [mm] $\bruch{1}{\varepsilon}-1$ [/mm] ist.
Gruß
Loddar
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danke schön...!!Für die schnelle Antwort!
Jetzt habe ich nur noch eine schnelle Frage zu der Aufgabe, die ich hier auch schonmal gestellt habe, aber keine Antwort erhalten hatte.
Die Aufgabenstellung ist diesselbe, aber die Folge diese:
aj: = [mm] \bruch{2 * j^3 + (-1)^j *j - 3}{j^3+3*(-1)^j} [/mm] für j [mm] \in \IN [/mm] , a := 2
Jetzt weiß man ja, wegen der Definition zu Konvergenz von Folgen, dass a dann Grenzwert der Folge ist, wenn zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] größer 0 ein N [mm] \in \IN [/mm] existiert, sodass [mm] \left| aj - a \right| [/mm] kleiner ist für alle n [mm] \ge [/mm] N.
Also habe ich angefangen auszurechnen:
[mm] \left| \bruch{2 * j^3 + (-1)^j *j - 3}{j^3+3*(-1)^j} - 2 \right| [/mm] kleiner [mm] \varepsilon [/mm]
Umgeformt folgt daraus [mm] :\left| \bruch{(-1)^j * n - 6 *(-1)^j -3 }{j^3 + 3*(-1)^j}\right| [/mm] kleiner [mm] \varepsilon [/mm]
Nun müsste ich das ja irgendwie nach j auflösen um sagen zu können , ab welchem j die Folge für jedes noch so kleine [mm] \varepsilon [/mm] in dem Bereich aj [mm] \in [/mm] (a- [mm] \varepsilon [/mm] , a + [mm] \varepsilon) [/mm] liegt. (also in der Epsilon-Umgebung)
Wenn man nun zwischen geraden j und ungeraden j unterscheidet, wird der Term in den Betragstrichen etwas übersichtlicher.
1.Fall j gerade : [mm] \left| \bruch{ 1*j -9}{j^3+3}\right| [/mm] kleiner [mm] \varepsilon
[/mm]
2.Fall j ungerade : [mm] \left| \bruch{ -1*j +3}{j^3-3}\right| [/mm] kleiner [mm] \varepsilon
[/mm]
wenn man das weiterumformt, komme ich jetzt beim ersten Fall auf [mm] \left| \bruch{1}{\varepsilon} kleiner \left| \bruch{j^3+3}{j-9}\right|
und
wenn man das weiterumformt, komme ich jetzt auf \left| \bruch{1}{\varepsilon} \right| kleiner \left| \bruch{j^3-3}{j+3} \right|
erstma bin ich nicht mal sciher ob das richtig ist, zweitens sagt mir das aber irgendwie auch gar nichts...
wie bestimm ich daraus jetzt ein N so dass aj \in (a- \varepsilon , a + \varepsilon) für alle aj \in \IN mit j \ge N gilt:
Könnt ihr mir JETZT weiterhelfen?
Lg Sandra
[/mm]
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Am Schluß deiner Rechnung scheint mir etwas nicht zu stimmen. Es ist aber auch gar nicht nötig, es so kompliziert zu machen. In der Grenzwertdefinition wird ja nur verlangt, daß man zu jedem [mm]\varepsilon > 0[/mm] ein [mm]n_0[/mm] bestimmen muß, so daß ... Nirgendwo steht, daß man das bestmögliche [mm]n_0[/mm] finden muß. Es reicht, überhaupt eines zu finden. Und das ist das übliche Vorgehen in der Analysis: abschätzen, abschätzen und nochmals abschätzen.
Zunächt einmal betrachten wir nur [mm]j \geq 9[/mm] (warum, wirst du gleich sehen). Das kann man machen, da ja bei Grenzwertuntersuchungen der Anfang der Folge überhaupt nicht interessiert. Es geht ja darum, wie sich der hintere unendliche Teil der Folge verhält.
Die Umformung wie gehabt lautet
[mm]\left| \frac{(-1)^j (j-6) - 3}{j^3 + 3(-1)^j} \right|[/mm]
Wenn nun [mm]j[/mm] gerade ist, so lautet der Zähler |j-9| = j-9. (Jetzt siehst du, warum ich [mm]j \geq 9[/mm] vorausgesetzt habe. Ich will mir hier einfach Fallunterscheidungen ersparen.)
Wenn dagegen [mm]j[/mm] ungerade ist, lautet der Zähler [mm]|-j+3| = |j-3| = j-3[/mm]. (Auch hier erweist sich also die Voraussetzung [mm]j \geq 9[/mm] als nützlich.)
Da [mm]j-3[/mm] die größere der beiden Zahlen [mm]j-3, j-9[/mm] ist, gilt also in beiden Fällen:
[mm]\mbox{Zähler} \leq j-3[/mm]
Und jetzt der Nenner. Bei geraden [mm]j[/mm] lautet er [mm]\left| j^3 + 3 \right| = j^3 + 3[/mm], bei ungeraden [mm]\left| j^3 - 3 \right| = j^3 - 3[/mm] (beachte auch hier: [mm]j \geq 9[/mm]). Die kleinere der beiden Zahlen ist nun [mm]j^3 - 3[/mm]. In beiden Fällen gilt daher:
[mm]\mbox{Nenner} \geq j^3 - 3[/mm]
Und da ein Bruch mit positivem Zähler und Nenner wächst, wenn man den Zähler vergrößert und den Nenner verkleinert, gilt nun insgesamt für [mm]j \geq 9[/mm]
[mm]\left| \frac{(-1)^j (j-6) - 3}{j^3 + 3(-1)^j} \right| \leq \frac{j-3}{j^3 - 3} \leq \frac{j-3}{j^3 - 27}[/mm]
Zuletzt habe ich den Nenner weiter verkleinert. Dadurch wurde der Bruch nochmals größer. (Man muß nur aufpassen, daß der Nenner nicht negativ wird. Dann kommt man in Teufels Küche. Aber wieder wegen [mm]j \geq 9[/mm] geht das in Ordnung.) Ich habe das deshalb gemacht, weil ich mich an die Formel
[mm]j^3 - 27 = (j-3)(j^2 + 3j + 9)[/mm]
erinnert habe (das Polynom [mm]j^3 - 27[/mm] hat die Nullstelle [mm]j=3[/mm] - Polynomdivision!). Jetzt kürzt man den Zähler weg:
[mm]\frac{j-3}{j^3 - 27} \leq \frac{1}{j^2 + 3j + 9} \leq \frac{1}{j^2} \leq \frac{1}{j}[/mm]
Warum die letzten Abschätzungen korrekt sind, kannst du dir ja selbst einmal überlegen. Insgesamt haben wir erhalten:
Für [mm]j \geq 9[/mm] gilt: [mm]\left| \frac{(-1)^j (j-6) - 3}{j^3 + 3(-1)^j} \right| \leq \frac{1}{j}[/mm]
Und jetzt kommt ein "erst-recht-Argument". Wenn wir den letzten Term [mm]< \varepsilon[/mm] machen, dann ist es der erste erst recht (er ist ja höchstens kleiner). Du bestimmst also mit dem Term [mm]\frac{1}{j}[/mm] ein [mm]n_0 \geq 9[/mm] so, daß [mm]\frac{1}{j} < \varepsilon[/mm] für [mm]j \geq n_0[/mm] wird. Dann paßt dieses [mm]n_0[/mm] auch für den Ausgangsterm.
Natürlich ist das so gefundene [mm]n_0[/mm] nicht bestmöglich, schließlich habe ich oben unverschämt grob abgeschätzt! Aber es genügt für das, was wir brauchen.
Und so geht Analysis ...
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Ich wollte mich nur für die Ausfürliche Antwort bedanken...Werde mir das alles noch einmal durch den Kopf gehen lassen..Aber ich denke ich habe es jetztt verstanden...
Liebe Grüße sandra
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> Am Schluß deiner Rechnung scheint mir etwas nicht zu
> stimmen. Es ist aber auch gar nicht nötig, es so
> kompliziert zu machen. In der Grenzwertdefinition wird ja
> nur verlangt, daß man zu jedem [mm]\varepsilon > 0[/mm] ein [mm]n_0[/mm]
> bestimmen muß, so daß ... Nirgendwo steht, daß man das
> bestmögliche [mm]n_0[/mm] finden muß. Es reicht, überhaupt eines zu
> finden. Und das ist das übliche Vorgehen in der Analysis:
> abschätzen, abschätzen und nochmals abschätzen.
Ist also bei so einer Aufgabe nicht verlangt das Beste N zu finden?Dann hab ich mal wieder zuviel in die Aufgabe hineininterpretiert.
>
> Zunächt einmal betrachten wir nur [mm]j \geq 9[/mm] (warum, wirst du
> gleich sehen). Das kann man machen, da ja bei
> Grenzwertuntersuchungen der Anfang der Folge überhaupt
> nicht interessiert. Es geht ja darum, wie sich der hintere
> unendliche Teil der Folge verhält.
>
> Die Umformung wie gehabt lautet
>
> [mm]\left| \frac{(-1)^j (j-6) - 3}{j^3 + 3(-1)^j} \right|[/mm]
>
> Wenn nun [mm]j[/mm] gerade ist, so lautet der Zähler |j-9| = j-9.
> (Jetzt siehst du, warum ich [mm]j \geq 9[/mm] vorausgesetzt habe.
> Ich will mir hier einfach Fallunterscheidungen ersparen.)
kann man das so einfach machen, dass man jetzt die Fallunterscheidungen einfach nicht mehr beachtet und zu einem fall zusammenfasst?
>
> Wenn dagegen [mm]j[/mm] ungerade ist, lautet der Zähler [mm]|-j+3| = |j-3| = j-3[/mm].
> (Auch hier erweist sich also die Voraussetzung [mm]j \geq 9[/mm] als
> nützlich.)
>
> Da [mm]j-3[/mm] die größere der beiden Zahlen [mm]j-3, j-9[/mm] ist, gilt
> also in beiden Fällen:
>
> [mm]\mbox{Zähler} \leq j-3[/mm]
>
> Und jetzt der Nenner. Bei geraden [mm]j[/mm] lautet er [mm]\left| j^3 + 3 \right| = j^3 + 3[/mm],
> bei ungeraden [mm]\left| j^3 - 3 \right| = j^3 - 3[/mm] (beachte
> auch hier: [mm]j \geq 9[/mm]). Die kleinere der beiden Zahlen ist
> nun [mm]j^3 - 3[/mm]. In beiden Fällen gilt daher:
>
> [mm]\mbox{Nenner} \geq j^3 - 3[/mm]
>
> Und da ein Bruch mit positivem Zähler und Nenner wächst,
> wenn man den Zähler vergrößert und den Nenner verkleinert,
> gilt nun insgesamt für [mm]j \geq 9[/mm]
>
> [mm]\left| \frac{(-1)^j (j-6) - 3}{j^3 + 3(-1)^j} \right| \leq \frac{j-3}{j^3 - 3} \leq \frac{j-3}{j^3 - 27}[/mm]
>
> Zuletzt habe ich den Nenner weiter verkleinert. Dadurch
> wurde der Bruch nochmals größer. (Man muß nur aufpassen,
> daß der Nenner nicht negativ wird. Dann kommt man in
> Teufels Küche. Aber wieder wegen [mm]j \geq 9[/mm] geht das in
> Ordnung.)
Beziehen sich die ganzen Umformungen also au f[mm]j \geq 9[/mm] ??
>
>
>
> [mm]\frac{j-3}{j^3 - 27} \leq \frac{1}{j^2 + 3j + 9} \leq \frac{1}{j^2} \leq \frac{1}{j}[/mm]
>
> Warum die letzten Abschätzungen korrekt sind, kannst du dir
> ja selbst einmal überlegen. Insgesamt haben wir erhalten:
>
> Für [mm]j \geq 9[/mm] gilt: [mm]\left| \frac{(-1)^j (j-6) - 3}{j^3 + 3(-1)^j} \right| \leq \frac{1}{j}[/mm]
>
> Und jetzt kommt ein "erst-recht-Argument". Wenn wir den
> letzten Term [mm]< \varepsilon[/mm] machen, dann ist es der erste
> erst recht (er ist ja höchstens kleiner). Du bestimmst also
> mit dem Term [mm]\frac{1}{j}[/mm] ein [mm]n_0 \geq 9[/mm] so, daß [mm]\frac{1}{j} < \varepsilon[/mm]
> für [mm]j \geq n_0[/mm] wird. Dann paßt dieses [mm]n_0[/mm] auch für den
> Ausgangsterm.
>
> Natürlich ist das so gefundene [mm]n_0[/mm] nicht bestmöglich,
> schließlich habe ich oben unverschämt grob abgeschätzt!
> Aber es genügt für das, was wir brauchen.
>
> Und so geht Analysis ...Ist das also vom Prinzip her immer so?
Danke schonmal im Vorraus.
Ich hätte das jetzt glaube ich die ganze zeit mir Fallunterscheidungen weitergemacht, aber damit wäre ich wahrscheinlich noch dumm und duselig geworden oder?
Lg sandra
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> Hallo ihr
> Wenn das die ergebnisse beim zusammenfassen dieses Termes [mm] \left| \frac{(-1)^j (j-6) - 3}{j^3 + 3(-1)^j} \right| [/mm] , dann ist doch folgende Ungleichung nicht richtig oder?
> >
> > [mm]\mbox{Zähler} \leq j-3[/mm]
> >
> >
> > [mm]\mbox{Nenner} \geq j^3 - 3[/mm]
> >
>
> >
> > [mm]\left| \frac{(-1)^j (j-6) - 3}{j^3 + 3(-1)^j} \right| \leq \frac{j-3}{j^3 - 3} \leq \frac{j-3}{j^3 - 27}[/mm]
>
> > Ein Bruch wird ja dann insgesamt größer, wenn der Zähler größer und der Nenner kleiner wird!Oben wurde aber genau das Gegenteil vorausgesetzt.
Oder nicht?
Würd mich über eine Antwort sehr freuen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:43 Di 08.11.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo pusteblume!
Deine spezielle Rückfrage zur Abschätzung von Brüchen wurde Dir ja hier bereits von Stefan beantwortet.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:06 Di 08.11.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo pusteblume!
> Ist also bei so einer Aufgabe nicht verlangt das Beste N zu
> finden? Dann hab ich mal wieder zuviel in die Aufgabe
> hineininterpretiert.
Grundsätzlich wird das natürlich schon angestrebt.
Aber das ist oft - wie bei dieser Aufgabe - gar nicht lösbar, so dass man also auf Abschätzungen zurückgreifen muss.
> kann man das so einfach machen, dass man jetzt die
> Fallunterscheidungen einfach nicht mehr beachtet und zu
> einem fall zusammenfasst?
Ich denke, so ganz ohne Fallunterscheidungen kommst Du nicht aus.
Stefan hat Dir ja in seiner anderen Antwort zu den Abschätzungen einige Ansätze geliefert.
Gruß
Loddar
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