Folgen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:34 Fr 12.11.2004 | | Autor: | annikach |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallihallo,
ich hoffe mir kann hier jemand mal diese Aufgabe erklären!
Also:
Die Folgen {sn} und {tn} seien gegeben durch:
s1= Wurzel (2)
sn=(Wurzel (2*sn-1)) (n>=2)
t1=wurzel(2)
tn=(wurzel(2+tn-1)) (n>=2)
Man untersuche, ob diese Folgen konvergieren und bestimme ggf. ihre Grenzwerte!
Wäre nett wenn mir jemand die erklären könnte!
lg annika
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:54 Fr 12.11.2004 | | Autor: | ChryZ |
[mm] s_{1} [/mm] = [mm] \wurzel{2}
[/mm]
[mm] s_{n} [/mm] = [mm] \wurzel{2s_{n-1}} [/mm] für alle n [mm] \ge [/mm] 2
[mm] t_{1} [/mm] = [mm] \wurzel{2}
[/mm]
[mm] t_{n} [/mm] = [mm] \wurzel{2+ t_{n-1}} [/mm] für alle n [mm] \ge [/mm] 2
Jetzt ist ja [mm] s_{n-1} [/mm] = [mm] \wurzel{2s_{n-2}}. [/mm] Setz das in [mm] s_{n} [/mm] ein. Mach das für [mm] s_{n-2} [/mm] weiter. Du solltest dann ein Muster finden und irgendwann bei [mm] s_{1} [/mm] landen.
Analog für t
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:16 Fr 12.11.2004 | | Autor: | Micha |
Hallo!
Um die Konvergenz rekursiv definierter Folgen zu untersuchen musst du zunächst zeigen, dass sie beschränkt sind und monoton. Dies machst du bei der Beschränktheit mit vollständiger Induktion und bei der Monotonie reicht meist zu zeigen:
[mm] $s_{n+1} [/mm] - [mm] s_n \ge [/mm] 0$ bzw. [mm] $s_{n+1} [/mm] - [mm] s_n \le [/mm] 0$ jeweils für alle $n [mm] \in \IN$.
[/mm]
Danach kannst du annehmen, dass bei rekursiv definierten Folgen:
[mm] $\lim_{n \to \infty} s_{n+1} [/mm] = [mm] \lim_{n \to \infty} s_n [/mm] =: s$ ist. Dann setzt du das in deine Rekursionsformel ein und erhälst dann einen Ausdruck, den du nach s umstellen kannst. 
Gruß Micha
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