Flächensatz Dreieck < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Konstruiere ein Dreieck ABC mit a=4,0 cm; b= 5,0 cm und c= 4,5 cm. Verwandle es in ein flächengleiches Dreieck mit c´= 6,0 cm und [ausgeschrieben: Winkel] alpha´= alpha. |
Gegeben ist ein Dreieck mit allen Seitenlängenangaben. Unter Beachtung des Flächensatzes Dreieck und Beibehaltung des ursprünglichen Winkels alpha soll Seite c so verlängert werden, daß ein flächengleiches Dreieck entsteht. Nur ist mir nicht ersichtlich, wo dann die Grundseite und Höhe im Dreieck noch besteht, um den Flächensatz anwenden zu können, weil sich ja alle Seiten verändern müssen. Vielleicht kann mir jemand die Vorgehensweise erläutern.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Konstruiere ein Dreieck ABC mit a=4,0 cm; b= 5,0 cm und c=
> 4,5 cm. Verwandle es in ein flächengleiches Dreieck mit
> c´= 6,0 cm und [mm] \alpha'= \alpha.
[/mm]
> Gegeben ist ein Dreieck mit allen Seitenlängenangaben.
> Unter Beachtung des Flächensatzes Dreieck und Beibehaltung
> des ursprünglichen Winkels alpha soll Seite c so verlängert
> werden, daß ein flächengleiches Dreieck entsteht. Nur ist
> mir nicht ersichtlich, wo dann die Grundseite und Höhe im
> Dreieck noch besteht, um den Flächensatz anwenden zu
> können, weil sich ja alle Seiten verändern müssen.
> Vielleicht kann mir jemand die Vorgehensweise erläutern.
Hallo Stephan,
Betrachten wir [mm] c=\overline{AB} [/mm] als Grundlinie. Im vorliegenden
Fall soll ihre Länge von c=4.5 auf c'=6 zunehmen.
Damit der Flächeninhalt des Dreiecks erhalten bleibt,
muss die zugehörige Höhe im entsprechenden Verhältnis
abnehmen:
$\ [mm] h_c':h_c=c:c'$
[/mm]
Durch eine Ähnlichkeitsbetrachtung erkennt man,
dass im vorliegenden Fall, wo der Winkel [mm] \alpha [/mm] erhalten
bleiben soll, auch für die Länge des anderen Schenkels
des Winkels [mm] \alpha [/mm] dieses Verhältnis gelten muss:
$\ [mm] b':b=h_c':h_c$
[/mm]
Nun können wir die Höhe aus dem Spiel lassen und haben:
$\ b':b=c:c'$
Für die Konstruktion lassen wir natürlich die Ecke A
an ihrer Stelle. Für die beteiligten alten und neuen
Streckenlängen muss dann gelten:
[mm] $\overline{AC'}:\overline{AC}=\overline{AB}:\overline{AB'}$
[/mm]
Daraus ergibt sich eine wunderbar einfache Konstruktion
für den gesuchten Punkt C' !
LG Al-Chw.
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Erst einmal vielen Dank für die Hilfe. Die Lösung leuchtet mir natürlich ein. Ich habe erst geglaubt , daß auch eine rein geometrische Lösung möglich sei anstatt eine arithmetische. Dies ist aber wohl nicht möglich.
Auf jeden Fall noch einmal meinen herzlichen Dank an den der die Lösung herausgestell hat.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:08 Fr 06.02.2009 | | Autor: | weduwe |
> Erst einmal vielen Dank für die Hilfe. Die Lösung leuchtet
> mir natürlich ein. Ich habe erst geglaubt , daß auch eine
> rein geometrische Lösung möglich sei anstatt eine
> arithmetische. Dies ist aber wohl nicht möglich.
> Auf jeden Fall noch einmal meinen herzlichen Dank an den
> der die Lösung herausgestell hat.
steht doch oben, dass es einfach zu basteln ist.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Am einfachsten scheint mir folgende Konstruktion:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Weil AB' um einen Faktor x größer als AB ist, muss die Höhe um den selben Faktor gekürzt werden. Verbinde B' mit C und ziehe hierzu eine Parallele durch B, die AC in C' schneidet (die beiden roten Linien sind also parallel).
Nach den Strahlensätzen gilt: [mm] \bruch{neue (kurze) Hoehe}{alte (lange)Hoehe} [/mm] - beide grün gezeichnet - = [mm] \bruch{AC'}{AC} [/mm] = [mm] \bruch{AB}{AB'} [/mm] und damit
(neue (kurze) Höhe)*AB'=(alte (lange)Höhe)*AB.
Natürlich ist dies eine Rechnung, aber der eigentliche Vorgang geschieht durch Konstruktion. Auf die grünen Höhen kannst du sogar verzichten.
[Dateianhang nicht öffentlich]
AB'C' ist das gesuchte Dreieck.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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> Erst einmal vielen Dank für die Hilfe. Die Lösung leuchtet
> mir natürlich ein. Ich habe erst geglaubt , daß auch eine
> rein geometrische Lösung möglich sei anstatt eine
> arithmetische. Dies ist aber wohl nicht möglich.
Ja Moment mal !
Bei der Lösung, die ich dir angeboten habe, ist
nur der erste kleine Schritt arithmetisch. Du
sollst dich ja, wie ich meine, auf den "Flächensatz"
bzw. die Flächenformel für das Dreieck stützen,
die sagt:
[mm] F_{Dreieck}=\bruch{Grundlinie\times{Hoehe}}{2}
[/mm]
Diese Formel ist natürlich "arithmetisch".
Nicht mehr als dies habe ich benützt, um die
Konstruktion zu begründen, die dann mit wenigen
Strichen zu erledigen ist:
1.) Trage c' von A aus auf dem Strahl AB ab
und bezeichne den Endpunkt mit B'.
2.) Verbinde B' mit C.
3.) Ziehe die Parallele p zu B'C durch B.
4.) Der Schnittpunkt von p mit b ist der dritte
Eckpunkt des gesuchten Dreiecks AB'C'.
HJKweseleit hat die Zeichnung dazu geliefert.
Gruß Al-Chwarizmi
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