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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:32 So 07.05.2006 | | Autor: | papillon |
| Aufgabe | Gegeben sei die Folge
[mm] b_{n} [/mm] = [mm] \produkt_{k=2}^{n}(1+\bruch{1}{k}).
[/mm]
Bestimmen Sie den Grenzwert! |
Meine Überlegung:
Jeder der Faktoren ist größer als 1, das Produkt müsste dann doch gegen [mm] \infty [/mm] gehen?
Dann hat die Folge also keinen Grenzwert?
Danke für eure Hilfe!!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:33 So 07.05.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo papillon!
So ganz schlüssig ist Deine Begründung nicht. Schließlich werden bei dem Grenzwert von der Euler-Zahl $e \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\left(1+\bruch{1}{n}\right)^n$ [/mm] ausschließlich Zahlen multipliziert, die größer sind als 1 .
Man kann dieses Produkt aber auch in eine explizite Form [mm] $b_n [/mm] \ = \ [mm] \bruch{n+1}{2}$ [/mm] umschreiben (Beweis mit vollständiger Induktion) und sieht die Divergenz sofort.
Diese explizite Form sollte man schnell erkennen, indem man die ersten Werte für $n_$ einsetzt.
Gruß
Loddar
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