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| Aufgabe | | Für [mm] x\in\IR [/mm] sei die Zahlenfolge [mm] (a_n)_n [/mm] durch [mm] a_1 [/mm] = x und [mm] a_n [/mm] = 1-n * [mm] a_n_-_1 [/mm] für n größer gleich 2 definiert. Man bestimme alle [mm] x_i [/mm] für die alle Glieder der Folge [mm] (a_n)_n [/mm] nicht negativ sind. |
Moin,
Das ist doch eine rekursiv definierte folge oder?
Da muss ich doch zeigen, dass es beschränkt und monton fallend ist oder?
Ich weiß, dass ich als erstes die ersten Folgenglieder aufschreiben muss. das wäre eig mein erster Schritt. Aber da es in Abhängigkeit von x ist komm ich irgendwie nicht klar ich weiß nicht was ich wo einsetzen soll.
könnte mir jmd helfen?
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Hallo ellegance,
> Für [mm]x\in\IR[/mm] sei die Zahlenfolge [mm](a_n)_n[/mm] durch [mm]a_1[/mm] = x und
> [mm]a_n[/mm] = 1-n * [mm]a_n_-_1[/mm] für n größer gleich 2 definiert.
> Man bestimme alle [mm]x_i[/mm] für die alle Glieder der Folge
> [mm](a_n)_n[/mm] nicht negativ sind.
>
> Das ist doch eine rekursiv definierte folge oder?
Ja, ganz offensichtlich.
> Da muss ich doch zeigen, dass es beschränkt und monton
> fallend ist oder?
Das ist nicht gefragt.
> Ich weiß, dass ich als erstes die ersten Folgenglieder
> aufschreiben muss. das wäre eig mein erster Schritt.
Das ist oft hilfreich, damit man sich mal ein "Bild" davon macht, wie die Folge sich so entwickelt. Aber auch das ist nicht gefordert und nicht unbedingt nötig.
> Aber
> da es in Abhängigkeit von x ist komm ich irgendwie nicht
> klar ich weiß nicht was ich wo einsetzen soll.
Na, [mm] a_1=x,\;\ a_2=1-2x,\;\ a_3=1-3(1-2x)=6x-2,\;\ a_4=1-4(6x-2)=9-24x [/mm] etc.
> könnte mir jmd helfen?
Du sollst herausfinden, für welche x alle Folgenglieder positiv sind. Daraus folgen ja auf jeden Fall
1) $x>0$ aus [mm] a_1>0 [/mm] und [mm] a_1=x
[/mm]
2) für [mm] n\ge2 [/mm] ist [mm] a_n=1-n*a_{n-1}>0, [/mm] also [mm] a_{n-1}<\bruch{1}{n}
[/mm]
Schön. Damit haben wir schonmal [mm] 0
Das reicht aber noch nicht an Bedingungen. Wenn Du so nicht weiter siehst, dann versuch doch mal mit Excel oder auch zu Fuß Werte wie x=0,01 oder x=0,49 oder auch x=0,25. Da ist man schnell am Ende. Warum?
Vielleicht hilft Dir auch das Kontrollergebnis zu einer Idee: es gibt nur ein x, für das alle Folgenglieder positiv sind, nämlich [mm] x=e^{-1}.
[/mm]
Grüße
reverend
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okay Danke. Ich werde es mal in ruhe ausprobieren. :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:37 Di 05.02.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal,
hier arbeitet man sich am besten "von hinten nach vorn" durch, will heißen: in welchen Grenzen muss [mm] a_1 [/mm] liegen, damit alle [mm] a_i [/mm] mit [mm] i\le{n} [/mm] positiv sind? Dazu schließt man von [mm] a_n [/mm] auf [mm] a_{n-1}, [/mm] von da auf [mm] a_{n-2} [/mm] usw.
Die so zu findenden Grenzen legen dann auch die Exponentialfunktion nahe, wenn man das Ganze für [mm] n\to\infty [/mm] betrachtet.
Viel Erfolg!
reverend
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