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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:49 Mi 10.09.2008 | | Autor: | LiliMa |
| Aufgabe | Geben Sie für die Folge das allgemeine Glied, sowie eine Rekursionsgleichung an.
1,8,27,64
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Hi Leute,
bei dieser Aufgabe finde ich es nicht schwer die explizite Gleichung zu finden nämlich [mm] n^{3}.
[/mm]
Die Rekursionsgleichung kenne ich auch: [mm] (\wurzel[3]{a_{n}}+1)^{3}
[/mm]
Selber wäre ich allerdings nie auf diese Gleichung gekommen. Bei manchen komme ich auch nicht auf die Explizite Gleichung.
Gibt es da einen Trick um das herauszufinden oder sogar eine Möglichkeit auf die Gleichungen zu errechnen?
Viele Grüsse
Lilli
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> Geben Sie für die Folge das allgemeine Glied, sowie eine
> Rekursionsgleichung an.
>
> 1,8,27,64
>
> Hi Leute,
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> bei dieser Aufgabe finde ich es nicht schwer die explizite
> Gleichung zu finden nämlich [mm]n^{3}.[/mm]
Dies ist noch keine Gleichung !
explizite Gleichung: [mm] a_n=n^3
[/mm]
> Die Rekursionsgleichung kenne ich auch: [mm](\wurzel[3]{a_{n}}+1)^{3}[/mm]
Auch dies ist keine Gleichung.
Jede Gleichung enthält ein Gleichheitszeichen ...
> Selber wäre ich allerdings nie auf diese Gleichung
> gekommen. Bei manchen komme ich auch nicht auf die
> Explizite Gleichung.
>
> Gibt es da einen Trick um das herauszufinden oder sogar
> eine Möglichkeit auf die Gleichungen zu errechnen?
Hallo Lilli,
Aufgaben dieser Art sind sehr weitgehend Übungssache.
Ein allgemeines Rezept, das immer funktioniert, gibt es
nicht - auch schon aus dem Grund, dass eine Folge aus
wenigen Anfangsgliedern eigentlich gar nicht eindeutig
bestimmt werden kann.
Für gewisse einfache Sorten von Zahlenfolgen, z.B.
lineare (arithmetische), exponentielle (geometrische)
Folgen gibt es Formeln, die ihr vielleicht schon behandelt
habt oder bald behandeln werdet.
Es gilt zuerst einmal Vermutungen aufzustellen, sie zu
verifizieren oder zu verwerfen und dann Schritt für Schritt
zu gültigen Formeln zu kommen. Für den Schritt von einer
Rekursionsformel zum Beweis einer vermuteten expliziten
Formel gibt es die Beweismethode der "vollständigen Induktion".
Die Rekursionsformel, die du oben angegeben hast, ist
übrigens nicht die einzige Möglichkeit. Man könnte die
Folge der Kubikzahlen auch so beschreiben:
[mm] \begin{cases}a_1=1 \\ a_{n+1}=a_n+3n^2+3n+1 \end{cases}
[/mm]
LG
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