Flächenstreifen berechnen < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] f:x\mapsto \bruch{x^{3}}{7} [/mm] - [mm] x^{2}; [/mm] D= [0;7]
Von [mm] G_{f} [/mm] und der x-Achse wird ein Flächenstück [mm] A_{0} [/mm] begrenzt. Der Flächenstreifen zwischen den Geraden mit den Gleichungen x=a und x=a+3 schneidet aus [mm] A_{0} [/mm] ein Stück aus. Berechnen sie a so, dass das ausgeschnittene Flächenstück maximalen Inhalt hat. |
Hallo;
ich soll diese Aufgabe meinem Mathe-Kurs präsentieren, komme aber nicht auf die Lösung.
Also Graphisch kann ich mir das schon vorstellen, ich habe es auch schon mal gezeichnet. Die Nullstellen sind 0 und 7, ich weiß aber gar nicht ob ich das brauch.
Dann habe ich folgendermaßen angefangen:
A= [mm] \integral_{a}^{a+3}{f(\bruch{x^{3}}{7} - x^{2}) dx}
[/mm]
[mm] =[\bruch{x^{4}}{28} [/mm] - [mm] \bruch{x^{3}}{3}]\bruch{a+3}{a} [/mm] (also der letzte Bruch soll hier die Integrationsgrenzen darstellen, ich konnte das hier nicht besser schreiben.)
= [mm] \bruch{a+3^{4}}{28} [/mm] - [mm] \bruch{a+3^{3}}{3} [/mm] - [mm] \bruch{a^{4}}{28} [/mm] - [mm] \bruch{a^{3}}{3}
[/mm]
So und dann weiß ich nicht mehr weiter. Also ich soll ja letztendlich a bestimmen, aber ich weiß nicht, wie ich das machen soll.
Ich bedanke mich aber schon mal im vorraus für eure Hilfe!
Ich habe diese Frage bei keinem anderen Forum reingestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:43 Mo 12.01.2009 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
Die Funktion ist ja nur von 0 bis 7 definiert (D=[0,7]), daher musst du auch nur den bereich betrachten. Und du hast Recht, am Rand des Definitionsbereiches sind Nullstellen, damit die Fläche schön abgeschlossen ist.
Deine Berechnungen sinmd auch super, nur dass beim Integral das f weg müsste und es [mm] (a+3)^4 [/mm] und [mm] (a+3)^3 [/mm] heißen sollte, außerdem muss das letzte Minus ein Plus sein.
Nun hast du also deine Flächeninhaltsfunktion A(a), da A ja von a abhängt, daher sollte man das immer hinschreiben.
Und nun musst du den Extremwert von A(a) bestimmen. Heißt also: Ableiten und die Ableitung 0 setzen.
Hier musst du sicher eine Nullstelle raten, aber da der Definitionsbereich ja vorgegeben ist, solltest du da auch suchen!
Du solltest auch noch wissen: Die Funktion verläuft im Definitionsbereich unterhalb der x-Achse. Also ist da "die Fläche negativ", daher müsstest du das lokale Minimum von A(a) bestimmen.
Ansonsten könntest du einfach ein Minus vor die gesamte Funktion schreiben, also mit [mm] -(\bruch{x^{3}}{7}-x^{2})=... [/mm] arbeiten. Da wäre die Fläche oberhalb der x-Achse und du kannst dann das Maximum suchen.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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