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| Aufgabe | | [mm] a_{n} [/mm] = [mm] ln(sin(0,5\pi-1/n)) [/mm] |
Hallo,
hat jemand für mich vielleicht einen Lösungsweg wie ich dir obige Folge auf Konvergenz prüfen kann.
Des weiteren hänge ich an folgenden Aufgaben.
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{4k^{2}}{5k^{4}+6k^{3}+2k}
[/mm]
Kann ich bei dieser Aufgabe auch einfach den Grenzwert betrachten und dann mit einer monoton fallenden Folge argumentieren. Oder ist das Majorantenkriterum in diesem Fall besser?
Und nun die letzt Aufgabe.
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{k^{k}}{k!}
[/mm]
Gibt es noch eine andere Möglichkeit als das Quotientenkriterum?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:39 Mi 24.09.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo moritz,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
> [mm]a_{n}[/mm] = [mm]ln(sin(0,5\pi-1/n))[/mm]
Gehe hier von innen nach außen vor. Wohin strebt [mm] $\bruch{1}{n}$ [/mm] ?
Das heißt dann für [mm] $\sin\left(\bruch{\pi}{2}-\bruch{1}{n}\right)$ [/mm] ?
Usw.
Diese Vorgehensweise ist zulässig, da beide Funktionen [mm] $\blue{\sin(...)}$ [/mm] und [mm] $\blue{\ln(...)}$ [/mm] stetig sind.
Gruß
Loddar
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Ist die Schlussfolgerung dann richtig, dass die Folge beschränkt und monoton wachsend ist?
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n} =\limes_{n\rightarrow\infty} ln(sin(0,5\pi)) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] ln(1) = 0
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> Ist die Schlussfolgerung dann richtig, dass die Folge
> beschränkt und monoton wachsend ist?
Hallo,
es ist richtig, daß die Folge monoton wachsend und beschränkt ist.
Ob allerdings Deine Schlußfolgerung richtig ist, kann man nicht sagen, denn Du verrätst ja nicht, auf welchem Weg Du Deine Schlüsse gezogen hast.
Allein daraus, daß die Folge einen Grenzwert hat, weiß man das nicht.
monoton und beschränkt ==> Grenzwert.
Die Umkehrung ist i.a. falsch.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:51 Mi 24.09.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ist die Schlussfolgerung dann richtig, dass die Folge
> beschränkt und monoton wachsend ist?
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_{n} =\limes_{n\rightarrow\infty} ln(sin(0,5\pi))=\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
ln(1) = 0
Deine letzte Gleichungskette läßt überhaupt die Argumentation nicht erkennen. Ich schreibe es Dir mal richtig auf:
Sei $a_n=\ln(\sin(0,5\pi-1/n))$ ($n \in \IN$). Gefragt ist, ob $(a_n)_{n \in \IN}$ konvergiert. Loddar sagt Dir ja, denn:
Es gilt zunächst $\lim_{n \to \infty} (0,5\pi-1/n)=0,5\pi-\lim_{n \to \infty}1/n=0,5\pi-0=0,5\pi$. Weil die Funktion $x \mapsto \sin(x)$ stetig (an der Stelle $x=0,5 \pi$) ist und $\sin(0,5\pi)=1$ ist, folgt:
$\lim_{n \to \infty} \sin(0,5\pi-1/n)=\sin\left(\lim_{n \to \infty} (0,5\pi-1/n)\right)=\sin(0,5\pi)=1$.
Weil $x \mapsto \ln(x)$ auf $\IR_{>0}$ (und damit insbesondere an der Stelle $\black{x}=1$) stetig ist, folgt mit $\ln(1)=0$:
$\lim_{n \to \infty} \ln(\sin(0,5\pi-1/n))=\ln\left(\lim_{n \to \infty}\sin(0,5\pi-1/n)\right)=\ln(1)=0$.
Dies zeigt, dass $(a_n)_{n \in \IN}$ konvergent ist und der Grenzwert $a:=\lim_{n \to \infty}a_n$ der Folge $\black{a}=0$ ist.
Selbstverständlich wird man das normalerweise eher so schreiben:
$$\lim_{n \to \infty} \ln(\sin(0,5\pi-1/n))=\ln\left(\lim_{n \to \infty}\sin(0,5\pi-1/n)\right)=\ln\left(\sin\left(\lim_{n \to \infty} 0,5\pi-1/n\right)\right)=\ln(\sin(0,5\pi))=\ln(1)=0\,,$$
und man bringt dann die erwähnten Stetigkeitsargumente ins Spiel, allerdings ist die wirkliche Argumentation bei dieser Gleichungskette dann von rechts nach links zu lesen. Denn die Stetigkeit von $x \mapsto \sin(x)$ liefert diese Gleichung hier:
$\lim_{n \to \infty} \ln(\sin(0,5\pi-1/n))=\ln\left(\lim_{n \to \infty}\sin(0,5\pi-1/n)\right)$ ja nur, wenn $\lim_{n \to \infty}\sin(0,5\pi-1/n)\right)$ existiert, und dass der existiert, erkennt man erst im nächsten Schritt...
Und selbstverständlich kann man auch argumentieren, dass die Folge $(a_n)_{n \in \IN}$ konvergent ist, weil sie monoton wachsend und nach oben beschränkt ist. Allerdings ist dabei dann der Grenzwert der Folge $(a_n)_n$, alleine durch diese Argumentation, nicht gegeben.
Was braucht man, um zu zeigen, dass $(a_n)_n$ monoton wachsend ist? Naja, diese Argumente können benutzt werden:
1.) $(0,5 \pi - 1/n)_{n \in \IN}$ ist eine (streng) monoton wachsende Folge, die durch $0,5\pi$ nach oben beschränkt ist. Insbesondere gilt $0,5 \pi-1/n \ge 0$ für alle $n \in \IN$, also für jedes $n \in \IN$ ist $0,5 \pi - 1/n \in \left[0,\frac{\pi}{2}\right]\,.$
2.) Die Funktion $x \mapsto \sin(x)$ ist auf $\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$ (streng) monoton wachsend.
3.) $x \mapsto \ln(x)$ ist auf $\IR_{>0}$ (streng) monoton wachsend.
Und der Beweis, dass die Folge $(a_n)_n$ nach dem Hauptsatz über monotone Folgen konvergiert, könnte damit so ablaufen:
a) Zunächst ist $(a_n)_n$ (streng) monoton wachsend, denn:
Sei $x_n:=0,5\pi-1/n$ ($n \in \IN$). Nach 1.) ist $(x_n)_n$ (streng) monoton wachsend und $x_n \in \left[0,\frac{\pi}{2}\right]$ für jedes $n \in \IN$. Wegen 2.) ist dann die Folge $(y_n)_n$, definiert durch $y_n:=\sin(x_n)$ ($n \in \IN$), (streng) monoton wachsend....
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b) Es gilt $a_n \le 0$ (oder gar $a_n < 0$) für alle $\black{n}$, denn...
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Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:41 Mi 24.09.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Moritz!
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{k^{k}}{k!}[/mm]
>
> Gibt es noch eine andere Möglichkeit als das Quotientenkriterum?
Du kannst auch das Wurzelkriterium heranziehen. Aber es scheint mir hier mit Quotientenkriterium schneller zu gehen.
Allerdings solltest Du erst einmal das notwendige Kriterium überprüfen, ob [mm] $\limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{k^k}{k!} [/mm] \ = \ 0$ .
Gruß
Loddar
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Vielen Dank für die schnelle Hilfe.
Habe ich in meinen Skript etwas übersehen oder muss ich nicht zwingend den Grenzwert überprüfen wenn ich das Quotienten- oder Wurzelkriterium anwende?
Oder dient es einfach nur einer "Einschätzung"? -Wenn der Grenzwert nicht O wäre müsste ich gar nicht weiterrechnen, weil die Reihe dann divergiert!?
Gruß
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> Habe ich in meinen Skript etwas übersehen oder muss ich
> nicht zwingend den Grenzwert überprüfen wenn ich das
> Quotienten- oder Wurzelkriterium anwende?
Hallo,
Du meinst den Grenzwert von [mm] \bruch{k^k}{k!}?
[/mm]
Zwingend ist das nicht.
Allerdings kannst Du Dir viel Arbeit sparen, wenn Du Dich zuvor versicherst, ob die Folge wirklch gegen 0 geht.
>
> Oder dient es einfach nur einer "Einschätzung"? -Wenn der
> Grenzwert nicht O wäre müsste ich gar nicht weiterrechnen,
> weil die Reihe dann divergiert!?
Ja.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:14 Mi 24.09.2008 | | Autor: | phil974 |
irgendwie kommen mir die aufgaben bekannt vor, wie klein das netz doch ist. 
hab die aufgabe gerechnet mit dem quotientenkriterium, braeuchte nur eine bestätigung, ob mein rechenweg, bzw das ergebnis stimmt.
da es eine din a4 seite umformen war (okay, meine schrift ist groß) schreibe ich nur das ende der umforum hin:
(1+ [mm] \bruch{1}{k})^k [/mm] = e , somit gilt >1, folglich divergent
korrekt ?
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Hallo phil974,
> irgendwie kommen mir die aufgaben bekannt vor, wie klein
> das netz doch ist.
>
> hab die aufgabe gerechnet mit dem quotientenkriterium,
> braeuchte nur eine bestätigung, ob mein rechenweg, bzw das
> ergebnis stimmt.
>
> da es eine din a4 seite umformen war (okay, meine schrift
> ist groß) schreibe ich nur das ende der umforum hin:
>
> (1+ [mm]\bruch{1}{k})^k[/mm] [mm] \red{\overset{k\to\infty}{\longrightarrow}} [/mm] e , somit gilt >1, folglich
> divergent
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Das erhalte ich für die Reihe [mm] $\sum\imits_k\frac{k^k}{k!}$ [/mm] auch!
>
> korrekt ?
Sieht gut aus, ja!
LG
schachuzipus
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> Des weiteren hänge ich an folgenden Aufgaben.
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{4k^{2}}{5k^{4}+6k^{3}+2k}[/mm]
>
> Kann ich bei dieser Aufgabe auch einfach den Grenzwert
> betrachten
Hallo,
kennst Du denn den Grenzwert der Reihe? Ich nicht.
> und dann mit einer monoton fallenden Folge
> argumentieren.
Welche Folge meinst Du? Die Folge der Partialsummen? Die wächst. Es kommt doch immer mehr dazu.
Daß die Folge [mm] a_k=\bruch{4k^{2}}{5k^{4}+6k^{3}+2k} [/mm] eine Nullfolge ist, sichert Dir nicht die Konvergenz der Reihe. Diese Kriterium ist notwendig, aber nicht hinreichend.
> Oder ist das Majorantenkriterum in diesem
> Fall besser?
Unbedingt.
Bedenke: [mm] \bruch{4k^{2}}{5k^{4}+6k^{3}+2k}\le \bruch{4k^{2}}{5k^{4}}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:32 Mi 24.09.2008 | | Autor: | phil974 |
schau am besten nochmal hier nach, hatte da auch einige sachen offen....oder es werden schon einige deiner fragen beantwortet
Verschiedene Kurzfragen
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