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Hi,
auch bei dieser Folge soll ich sehen ob Sie konvergiert und wenn ja gegen welchen Grenzwert.
[mm] $\bruch{2^{i-1}}{i!}$
[/mm]
$i [mm] \in \IN$
[/mm]
Leider habe ich hier keinen Ansatz :(
Grüße Thomas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:27 Mo 14.05.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Thomas!
Formen wir den Bruch mal etwas um und spalten ihn auf:
[mm] $a_i [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2^{i-1}}{i!} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2}{2}*\bruch{2^{i-1}}{i!} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\bruch{2^i}{i!} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\bruch{\overbrace{2*2*2*...*2}^{i \text{ Faktoren}}}{\underbrace{1*2*3*...*i}_{i \text{ Faktoren}}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\underbrace{\bruch{2}{1}*\bruch{2}{2}*\bruch{2}{3}*...*\bruch{2}{i}}_{i \text{ Faktoren}} [/mm] \ = \ ...$
Und nun mal diese Brüche einzeln betrachten ...
Gruß
Loddar
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Hi Loddar,
ich hab mir das angesehen, kann aber ein Schritt nicht nachvollziehen:
> Formen wir den Bruch mal etwas um und spalten ihn auf:
>
> [mm]a_i \ = \ \bruch{2^{i-1}}{i!} \ = \ \red{\bruch{2}{2}}*\bruch{2^{i-1}}{i!} \ = \ \blue{\bruch{1}{2}}*\bruch{2^i}{i!} \ = \ \bruch{1}{2}*\bruch{\overbrace{2*2*2*...*2}^{i \text{ Faktoren}}}{\underbrace{1*2*3*...*i}_{i \text{ Faktoren}}} \ = \ \bruch{1}{2}*\underbrace{\bruch{2}{1}*\bruch{2}{2}*\bruch{2}{3}*...*\bruch{2}{i}}_{\green{i \text{ Faktoren}}} \ = \ ...[/mm]
>
> Und nun mal diese Brüche einzeln betrachten ...
Wie kommt man von Schritt rot zu Schritt blau ?
Das ganze wird immer immer kleiner.... d. h. irgendwann geht es "gegen 0"
Stimmt das?
Danke
Grüße Thomas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:53 Do 24.05.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Thomas!
Ich habe die $2_$ aus dem Zähler des 1. Bruches mit dem Zähler des 2. Bruches zusammengefasst gemäß  Potenzgesetz:
[mm] $2*2^{i-1} [/mm] \ = \ [mm] 2^1*2{i-1} [/mm] \ = \ [mm] 2^{1+i-1} [/mm] \ = \ [mm] 2^i$
[/mm]
Und mit Deiner Vermutung bezüglich des Grenzwertes liegst Du richtig. Welcher der Faktoren (welcher Einzelbruch) ist dafür verantwortlich?
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:57 Do 24.05.2007 | | Autor: | KnockDown |
> Hallo Thomas!
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> Ich habe die [mm]2_[/mm] aus dem Zähler des 1. Bruches mit dem
> Zähler des 2. Bruches zusammengefasst gemäß
> Potenzgesetz:
>
> [mm]2*2^{i-1} \ = \ 2^1*2{i-1} \ = \ 2^{1+i-1} \ = \ 2^i[/mm]
>
>
> Und mit Deiner Vermutung bezüglich des Grenzwertes liegst
> Du richtig. Welcher der Faktoren (welcher Einzelbruch) ist
> dafür verantwortlich?
>
>
> Gruß
> Loddar
>
Hi Loddar.
Ok, dann werd ich mir das jetzt erstmal ansehen, bevor ich die Aufgaben weiterrechne.
Danke!
Grüße Thomas
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Hi Loddar,
Sollte es so heißen? (vgl rot , blau)
[mm] $2*2^{i-1} [/mm] \ = \ [mm] 2^1*\red{2^{i-1}} [/mm] \ = \ [mm] 2^{1+i-1} [/mm] \ = \ [mm] 2^i$
[/mm]
Dann sähe das ganze mit Zwischenschritten so aus:
[mm] $\bruch{2^{i-1}}{i!}=\bruch{2^1}{2^1}*\bruch{2^{i-1}}{2*i!}=\bruch{2^1*2^{i-1}}{2*i!}=\bruch{2^{i\green{-1+1}}}{2*i!}=\bruch{2^i}{2*i!}=\bruch{1}{2}*\bruch{2^i}{i!}$
[/mm]
Noch zu der deiner Verständnisfrage:
So wollte ich es machen, so geht´s aber nicht:
[mm] $\bruch{2^i}{2*i!}$ [/mm] | [mm] $*\bruch{1}{2^i}$
[/mm]
[mm] $\bruch{2^i*\bruch{1}{2^i}}{(2*i!)*\bruch{1}{2^i}}$
[/mm]
[mm] $\bruch{1}{(2*i!)*\bruch{1}{2^i}}$ [/mm] Dann würde durch 0 geteilt werden das geht nicht.
Deshalb würd ich sagen, dass das jeweils letzte Glied deines auseinander gezogen Bruchs einen sehr kleinen Wert hat, und somit durch die Multiplikation mit einer ganz ganz ganz kleinen und einer "großen" Zahl eine sehr sehr kleine Zahl rauskommt, die gegen 0 geht oder?
Danke für super Hilfe!
Grüße Thomas
> Hallo Thomas!
>
>
> Ich habe die [mm]2_[/mm] aus dem Zähler des 1. Bruches mit dem
> Zähler des 2. Bruches zusammengefasst gemäß
> Potenzgesetz:
>
> [mm]2*2^{i-1} \ = \ 2^1*\blue{2{i-1}} \ = \ 2^{1+i-1} \ = \ 2^i[/mm]
>
>
> Und mit Deiner Vermutung bezüglich des Grenzwertes liegst
> Du richtig. Welcher der Faktoren (welcher Einzelbruch) ist
> dafür verantwortlich?
>
>
> Gruß
> Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:05 Fr 25.05.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
sieh mal deine "grosse" Zahl an, die grösste ist 1! d.h. das ganze ist kleiner als 2/i!
mit so ungefähr Argumenten gross mal ganz klein sollte man nicht umgehen, sondern richtig abschätzen!
Gruss leduart
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Hi leduart,
wäre eine gute Begründung wenn ich sage:
Die roten Zahlen kürzen sich weg und 2/2 ist vereinfach 1. Nach diesem zahl, kommen nur noch Brüche, die kleiner als 1 sind und somit läuft die Folge gegen Null?
[mm] $a_i [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2^{i-1}}{i!} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2}{2}*\bruch{2^{i-1}}{i!} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\bruch{2^i}{i!} [/mm] \ = \ [mm] \red{\bruch{1}{2}}*\bruch{\overbrace{\red{2}*\green{2}*...*2}^{i \text{ Faktoren}}}{\underbrace{\red{1}*\green{2}*3*...*i}_{i \text{ Faktoren}}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\underbrace{\bruch{2}{1}*\bruch{2}{2}*\bruch{2}{3}*...*\bruch{2}{i}}_{i \text{ Faktoren}} [/mm] \ = \ ...$> Hallo
> sieh mal deine "grosse" Zahl an, die grösste ist 1! d.h.
> das ganze ist kleiner als 2/i!
> mit so ungefähr Argumenten gross mal ganz klein sollte man
> nicht umgehen, sondern richtig abschätzen!
> Gruss leduart
Danke Grüße Thomas
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Hi, KnockDown. Ich finde es wäre durchaus richtig, wenn du es so begründest, denn das ist ja nun mal recht einleuchtend. Es sei denn natürlich es wird von euch eindeutig anderes verangt......
MFG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:47 Sa 26.05.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Thomas!
Du kannst hier auch mit einem Grenzwertsatz argumentieren:
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\left(a_n*b_n\right) [/mm] \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n*\limes_{n\rightarrow\infty}b_n$
[/mm]
(mit der Bedingung, dass [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}a_n$ [/mm] und [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}b_n$ [/mm] auch wirklich existieren)
Für Deine Aufgabe heißt das:
[mm] $\limes_{i\rightarrow\infty}a_i [/mm] \ = \ ... \ = \ [mm] \limes_{i\rightarrow\infty}\left(\bruch{1}{2}\cdot{}\bruch{2}{1}\cdot{}\bruch{2}{2}\cdot{}\bruch{2}{3}\cdot{}...\cdot{}\bruch{2}{i} \right) [/mm] \ = \ [mm] \limes_{i\rightarrow\infty}\bruch{1}{2}\cdot{}\limes_{i\rightarrow\infty}\bruch{2}{1}\cdot{}\limes_{i\rightarrow\infty}\bruch{2}{2}\cdot{}\limes_{i\rightarrow\infty}\bruch{2}{3}\cdot{}...\cdot{}\limes_{i\rightarrow\infty}\bruch{2}{i} [/mm] \ = \ ... $
Und welchen Grenzwert nimmt [mm] $\limes_{i\rightarrow\infty}\bruch{2}{i}$ [/mm] an? Was bedeutet das also für das Gesamtprodukt?
Gruß
Loddar
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