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Folge mit Teilfolgen: Konvergenz
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:48 Fr 03.12.2010
Autor: Big_Head78

Aufgabe
Sei 0<a<b<1, n [mm] \in \IN [/mm]


[mm] c_{n}=\begin{cases} a^n, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \\ b^n, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \end{cases} [/mm]

Zegen sie:
a) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{c_{2n}}{c_{2n-1}} [/mm] ex. nicht in [mm] \IR [/mm]

b) [mm] \summe_{n=1}^{\infty}c_{n} [/mm] ist absolut konvergent.

c) Wenden sie das Quotientenkriterium aqn. Was stellen sie fest?

Meine Ideen:

a) [mm] \bruch{c_{2n}}{c_{2n-1}}= \bruch{b^{2*n}}{a^{2n-1}}= \bruch{b*b^{2n-1}}{a^{2n-1}}= b*(\bruch{b}{a})^{2n-1} [/mm]

[mm] \bruch{b}{a}>1 \Rightarrow (\bruch{b}{a})^{2n-1} [/mm] konvergiert nicht
[mm] \Rightarrow b*(\bruch{b}{a})^{2n-1} [/mm] konvergiert nicht

Stimmt das so?

b) [mm] \summe_{n=1}^{\infty}c_{n} [/mm] ist absolut konvergent

z.z.: [mm] \summe_{n=1}^{\infty}|c_{n}| [/mm] konvergiert

[mm] \summe_{n=1}^{\infty}|c_{n}|=a^1+b^2+a^3+b^4+...=a^1+a^3+a^5+a^7+...+b^2+b^4+b^6+b^8+... [/mm]
[mm] =...=a(1+a^2*(1+a^2*(1+a^2+...)))+b^2*(1+b^2*(1+b^2*(1+b^2*(1+....))) [/mm]

und jetzt komme ich nicht weiter. Ein kleiner Hinweis würde mich erfreuen.

c) hab ich noch nicht versucht

Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.


        
Bezug
Folge mit Teilfolgen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:03 Fr 03.12.2010
Autor: Gonozal_IX

Huhu,

>  Meine Ideen:
>  
> a) [mm]\bruch{c_{2n}}{c_{2n-1}}= \bruch{b^{2*n}}{a^{2n-1}}= \bruch{b*b^{2n-1}}{a^{2n-1}}= b*(\bruch{b}{a})^{2n-1}[/mm]
>  
> [mm]\bruch{b}{a}>1 \Rightarrow (\bruch{b}{a})^{2n-1}[/mm]
> konvergiert nicht
>  [mm]\Rightarrow b*(\bruch{b}{a})^{2n-1}[/mm] konvergiert nicht
>  
> Stimmt das so?

alles prima.

>  
> b) [mm]\summe_{n=1}^{\infty}c_{n}[/mm] ist absolut konvergent
>  
> z.z.: [mm]\summe_{n=1}^{\infty}|c_{n}|[/mm] konvergiert

Viel zu umständlich. Finde eine absolut konvergente Majorante, es gilt doch $a<b$ und damit auch [mm] $a^n \le b^n$ [/mm]


MFG,
Gono.

Bezug
                
Bezug
Folge mit Teilfolgen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:14 Fr 03.12.2010
Autor: Big_Head78

Ich habe [mm] b_{n}\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{i^p} [/mm] konvergiert für p>1 gefunden. Kann ich das benutzen?

Es gilt doch:
[mm] \bruch{1}{a} [/mm] > [mm] \bruch{1}{b} [/mm] > 1 > b > a > 0






Bezug
                        
Bezug
Folge mit Teilfolgen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:26 Fr 03.12.2010
Autor: schachuzipus

Hallo,

> Ich habe [mm]b_{n}\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{i^p}[/mm]
> konvergiert für p>1 gefunden. Kann ich das benutzen?
>
> Es gilt doch:
> [mm]\bruch{1}{a}[/mm] > [mm]\bruch{1}{b}[/mm] > 1 > b > a > 0

Und? Wie willst du das auf die Aufgabe anwenden?

Du hast doch den entscheidenden Tipp bekommen.

Die Majorante ist wohl eine geometrische Reihe, oder??

Welche?

Gruß

schachuzipus


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Bezug
Folge mit Teilfolgen: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 18:59 Fr 03.12.2010
Autor: Big_Head78

[mm] \summe_{n=1}^{\infty}c*q^n= \bruch{c*q}{1-q} [/mm]

hier:

sei c=1 und [mm] d_{n}=b \Rightarrow |a_{n}| \le d_{n} [/mm]

[mm] \summe_{n=1}^{\infty}c*d_{n}^n= \bruch{c*d_{n}}{1-d_{n}}= \bruch{b}{1-b} [/mm]

Stimmt das so?


Bezug
                                        
Bezug
Folge mit Teilfolgen: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:02 So 05.12.2010
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
                                                
Bezug
Folge mit Teilfolgen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:17 Mo 06.12.2010
Autor: Big_Head78

Leider habe ich bislang keine Antwort auf meine Frage bekommen. Wenn da doch noch jemand schauen könnte, ob meine Lösung richtig ist, würde ich mich sehr freuen.

Bezug
                                                        
Bezug
Folge mit Teilfolgen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:48 Mo 06.12.2010
Autor: fred97

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

b) kannst Du so erledigen:

es ist

              $\wurzel[n]{|c_n|}}=\begin{cases} a, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \\ b, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \end{cases} $

Damit ist lim sup \wurzel[n]{|c_n|}=b<1

Also ist \sum c_n  (absolut) konvergent

FRED



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