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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:02 So 18.03.2007 | | Autor: | fincher |
| Aufgabe | Überprüfen Sie das Konvergenzverhalten der Folge
[mm] a_{n}=sin(\bruch{n^{3}+1+2^{n}}{\wurzel{n+2}})*(1-\bruch{1}{\pi}*arccot(ln(\bruch{1}{n})))
[/mm]
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Hallo!
Also erstmal eines vorweg: mit der Theorie hinter diesem Beispiel hab ich keine Probleme. Mein Problem ist, ich weiß nicht wie ich dieses Beispiel formal richtig anschreibe und durchrechne.
1.) Der erste Teil [mm] sin(\bruch{n^{3}+1+2^{n}}{\wurzel{n+2}}) [/mm] ist natürlich eine beschränkte Folge. Kann ich die Beschränktheit der Funktion sin(x) auf das Intervall [-1,1] als gegeben erachten, oder muss ich das beweisen?
2.) Zum zweiten Teil: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n}=0 \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}ln(\bruch{1}{n})=-\infty \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}arccot(ln(\bruch{1}{n}))=\pi [/mm] . Daraus Folgt, dass der zweite Zeil eine Nullfolge ist.
3.) Zusammengenommen: Beschränkte Folge * Nullfolge = Nullfolge
Aber kann ich das in dieser Art und Weise stehen lassen? Für mich sieht das ganze eben sehr intuitiv aus und ich vermute, dass das eigentlich ganz anders aussehen sollte ... aber wie?
Kann mir da jemand helfen?
P.S.: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Überprüfen Sie das Konvergenzverhalten der Folge
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> [mm]a_{n}=sin(\bruch{n^{3}+1+2^{n}}{\wurzel{n+2}})*(1-\bruch{1}{\pi}*arccot(ln(\bruch{1}{n})))[/mm]
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> Hallo!
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> Also erstmal eines vorweg: mit der Theorie hinter diesem
> Beispiel hab ich keine Probleme. Mein Problem ist, ich weiß
> nicht wie ich dieses Beispiel formal richtig anschreibe und
> durchrechne.
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> 1.) Der erste Teil [mm]sin(\bruch{n^{3}+1+2^{n}}{\wurzel{n+2}})[/mm]
> ist natürlich eine beschränkte Folge. Kann ich die
> Beschränktheit der Funktion sin(x) auf das Intervall [-1,1]
> als gegeben erachten, oder muss ich das beweisen?
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> 2.) Zum zweiten Teil:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n}=0 \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}ln(\bruch{1}{n})=-\infty \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}arccot(ln(\bruch{1}{n}))=\pi[/mm]
> . Daraus Folgt, dass der zweite Zeil eine Nullfolge ist.
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> 3.) Zusammengenommen: Beschränkte Folge * Nullfolge =
> Nullfolge
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> Aber kann ich das in dieser Art und Weise stehen lassen?
> Für mich sieht das ganze eben sehr intuitiv aus und ich
> vermute, dass das eigentlich ganz anders aussehen sollte
> ... aber wie?
Hallo fincher,
ich finde, das ist gut begründet, du solltest bei den einzelnen Betrachtungen nur noch Bezug nehmen auf die Sätze der VL, nach denen du argumentierst,
zur Beschränktheit des sin würde ich nur kurz erwähnen: es gilt [mm] \left|sin(\bruch{n^{3}+1+2^{n}}{\wurzel{n+2}})\right|\le1, [/mm] das musst du m.E. aber nicht beweisen, das ist ja schon Schulwissen 
Bei dem zweiten Folgenteil würde ich noch anmerken: "Aufgrund der Sätze zum Rechnen mit GW gilt dann...."
und unbedingt Bezug nehmen auf den Satz, dass der limes des Produktes einer beschränkten Folge und einer Nullfolge 0 ist, falls ihr den in der VL hattet, ansonsten beweisen.
Aber im Prinzip ist deine Rangehensweise m.E. ok
Die einzelnen Sätze sind ja in der VL genauestens bewiesen, um solche Betrachtungen wie hier zu vereinfachen, diese Sätze kannst du also voraussetzen, nur halt Bezug darauf nehmen
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:44 Mo 19.03.2007 | | Autor: | fincher |
Erstmal vielen Dank für deine Antwort!
Ich hätte noch eine Frage zu folgender Zeile:
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n}=0 \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}ln(\bruch{1}{n})=-\infty \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}arccot(ln(\bruch{1}{n}))=\pi[/mm]
Ist diese äquivalent zur folgenden Zeile?
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n}=0 \Rightarrow \limes_{n\rightarrow0^{+}}ln(n)=-\infty \Rightarrow \limes_{n\rightarrow-\infty}arccot(n)=\pi[/mm]
Wenn ja, welche Zeile ist zu bevorzugen und warum?
Wenn nein, warum?
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> Erstmal vielen Dank für deine Antwort!
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> Ich hätte noch eine Frage zu folgender Zeile:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n}=0 \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}ln(\bruch{1}{n})=-\infty \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}arccot(ln(\bruch{1}{n}))=\pi[/mm]
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> Ist diese äquivalent zur folgenden Zeile?
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n}=0 \Rightarrow \limes_{n\rightarrow0^{+}}ln(n)=-\infty \Rightarrow \limes_{n\rightarrow-\infty}arccot(ln(n))=\pi[/mm]
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> Wenn ja, welche Zeile ist zu bevorzugen und warum?
> Wenn nein, warum?
Hallo,
so (mit dem ln hinterm arccot) sie sind äquivalent.
Welche Zeile zu bevorzugen ist, kommt darauf an, was man erreichen will.
Willst Du [mm] \limes_{n\rightarrow-\infty}arccot(ln(n))=\pi [/mm] zeigen, solltest Du die 2. nehmen,
willst Du am Ende [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}arccot(ln(\bruch{1}{n}))=\pi [/mm] dastehen haben, dann die 1.
Gruß v. Angela
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