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| Aufgabe | | Wir definieren die Folge [mm] {a_{n}} [/mm] von n=0 bis [mm] \infty [/mm] durch [mm] a_{n}:=Arg(\produkt_{k=0}^{n}(k+i)). [/mm] Sei [mm] a\in[0,2\pi]. [/mm] Argumentieren Sie, warum es eine Teilfolge [mm] {a_{n}_{k}} [/mm] von k=0 bis [mm] \infty [/mm] gibt mit [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}{a_{n}_{k}} [/mm] =a |
So, zuerst habe ich mir überlegt, wie die definierte Folge aussieht und ich denke, dass die Folge im Kreis geht. Dann habe ich mir überlegt, ob man den Satz von Bolzano-Weierstraß anwenden kann, dass heißt, die Folge an ist beschränkt und nach dem Satz gibt es dann min. einen Häufungswert und daraus kann man vielleicht die Behauptung belegen.
Sind meine Überlegungen brauchbar und wenn nicht, kann mir einer das erklären, wie man sonst argumentieren soll, sodass es richtig ist und ich es verstehe.
Vielen Dank
TheBozz-mismo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:19 Do 03.12.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo TheBozz-mismo!
> Wir definieren die Folge [mm]{a_{n}}[/mm] von n=0 bis [mm]\infty[/mm] durch
> [mm]a_{n}:=Arg(\produkt_{k=0}^{n}(k+i)).[/mm] Sei [mm]a\in[0,2\pi].[/mm]
> Argumentieren Sie, warum es eine Teilfolge [mm]{a_{n}_{k}}[/mm] von
> k=0 bis [mm]\infty[/mm] gibt mit
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}{a_{n}_{k}}[/mm] =a
>
> So, zuerst habe ich mir überlegt, wie die definierte
> Folge aussieht und ich denke, dass die Folge im Kreis geht.
Ich denke eher, dass sie im Intervall $[0, 2 [mm] \pi]$ [/mm] liegt. Das ist kein Kreis.
> Dann habe ich mir überlegt, ob man den Satz von
> Bolzano-Weierstraß anwenden kann, dass heißt, die Folge
> an ist beschränkt und nach dem Satz gibt es dann min.
> einen Häufungswert und daraus kann man vielleicht die
> Behauptung belegen.
Der Satz liefert dir, dass es mindestens einen Haeufungswert in $[0, 2 [mm] \pi]$ [/mm] gibt. Du willst aber argumentieren, dass jedes Element aus $[0, 2 [mm] \pi]$ [/mm] ein Haeufungswert ist. Da hilft dir der Satz kein bisschen weiter.
> Sind meine Überlegungen brauchbar und wenn nicht, kann mir
> einer das erklären, wie man sonst argumentieren soll,
> sodass es richtig ist und ich es verstehe.
Hast du dir mal ueberlegt, wie sich [mm] $a_n$ [/mm] und [mm] $a_{n+1}$ [/mm] unterscheiden? (so grob)
Du musst argumentieren, dass sie modulo 2 [mm] $\pi$ [/mm] immer wieder das Intervall $[0, 2 [mm] \pi]$ [/mm] durchlaeuft, in immer kleineren Schritten, aber dass sie niemals aufhoert. (Aequivalent dazu ist: die Reihe [mm] $\sum_{k=0}^\infty [/mm] Arg(k + i)$ ist divergent, die Folge $(Arg(k + [mm] i))_{k\in\IN}$ [/mm] dagegen eine Nullfolge.)
LG Felix
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Vielen Dank
Ich mach mir mal Gedanken über deine Ansätze.
Gruß
TheBozz-mismo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Sa 05.12.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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