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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:01 Mo 07.06.2010 | | Autor: | valoo |
| Aufgabe | Gegeben sei eine Ellipse [mm] \bruch{x^{2}}{a^{2}}+\bruch{y^{2}}{b^{2}}=1. [/mm] S sei der Teil der Ellipse für den gilt: x,y [mm] \ge0 [/mm]
Diese Stück der Ellipse wird parametrisiert durch die Koordianten [mm] p\in(0,1] [/mm] und [mm] \varphi\in[0,\bruch{\pi}{2}] [/mm] wobei [mm] x=a*p*cos(\varphi) [/mm] und [mm] y=b*p*sin(\varphi)
[/mm]
Berechnen Sie:
a) [mm] A_{S}:=\integral_{S}{dA}
[/mm]
b) [mm] x_{0}:=\bruch{1}{A_{S}}\integral_{S}{x dA}
[/mm]
c) [mm] y_{0}:=\bruch{1}{A_{S}}\integral_{S}{y dA}
[/mm]
d) [mm] J_{x}:=\integral_{S}{(x-x_{0})^{2} dA}
[/mm]
e) [mm] J_{y}:=\integral_{S}{(y-y_{0})^{2} dA} [/mm] |
Heyho!
Da muss man bestimmt irgendwie doppelt integrieren, einmal über p und einmal über [mm] \varphi...
[/mm]
Wie das nun genau geht, weiß ich aber nicht... Was für Grenzen nimmt man denn dabei? 0,1 bzw. 0 [mm] \pi/2 [/mm] sinds wohl nicht...
Ich hab das ganze auch schon ohne diese Parametrisierung versucht, aber dabei kam nichts Vernünftiges raus...
z. B. bei a):
[mm] \integral_{0}^{1}{dx \integral_{0}^{b*\wurzel{1-\bruch{x^{2}}{a^{2}}}}{dy}}
[/mm]
Da kommt schonmal nicht das richtige raus...
Bei diesen ganzen mehrdimensionalen Integralen bin ich irgendwie noch nicht so richtig im Stande, die Grenzen richtig zu wählen...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:49 Mo 07.06.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
du musst nur dA richtig ausrechnen.in kartesischen Koordinaten ist dA=dx*dy in Polarkoordinaten [mm] dA=r*d\phi*dr
[/mm]
hier hast du nicht r als parametewr sondern p kannst du dann den Zusammenhang dr, dp selbst rauskriegen?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:22 Mo 07.06.2010 | | Autor: | valoo |
> Hallo
> du musst nur dA richtig ausrechnen.in kartesischen
> Koordinaten ist dA=dx*dy in Polarkoordinaten [mm]dA=r*d\phi*dr[/mm]
> hier hast du nicht r als parametewr sondern p kannst du
> dann den Zusammenhang dr, dp selbst rauskriegen?
> Gruss leduart
Nur dA ausrechnen?...
Wie mache ich das denn? Irgendwie stell ich mich dazu zu blöd an... -_-
Ich kann ja nicht mal die Polarkoordinatendarstellung nachvollziehen.
Ich hab versucht, das über dx und dy auszurechnen, ich komm bei dx auf [mm] a*dP*cos(\varphi), [/mm] aber bei dy scheiter ich schon...
Es sind wohl andere Flächenstückchen???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:39 Mo 07.06.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
es ist doch [mm] dx=(acos\phi dp,-apsin\phi)d\phi
[/mm]
[mm] dy=(bsin\phi dp,b*pcos\phi [/mm]
damit [mm] dx\times [/mm] dy= [mm] abcos^2\phidpd\phi+absin^2\phi dpd\phi=a*b*dpd\phi=dA
[/mm]
so rechnet man das immer bei einr Koordinatentransformation aus.
Beim Kreis ist das etwas leichter zu sehen, dass die länge auf dem kreis nicht [mm] d\phi [/mm] sondern [mm] r*d\phi [/mm] ist sieht man hoffentlich, also ist die fläche eines kleinn Rechtecks [mm] r*d\phi*dr [/mm] zeichne es dir auf, 2 kreisabschnitte mit Winkel [mm] d\phi [/mm] und Radien r1 und r2 r2-r1=dr
hier ist die Fläche noch in x Richtung mit a, in y Richtung mit b gestreckt.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:59 Mo 07.06.2010 | | Autor: | valoo |
> Hallo
> es ist doch [mm]dx=(acos\phi dp,-apsin\phi)d\phi[/mm]
> [mm]dy=(bsin\phi dp,b*pcos\phi[/mm]
> damit [mm]dx\times[/mm] dy= [mm]abcos^2\phidpd\phi+absin^2\phi dpd\phi=a*b*dpd\phi=dA[/mm]
>
> so rechnet man das immer bei einr Koordinatentransformation
> aus.
> Beim Kreis ist das etwas leichter zu sehen, dass die
> länge auf dem kreis nicht [mm]d\phi[/mm] sondern [mm]r*d\phi[/mm] ist sieht
> man hoffentlich, also ist die fläche eines kleinn
> Rechtecks [mm]r*d\phi*dr[/mm] zeichne es dir auf, 2 kreisabschnitte
> mit Winkel [mm]d\phi[/mm] und Radien r1 und r2 r2-r1=dr
> hier ist die Fläche noch in x Richtung mit a, in y
> Richtung mit b gestreckt.
> Gruss leduart
Aber was sind denn dann die Grenzen? Bei [mm] a*b*\integral_{0}^{1}{dp\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{d\varphi}} [/mm] kommt [mm] \bruch{a*b*\pi}{2} [/mm] raus, es sollte allerdings die Hälfte sein...
Integriert man etwa nur bis zur Hälfte bei [mm] \varphi? [/mm] Oder sind die Grenzen komplett falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:56 Di 08.06.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du solltest immer nachrechnen, was man dir schreibt.
in meinem letzten post ging ein p verloren
[mm] a\cdot{}b\cdot{}p*dpd\phi=dA [/mm] ist richtig
Gruss leduart
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