Folgen Konvergenz u. Divergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:44 Mi 16.02.2011 | | Autor: | yuppi |
Hallo Zusammen,
wenn ich mir die alten Klausuraufgaben anschaue wird unterschieden bei Folgen zwischen 2 Aufgabenstellungen und zwar:
Einmal: Untersuchen Sie die Folge auf Konvergenz. Das wir eben gemacht haben.
Und Einmal:
Untersuchen Sie die folgende Folge auf Konvergenz bzw. Divergenz und geben Sie ggf. den Grenzwert an.
Also bei letzterer setzt man immer Teilfolgen ein.
Also z.B bei dieser Aufgabe:
[mm] an=\bruch{-2nsin\bruch{n\pi}{2}}{n+1}
[/mm]
Also wieso macht man das bei diesen Aufgabentyp mit Teilfolgen ? Und welche Teilfoge muss man sich da wählen ? Wie wählt man sich die passenden ? Es müssen ja mind. 2 sein. und wenns gegen dasselbe konvergiert soll es ja demnach konvergent sein. Bitte um ausführliche Erklärung für einen Anfänger in der Mathematik....
Bitte auf die Fragen eingehen. diese beschäftigen mich sehr...
Gruß yuppi
Besten dank
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Hallo yuppi,
> Hallo Zusammen,
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> wenn ich mir die alten Klausuraufgaben anschaue wird
> unterschieden bei Folgen zwischen 2 Aufgabenstellungen und
> zwar:
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> Einmal: Untersuchen Sie die Folge auf Konvergenz. Das wir
> eben gemacht haben.
>
> Und Einmal:
>
> Untersuchen Sie die folgende Folge auf Konvergenz bzw.
> Divergenz und geben Sie ggf. den Grenzwert an.
>
>
> Also bei letzterer setzt man immer Teilfolgen ein.
>
> Also z.B bei dieser Aufgabe:
>
> [mm]an=\bruch{-2nsin\bruch{n\pi}{2}}{n+1}[/mm]
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> Also wieso macht man das bei diesen Aufgabentyp mit
> Teilfolgen ? Und welche Teilfoge muss man sich da wählen ?
> Wie wählt man sich die passenden ? Es müssen ja mind. 2
> sein. und wenns gegen dasselbe konvergiert soll es ja
> demnach konvergent sein. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Wenn du Konvergenz hast, so ist der GW eindeutig. Es müssen dann alle Teilfolgen gegen diesen GW konvergieren.
Wenn du 2 Teilfolgen mit unterschiedlichem GW (bzw. eine divergente) angeben kannst, kann die Ausgangsfolge folglich nicht konvergent sein.
> Bitte um ausführliche Erklärung
> für einen Anfänger in der Mathematik....
Bei solchen Folgen hilft es (mir) immer, den Graphen von [mm]\sin[/mm] mal aufzumalen.
Dann siehst du schon, dass der Sinus in [mm]\pi/2[/mm]- Intervallen immer zwischen [mm]0,1,0,-1[/mm] rumhüpft.
Schreibe dir mal die beiden Teilfolgen, wo der Sinusausdruck 1 wird und wo er -1 wird hin und untersuche für diese beiden TF mal das Verhalten des Bruches ...
Versuche dich mal daran, wenn du das einmal durchgezogen hast, dann kannst du das.
Wenn du die erwähnten Teilfolgen mal schön formuliert hast, ist der Rest ein Klacks ...
Das hilft mehr als das Vorrechnen ...
> Bitte auf die Fragen eingehen. diese beschäftigen mich
> sehr...
>
>
> Gruß yuppi
>
> Besten dank
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:24 Mi 16.02.2011 | | Autor: | yuppi |
Ich glaube ich müsste es richtig gemacht haben.
Ich habe als erstes n=1 gewählt
Dann habe ich ja sin [mm] sin\bruch{\pi}{2} [/mm] was gleich 1 ist.
Ingesamt kam da -1 raus.
Das selbe habe ich dann für n=2 gemacht.
Dan kam [mm] \bruch{0}{3} [/mm] raus.
UND DAS HABE ICH NACH NOCHMALS für n=3 gemacht , da ist ja der sinus -1
Da kam dann 3 raus.
Und das sind 3 verschiedene Werte woraus folgt, das die folge divergent ist.
Dazu stelle ich mir nur eine Frage.
Eine Teilfolge ist doch z.B [mm] \bruch{1}{n} [/mm]
Aber wenn ich 2 einsetzte ist das eine Teilfolge ? Bitte um Erklärung
Danke im Voraus ;)
Gruß yuppi
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> Ich glaube ich müsste es richtig gemacht haben.
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> Ich habe als erstes n=1 gewählt
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> Dann habe ich ja sin [mm]sin\bruch{\pi}{2}[/mm] was gleich 1
> ist.
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> Ingesamt kam da -1 raus.
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> Das selbe habe ich dann für n=2 gemacht.
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> Dan kam [mm]\bruch{0}{3}[/mm] raus.
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> UND DAS HABE ICH NACH NOCHMALS für n=3 gemacht , da ist ja
> der sinus -1
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> Da kam dann 3 raus.
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> Und das sind 3 verschiedene Werte woraus folgt, das die
> folge divergent ist.
>
> Dazu stelle ich mir nur eine Frage.
>
> Eine Teilfolge ist doch z.B [mm]\bruch{1}{n}[/mm]
Die sehe ich nicht - ist wohl ein falsches Verständnis von Teilfolge: Das ist nicht ein Teil des Folgenterms. Eine Teilfolge bedeutet, dass du nicht jedes Folgenglied betrachtest, sondern z.B. nur jedes zweite (s. Beispiele unten).
Dann wird vielleicht auch klarer, wieso die Folge divergiert, wenn du zwei Teilfolgen mit unterschiedlichem Grenzwert findest, auch hier s. Beispiel unten.
>
> Aber wenn ich 2 einsetzte ist das eine Teilfolge ? Bitte um
> Erklärung
Nein, weiteres s.u.
>
> Danke im Voraus ;)
>
> Gruß yuppi
Das liest sich so, als hättest du noch ein verquertes Verständnis des Begriffs Teilfolge (oder du schreibst es nicht ordenlich auf).
Einfaches Beispiel vorweg:
[mm] a_n [/mm] = [mm] (-1)^n
[/mm]
Die Folge ist offensichtlich nicht konvergent, weil sie immer zwischen 1 und -1 hin- und herspringt.
Eine Teilfolge davon wären z.B. alle Folgeglieder mit n = 2k, also alle geraden Folgeglieder. Die ungeraden lässt man weg, deswegen hat man nur einen Teil der eigentlichen Folge und damit eine so genannte Teilfolge.
Die wäre dann [mm] a_{2k} [/mm] = [mm] (-1)^{2k} [/mm] = [mm] 1^k [/mm] = 1 für alle k [mm] \in \IN
[/mm]
Eine andere Teilfolge wären z.B. alle Folgeglieder mit n = 2k + 1
Also: Eine Teilfolge ist ebenfalls eine Folge, d.h. besteht aus unendlich vielen Folgegliedern, die auch alle zur eigentlichen Folge gehören. Aber es sind nicht ALLE Folgeglieder.
Jetzt mal ein Sinus-Beispiel (nicht deins, das kannst du dann selbst machen):
[mm] $a_n [/mm] = [mm] \sin{\frac{n}{2}*\pi}$
[/mm]
Du kannst dir das jetzt erstmal ganz einfach durch Einsetzen erschließen:
[mm] a_1 [/mm] = [mm] \sin{\frac{\pi}{2}} [/mm] = 1
[mm] a_2 [/mm] = [mm] \sin{2*\frac{\pi}{2}} [/mm] = 0
[mm] a_3 [/mm] = [mm] \sin{3*\frac{\pi}{2}} [/mm] = -1
[mm] a_4 [/mm] = [mm] \sin{\frac{4*\pi}{2}} [/mm] = 0
So, und ab hier wiederholt sich das Spielchen.
Das musst du jetzt nur noch "ordentlich" formulieren und das kannst du z.B. mit den Teilfolgen machen. Hier kannst du z.B. wieder nur die geraden n betrachten als erste Teilfolge. Da gilt [mm] a_n [/mm] = 0, somit ist auch der Grenzwert dieser Teilfolge 0.
Du kannst dir aber auch die Teilfolge anschauen, wo n = 4k + 1 ist, also n= 1, 5, 9, 13, ....
Für diese n ist immer [mm] a_n [/mm] = 1, also auch der Grenzwert.
Wenn du aber zwei Teilfolgen findest, die einen unterschiedlichen Grenzwert haben, hast du bewiesen, dass die gesamte Folge divergent ist (bei der müssen alle Teilfolgen auch gegen den Grenzwert gehen, deswegen ist dieses Verfahren nur geeignet, wenn du Divergenz nachweisen willst - ALLE Teilfolgen lassen sich so schwer auf diese Art und Weise untersuchen).
Das kannst du jetzt auch auf deine Folge anwenden - z.B. kannst du erst ein n ausklammern und kürzen, dann beschränkt sich das im wesentlichen auf den Sinus bei der Grenzwertbetrachtung. Und da kannst du dich an meinem Beispiel orientieren.
lg weightgainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:50 Mi 16.02.2011 | | Autor: | yuppi |
Erstmal besten Dank für die super Antwort.
Habe ich mir erstmal alles aufgeschrieben ^^. Hatte wohl wirklich ein falsches Verständnis dazu.
Am Ende sagtest du
> Wenn du aber zwei Teilfolgen findest, die einen
> unterschiedlichen Grenzwert haben, hast du bewiesen, dass
> die gesamte Folge divergent ist (bei der müssen alle
> Teilfolgen auch gegen den Grenzwert gehen, deswegen ist
> dieses Verfahren nur geeignet, wenn du Divergenz nachweisen
> willst - ALLE Teilfolgen lassen sich so schwer auf diese
> Art und Weise untersuchen).
So aber ich kann doch vorher nicht wissen, dass diese Divergent ist oder nicht ? Also ich weiß ja nicht zu Beginn, dass ich Divergenz nachweisen werde.
Also vielen Dank und rechne die Aufgabe jetzt nochmal..
Gruß yuppi
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> Erstmal besten Dank für die super Antwort.
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> Habe ich mir erstmal alles aufgeschrieben ^^. Hatte wohl
> wirklich ein falsches Verständnis dazu.
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> Am Ende sagtest du
>
>
> > Wenn du aber zwei Teilfolgen findest, die einen
> > unterschiedlichen Grenzwert haben, hast du bewiesen, dass
> > die gesamte Folge divergent ist (bei der müssen alle
> > Teilfolgen auch gegen den Grenzwert gehen, deswegen ist
> > dieses Verfahren nur geeignet, wenn du Divergenz nachweisen
> > willst - ALLE Teilfolgen lassen sich so schwer auf diese
> > Art und Weise untersuchen).
>
>
> So aber ich kann doch vorher nicht wissen, dass diese
> Divergent ist oder nicht ? Also ich weiß ja nicht zu
> Beginn, dass ich Divergenz nachweisen werde.
>
> Also vielen Dank und rechne die Aufgabe jetzt nochmal..
Naja, ich hab das bei deinen ganzen Übungen so gemacht, dass ich für eine ziemlich große Zahl eingesetzt habe. Dann hast du schon mal ein Gefühl dafür, ob da überhaupt was gehen kann.
Es gibt ja im Grunde folgende Möglichkeiten:
1. Die Folgenglieder hauen dir in irgendeine Richtung ab. Das lässt sich i.d.R. ähnlich zeigen wie Konvergenz, d.h. Umformen des Terms, bis man sieht, was passiert, wenn n [mm] \to \infty [/mm] geht.
2.a) Du bekommst beim Einsetzen des großen n eine "vernünftige" Zahl und du kannst wie in 1. durch Umformen an eine Stelle kommen, wo du es siehst.
2. b) Du bekommst zwar eine vernünftige Zahl, aber das liegt nur daran, dass deine Folge zwar nicht abhaut, aber dauernd hin- und herspringt (oder ähnliches macht).
Wie kannst du das sehen?
Naja, wann "hüpfen" Zahlen hin und her? Zum Beispiel bei Verwendung von SIN/COS, weil die periodisch sind. Oder wenn ein [mm] (-1)^{irgendwas mit n} [/mm] da steht.
Nicht falsch verstehen, auch dann KANN eine Folge konvergieren. Aber es ist der einzige Fall, in dem du mit Teilfolgen die Divergenz zeigen kannst.
Das schlimmste, was dir z.B. bei einem [mm] (-1)^n [/mm] passieren kann: Du nimmst die beiden Teilfolgen für gerade und ungerade n und stellst fest, dass die gegen den gleichen Wert konvergieren. Dann musst du halt nochmal über einen anderen Weg feststellen, dass die Folge tatsächlich konvergiert, z.B. für ein beliebiges [mm] \varepsilon [/mm] ein [mm] N_0 [/mm] finden, ab dem alle Folgeglieder in dem Schlauch drin liegen oder halt durch Umformen und Kürzen oder was ähnliches.
Da heißt es also: Augen auf und deine eigene Erfahrung nutzen  .
>
> Gruß yuppi
lg weightgainer
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:48 Mi 16.02.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo weightgainer,
> > Erstmal besten Dank für die super Antwort.
> >
> > Habe ich mir erstmal alles aufgeschrieben ^^. Hatte wohl
> > wirklich ein falsches Verständnis dazu.
> >
> >
> > Am Ende sagtest du
> >
> >
> > > Wenn du aber zwei Teilfolgen findest, die einen
> > > unterschiedlichen Grenzwert haben, hast du bewiesen, dass
> > > die gesamte Folge divergent ist (bei der müssen alle
> > > Teilfolgen auch gegen den Grenzwert gehen, deswegen ist
> > > dieses Verfahren nur geeignet, wenn du Divergenz nachweisen
> > > willst - ALLE Teilfolgen lassen sich so schwer auf diese
> > > Art und Weise untersuchen).
> >
> >
> > So aber ich kann doch vorher nicht wissen, dass diese
> > Divergent ist oder nicht ? Also ich weiß ja nicht zu
> > Beginn, dass ich Divergenz nachweisen werde.
> >
> > Also vielen Dank und rechne die Aufgabe jetzt nochmal..
>
>
> Naja, ich hab das bei deinen ganzen Übungen so gemacht,
> dass ich für eine ziemlich große Zahl eingesetzt habe.
> Dann hast du schon mal ein Gefühl dafür, ob da überhaupt
> was gehen kann.
>
> Es gibt ja im Grunde folgende Möglichkeiten:
>
> 1. Die Folgenglieder hauen dir in irgendeine Richtung ab.
> Das lässt sich i.d.R. ähnlich zeigen wie Konvergenz, d.h.
> Umformen des Terms, bis man sieht, was passiert, wenn n [mm]\to \infty[/mm]
> geht.
>
> 2.a) Du bekommst beim Einsetzen des großen n eine
> "vernünftige" Zahl und du kannst wie in 1. durch Umformen
> an eine Stelle kommen, wo du es siehst.
>
> 2. b) Du bekommst zwar eine vernünftige Zahl, aber das
> liegt nur daran, dass deine Folge zwar nicht abhaut, aber
> dauernd hin- und herspringt (oder ähnliches macht).
>
> Wie kannst du das sehen?
>
> Naja, wann "hüpfen" Zahlen hin und her? Zum Beispiel bei
> Verwendung von SIN/COS, weil die periodisch sind. Oder wenn
> ein [mm](-1)^{irgendwas mit n}[/mm] da steht.
> Nicht falsch verstehen, auch dann KANN eine Folge
> konvergieren. Aber es ist der einzige Fall, in dem du mit
> Teilfolgen die Divergenz zeigen kannst.
ich bin damit nicht ganz einverstanden. Zum einen finde ich diese Behauptung Deinerseits, ohne Beweis, sehr gewagt. Zum anderen stimmt sie auch nicht. Man kann durchaus auch divergente Folgen hinschreiben, wo z.B. weder etwas periodisches steht noch irgendwas mit [mm] $(-1)^n.$ [/mm] Das ist sofort klar, wenn man an (z.B. beschränkte und trotzdem divergente) komplexwertige Folgen denkt. Auch im reellen geht das, ich brauche die Folgen "nur mit Fallunterscheidungen" hinzuschreiben. Natürlich wird man dann solche Folgen auch umschreiben ("manipulieren") können, dass irgendwo [mm] $(-1)^{irgendwas\;\;mit\;\;n}$ [/mm] drin steht (man addiert oder subtrahiert einfach zu jedem Folgenglied eine, z.B. vom Index des Folgenglieds, abhängige Zahl und addiert dann einen weiteren Summanden, der selbst das Produkt mit [mm] $(-1)^{irgendwas\;\;mit\;\;n}$ [/mm] ist, so, dass man im Endeffekt 0 addiert hat), aber das geht auch bei konvergenten Folgen. Betrachte etwa [mm] $(a_n)_n$ [/mm] mit [mm] $a_n=(-1)^{2n} \equiv 1\,.$ [/mm] Also alleine "das (Nicht-)Sichten von [mm] $(-1)^{...n}$" [/mm] reicht nicht aus, um irgendwas über eine Folge sagen zu können.
(Ein triviales anderes Bsp.: man kann etwa auch [mm] $\frac{1}{n}=(-1)^n*2n+\frac{1}{n}-(-1)^n [/mm] 2n$ schreiben.)
> Das schlimmste, was dir z.B. bei einem [mm](-1)^n[/mm] passieren
> kann: Du nimmst die beiden Teilfolgen für gerade und
> ungerade n und stellst fest, dass die gegen den gleichen
> Wert konvergieren.
?? Da verstehe ich Dich vielleicht falsch. Aber was man sich merken kann:
Ist [mm] $(a_n)_n$ [/mm] eine Folge und sind
[mm] $$(a_{n^{(1)}_k})_k\,, (a_{n^{(2)}_k})_k\,,\ldots,(a_{n^{(m)}_k})_k$$
[/mm]
Teilfolgen (derer [mm] $m\,$ [/mm] an der Zahl) so, dass für [mm] $j=1,\ldots,m$ [/mm] gilt
[mm] $$a_{n^{(j)}_k} \to [/mm] a [mm] \;\;\;(k \to \infty)$$
[/mm]
(d.h. all diese Teilfolgen konvergieren gegen den gleichen Grenzwert)
und so. dass ein $K [mm] \in \IN$ [/mm] existiert mit
[mm] $$\bigcup_{j=1}^m \bigcup_{k=1}^\infty n^{(j)}_k \supseteq \{n \in \IN: n \ge K\}\,,$$
[/mm]
(anders gesagt bzw. äquivalent dazu: "wenn man alle Indizes der Teilfolgen zusammenschmeißt, erhält man alle natürlichen Zahlen bis auf endlich viele Ausnahmen")
so konvergiert auch [mm] $a_n \to a\,.$
[/mm]
Dies ergibt sich, weil eine Folge (in einem metrischen Raum) (genau) dann konvergiert, wenn alle ihre Teilfolgen konvergieren.
> Dann musst du halt nochmal über einen
> anderen Weg feststellen, dass die Folge tatsächlich
> konvergiert, z.B. für ein beliebiges [mm]\varepsilon[/mm] ein [mm]N_0[/mm]
> finden, ab dem alle Folgeglieder in dem Schlauch drin
> liegen oder halt durch Umformen und Kürzen oder was
> ähnliches.
Eben das bräuchte er oben nicht, weil dann "die Teilfolge mit ungeraden Indizes und die mit den geraden Indizes beide gegen denselben Wert konvergieren", und wenn man alle ungeraden und alle geraden Indizes zusammenschmeißt, hat man sogar alle natürlichen Zahlen erfasst.
(Genauso schnell kann man sich aus dem Satz, dass eine Folge genau dann konvergiert, wenn alle ihre Teilfolgen (gegen ein und denselben Grenzwert) konvergieren, herleiten, dass die Folge [mm] $(a_n)_n$ [/mm] sicher dann (gegen [mm] $a\,$) [/mm] konvergiert, wenn [mm] $(a_{2k})_k$ [/mm] und [mm] $(a_{2p-1})_p$ [/mm] beide gegen [mm] $a\,$ [/mm] konvergieren.)
Es kann allerdings sein, dass Du das nicht so meintest - dass der Faktor [mm] $(-1)^n$ [/mm] nicht direkt bei der Ausgangsfolge steht, sondern Du diesen schon bei einer Teilfolge betrachtest. Dann hat man natürlich noch weitere Teilfolgen, die man untersuchen müsste.
Oder Du meintest, dass man von einer Folge [mm] $(a_n)_n$ [/mm] erstmal zwei Teilfolgen betrachtet, wo zwar jeweils nur gerade und nur ungerade Indizes auftauchen, aber man (mindestens einmal) nur echte Teilmengen der geraden bzw. ungeraden Zahlen in der jeweiligen Menge entsprechender Indizes hat...
P.S.:
Ich kann Dir übrigens auch mal "eine etwas fiesere" divergente Folge hinschreiben: Betrachte
[mm] $$a_n:=\begin{cases} \frac{1}{2^k}, & \mbox{falls } n \mbox{ die }k \text{-te Primzahl ist} \\ -1, & \mbox{falls das ungerade } n \mbox{ keine Primzahl ist} \\ 0, & \text{sonst} \end{cases}\,.$$
[/mm]
(Dabei ist übrigens [mm] $a_2=1/2\,,$ [/mm] weil [mm] $2\,$ [/mm] die erste Primzahl ist. Aber es gilt auch [mm] $a_7=1/8\,,$ $a_8=a_{10}=0\,,$ $a_9=-1\,,$ [/mm] ...)
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:34 Mi 16.02.2011 | | Autor: | yuppi |
Hallo,
also wieder von Anfang:
[mm] an=\bruch{-2nsin\bruch{n\pi}{2}}{n+1}
[/mm]
Für 2. Teilfolgen das Verhalten von Sinus überprüfen:
[mm] an=sin(n*\bruch{\pi}{2}
[/mm]
[mm] a1=sin(1*\bruch{\pi}{2}=1
[/mm]
[mm] a2=sin(2*\bruch{\pi}{2}=0
[/mm]
[mm] a3=sin(3*\bruch{\pi}{2}=-1
[/mm]
[mm] a4=sin(4*\bruch{\pi}{2}=0
[/mm]
Also man betrachtet für die Teilfolge nur den Sinus oder Cosinus Term.
Man kann schonmal schlussfolgern er hüpft zwischen, 1,0 und -1
Daraus folgt es gibt 3 Teilfolgen. Uns reichen allerdings 2 aus.
1 Teilfolge: n=4k+1 Für diese Teilfolge erhährt man immer die Folgeglieder 1
2. Teilfolge: n=4k+3 Für diese Teilfolge erhält man immer Folgeglieder -1
So und jetzt hab ich Kopfschmerzen bekommen, weil ich mir nicht sicher war.
Also den gesamten sinus term kann man jetzt wenn man Teilfolge 1 betrachtet durch 1 austauschen. Ist ja dasselbe.
und für n= 4k+1 einsetzen ?
[mm] \bruch{-4k-1}{2k+1}
[/mm]
Ist das -2 ? Wenn ja, wieso ? da ist doch ein k ? sorry für die frage müsste eigentlich klar sein... aber bin nun bissien müde.. Hoffe habs richtig gemacht.. Danke schonmal..
Gruß yuppi
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:03 Do 17.02.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo yuppi!
Bis zu der Idee mit dem Einsetzen von [mm]n \ = \ 4*k+1[/mm] sieht das gut aus.
Dann setzt Du nicht korrekt ein.
Es gilt:
[mm]a_{4k+1} \ = \ \bruch{-2*(4k+1)*1}{4k+1+1} \ = \ ...[/mm]
Wieso sollte das jetzt [mm]-2_[/mm] sein? Ach so ... als Grenzwert?
Das stimmt. Diesen Wert erhält man nun mit den einfachen Mitteln der Bruchrechnung, indem Du nach dem Zusammenfassen in Zähler und Nenner [mm]n_[/mm] ausklammerst und kürzt.
Gruß
Loddar
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