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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:43 Do 08.06.2006 | | Autor: | T-Mow |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hi an Alle erstmal,
habe in der letzten Aufgabe im Focus eine Aufgabe geunden die ich nicht knacken konnte undzwar:
In einem Würfel mit der Kantenlänge 4 cm wird von einer Ecke zu der gegenüberliegenden Ecke ein Draht gespannt.
Die Frage:
Wie groß darf eine Kugel maximal sein damit sie noch in den Würfel passt?
Denke es ist eine Extremwert-Aufgabe nur mein Poblem ist es...
den Radius (bzw. den Umfang) der Kugel Anhand des rechtwinkligen Dreiecks (Kante und Grundflächehalbierende als Katheten & den Draht als Hypothenuse) auszumachen
Die Seiten des Dreiecks habe das Verhältnis 1 zu [mm] \wurzel{2} [/mm] zu [mm] \wurzel{3}
[/mm]
Mehr kann ich dazu auch nicht sagen...
Viel Sapß beim Knobeln und danke schonmal für eure Antworten
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:23 Do 08.06.2006 | | Autor: | Galois |
Hallo T-Mow!
Sei [mm][-2,2]\times[-2,2]\times[-2,2]\subseteq \IR^3[/mm] der Würfel, der Draht verlaufe von (-2,-2,-2) nach (2,2,2). Sei (x,y,z) der Mittelpunkt und r der Radius einer Kugel, die gerade noch in den Würfel paßt.
Dann ist [mm] $r\le \min (2\pm x,2\pm y,2\pm [/mm] z)$. (1)
Ferner ist der Abstand des Punktes (x,y,z) von der Geraden [mm] $\IR(1,1,1)$ [/mm] mindestens r: [mm]r^2\le\inf_{\lambda\in[-2,2]}\left((\lambda-x)^2+(\lambda-y)^2+(\lambda-z)^2\right)[/mm]
Man sieht leicht, daß hierbei das Minimum für [mm] $\lambda=\frac{x+y+z}3$ [/mm] angenommen wird. Damit lautet diese Forderung:
[mm]r^2\le (\frac{-2x+y+z}3)^2+ (\frac{x-2y+z}3)^2+(\frac{x+y-2z}3)^2=\frac19 (6x^2+6y^2+6z^2-6xy-6xz-6yz)=\frac23(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz)[/mm] (2)
Umgekehrt sind die Ungleichungen (1) und (2) natürlich nicht nur notwendig, sondern auch hinreichend.
Ferner ist anschaulich klar, daß eine solche maximale Kugel mindestens eine der Seitenflächen des Würfels berühren muß: Wäre dies nicht der Fall, könnten wir die Kugel etwas vergrößern, wenn wir gleichzeitig ihren Mittelpunkt etwas weiter vom Draht wegrücken.
ObdA sei x=2 eine dieser Seiten. Dann ist also x=2-r und in obige Ungleichungen (1) und (2) eingesetzt erhalten wir die Bedingungen:
[mm]r\le2, 2\pm y, 2\pm z[/mm] und [mm]r^2\le\frac23((2-r)^2+y^2+z^2-(2-r)(y+z)-yz)[/mm].
Die Bedingung [mm]r\le 2[/mm] ist hierbei offensichtlich obsolet.
Die letzte Bedingung können wir nach r auflösen:
[mm]0\le -\frac32 r^2+(2-r)^2-(2-r)(y+z)+(y^2+z^2-yz)
=-\frac12r^2-4r +4+r(y+z)-2(y+z)+y^2+z^2-yz[/mm]
[mm]=-\frac12(r^2 +(8-2y-2z)r-8+4y+4z-2y^2-2z^2+2yz)
=-\frac12(r^2+2((2-y)+(2-z))r-2(2-y)^2-2(2-z)^2+ 2(2-y)(2-z)),[/mm]
also
[mm]r^2+2((2-y)+(2-z))r-2(2-y)^2-2(2-z)^2+ 2(2-y)(2-z)\le 0[/mm]
Hmm, an dieser Stelle muß ich jetzt leider für heute Schluß machen. Aber eigentlich ist klar, wie es weitergeht: Wir erhalten 5 Ungleichungen für r, davon 4 lineare und eine nicht allzu schlimme nichtlineare. Ferner ist dieses System symmetrisch in y und z. Zu finden ist dann das maximal mögliche r...
Morgen mehr dazu.
Grüße,
Galois
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:20 Fr 09.06.2006 | | Autor: | Galois |
So, weiter geht's. 
Wir waren gestern bei der Ungleichung [mm]r^2+2(y'+z')r-2y'^2-2z'^2+ 2y'z'\le 0[/mm] mit y':=2-y und z':=2-z stehengeblieben.
Die Nullstellen [mm]r_{1,2}[/mm] der linken Seite berechnen sich zu
[mm]r_{1,2}=-(y'+z')\pm\sqrt{(y'+z')^2+2y'^2+2z'^2- 2y'z'}=-(y'+z')\pm \sqrt{3y'^2+3z'^2}[/mm]
Wegen [mm]0^2+2(y'+z')0-2y'^2-2z'^2+ 2y'z'=-y'^2-z'^2-(y'-z')^2\le 0[/mm] ist eine dieser Nullstellen nicht-negativ und eine nicht-positiv. Da uns naturgemäß nur nicht-negative Werte von r interessieren, erhalten wir somit die Bedingung [mm]r\le \sqrt3\sqrt{y'^2+z'^2}-(y'+z')[/mm].
Aus Symmetriegründen können wir uns ferner auf den Fall [mm]z\le y[/mm] beschränken. Dann sind die früher Bedingungen [mm]r\le 2+y[/mm] und [mm]r\le 2-z[/mm] obsolet, und wir erhalten zusammenfassend die folgende Reformulierung unseres Problems:
Finde das Maximum der Funktion [mm]\blue{(y,z)\mapsto \min\left(2-y,2+z, \sqrt3\sqrt{y'^2+z'^2}-(y'+z')\right)}[/mm] (mit y':=2-y, z':=2-z) in der Halbebene [mm]\blue{z\le y}[/mm]. Dieses Maximum ist der gesuchte Radius.
Wenn man sich nun die Graphen der drei beteiligten Funktionen und ihre Schnitte anguckt, sieht man, daß die einzigen Stellen mit lokalen Maxima die zwei durch [mm]y=z\le2 \;\wedge\;2+z=\sqrt3\sqrt{y'^2+z'^2}-(y'+z')[/mm] bzw. [mm]2-y=2+z=\sqrt3\sqrt{y'^2+z'^2}-(y'+z')[/mm] bestimmten Stellen sein können.
Für die erste Stelle ergibt sich [mm]y=z=\frac25 (3-2\sqrt6)\,(<0)[/mm] und damit [mm]r=\min(2-y,2+z)=2+z=\frac25(8-2\sqrt6)=\frac45(4-\sqrt6)[/mm].
Für die zweite Stelle ergibt sich [mm]y=-z=-\frac25(3-2\sqrt6)\,(>0)[/mm] und damit ebenfalls [mm]r=2-y=\frac45(4-\sqrt6)[/mm].
(Die Übereinstimmung dieser beiden möglichen Maximalwerte ist nicht wirklich erstaunlich: Aus Symmetriegründen gibt es ja 6 mögliche Positionen einer maximalen Kugel im Würfel. Von diesen besitzen 3 die Eigenschaft, daß die Kugel die Ebene x=2 berührt. Von diesen erfüllen wiederum 2 die zusätzliche Bedingung [mm]z\le y[/mm].)
Der maximal mögliche Kugelradius ist also [mm]\fbox{$\displaystyle r=\frac45(4-\sqrt6)\approx1,24$}[/mm]. ![[globesmilie]](/images/smileys/globesmilie.gif "[globesmilie]")
(Diese Aufgabe hatte es aber echt in sich. Mal schauen, vielleicht gebe ich sie irgendwann einmal als Klausuraufgabe...  )
Grüße,
Galois
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