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Hallo zusammen!
Ich habe eine Frage zu einer Beispielrechnung. Ich nehme mal nur den Ausschnitt, den ich nicht verstehe. Wenn mehr Informationen erforderlich sind, bitte melden.
Es geht um den Flächeninhalt der Sphäre, die in obere und untere Halbsphäre ohne Äquator eingeteilt wurde ([mm] K_1^{\epsilon} [/mm] und [mm] K_1^{\epsilon}[/mm]). Gerechnet wird zuerst mit den Koordinatensystemen [mm] \alpha_1(u,v) = (u,v,\wurzel{R^2-u^2-v^2}) [/mm] und [mm] \alpha_2(u,v) = (u,v,-\wurzel{R^2-u^2-v^2}) [/mm]. Es wird [mm] ||\bruch{d \alpha_1}{du} \times \bruch{d \alpha_1}{dv}|| = \bruch{R}{\wurzel{R^2-u^2-v^2}} [/mm] berechnet.
Dann steht hier: [mm] \limes_{\epsilon\rightarrow 0} A(K_1^{\epsilon}) = \integral_{u^2+v^2 \le R^2}{\bruch{R}{\wurzel{R^2-u^2-v^2}}\ du\; dv} [/mm]
Das verstehe ich schon nicht, da der Flächeninhalt nur mir "ds" endet, das Flächenintegral jedoch [mm] \summe_{i=1}^{n} \integral_{U_i}{f(\alpha_i(u,v)) \cdot ||\bruch{d \alpha_i}{du} \times \bruch{d \alpha_i}{dv}||\ du\; dv} [/mm] lautet. Wenn das obige Integral also ein Flächenintegral sein soll, wo ist dann [mm] f(\alpha_i(u,v)) [/mm]?
Ein weiteres Problem habe ich mit dem, was an die obige Stelle anschließt.
Jetzt werden Polarkoordinaten eingeführt: [mm] u = r \cdot cos(\theta), \ v = r \cdot sin(\theta); \quad \theta \in [0,2\pi[, \ r \in [0,R] [/mm]. Diese Koordinaten werden in das obige Integral eingesetzt und es entsteht das Integral [mm] [mm] \integral_{\theta = 0}^{2\pi} \integral_{r=0}^{R}{\bruch{R}{\wurzel{R^2-r^2}} \cdot r\ dr\; d\theta}.
[/mm]
Kann mir jemand erklären, wie es durch Einsetzen der Polarkoordinaten zu diesem Integral kommt?
LG
fagottator
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:31 Mi 09.02.2011 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
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> Ich habe eine Frage zu einer Beispielrechnung. Ich nehme
> mal nur den Ausschnitt, den ich nicht verstehe. Wenn mehr
> Informationen erforderlich sind, bitte melden.
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> Es geht um den Flächeninhalt der Sphäre, die in obere und
> untere Halbsphäre ohne Äquator eingeteilt wurde ([mm] K_1^{\epsilon}[/mm]
> und [mm]K_1^{\epsilon}[/mm]). Gerechnet wird zuerst mit den
> Koordinatensystemen [mm]\alpha_1(u,v) = (u,v,\wurzel{R^2-u^2-v^2})[/mm]
> und [mm]\alpha_2(u,v) = (u,v,-\wurzel{R^2-u^2-v^2}) [/mm]. Es wird
> [mm]||\bruch{d \alpha_1}{du} \times \bruch{d \alpha_1}{dv}|| = \bruch{R}{\wurzel{R^2-u^2-v^2}}[/mm]
> berechnet.
> Dann steht hier: [mm]\limes_{\epsilon\rightarrow 0} A(K_1^{\epsilon}) = \integral_{u^2+v^2 \le R^2}{\bruch{R}{\wurzel{R^2-u^2-v^2}}\ du\; dv}[/mm]
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> Das verstehe ich schon nicht, da der Flächeninhalt nur mir
> "ds" endet,
Wo endet der Flächeninhalt mit ds? Wie meinst du das?
das Flächenintegral jedoch [mm]\summe_{i=1}^{n} \integral_{U_i}{f(\alpha_i(u,v)) \cdot ||\bruch{d \alpha_i}{du} \times \bruch{d \alpha_i}{dv}||\ du\; dv}[/mm]
> lautet. Wenn das obige Integral also ein Flächenintegral
> sein soll, wo ist dann [mm]f(\alpha_i(u,v)) [/mm]?
[mm]f(\alpha_i(u,v)) [/mm] nimmt hier den Wert 1 an. Diese Funktion in abhängigkeit von u und v ist dazu da den Flächenstücken wie noch einen gewichteten Wert zu geben. Willst du aber nur die grösse der Fläche selbst haben, dann setzt du sie gleich 1.
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> Ein weiteres Problem habe ich mit dem, was an die obige
> Stelle anschließt.
> Jetzt werden Polarkoordinaten eingeführt: [mm]u = r \cdot cos(\theta), \ v = r \cdot sin(\theta); \quad \theta \in [0,2\pi[, \ r \in [0,R] [/mm].
[mm] u^{2} [/mm] + [mm] v^{2} [/mm] = [mm] r^{2} [/mm] - einsetzen.
[mm] dA_{kart} [/mm] = dudv wird ersetzt durch [mm] dA_{polar} [/mm] = [mm] dr*r*d\theta. [/mm] Das kann man einsehen durch anwenden der Funktionaldeterminante oder durch skizzieren auf ein Blatt Papier der infinitesimal kleinen Flächenelemente.
Die Integrationsgrenzen müssen natürlich angepasst werden. Bei einem Kreis bzw. Kugel ist es ja schnell ersichtlich wie diese ausehen müssen, wenn man denn verstanden hat was Polarkoordinaten sind.
> Diese Koordinaten werden in das obige Integral eingesetzt
> und es entsteht das Integral [mm][mm]\integral_{\theta = 0}^{2\pi} \integral_{r=0}^{R}{\bruch{R}{\wurzel{R^2-r^2}} \cdot r\ dr\; d\theta}.[/mm]
Der Bereich, über den hier integriert wird, entspricht der Grundfläche einer Halbkugel mit Radius R.
Gruss
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