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Forum "Integralrechnung" - Flächenintegr. mit Bruch lösen

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Flächenintegr. mit Bruch lösen: Frage (beantwortet)

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	13:46 Mi 28.06.2006
Autor:	Micha1981

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Hallo,

ich soll folgendes Flächenintegral lösen:

A= 2 [mm] \integral [/mm] u/v du dv

Das Ergebnis lautet: u²/2v
Wenn ich das Ergebnis differenziere komme ich auch auf das Ausgangsintegral. Nur finde ich keine Lösung für das Integrieren.
Gibt es da keinen vergleichbarer Weg zur Produktregel beim Differenzieren?

Muss ich das etwas via partieller Integration machen: u²*v^(-1) ???
Oder gibt es da auch einen einfacheren Weg?

Gruß und danke im voraus,
Micha

Bezug

Flächenintegr. mit Bruch lösen: Antwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	16:31 Mi 28.06.2006
Autor:	Kuebi

Hallo Micha!

Du sollst ein sogenanntes Flächenintegral ausrechnen. Allgemein heißt das:

[mm] Gebiet=\integral_{G}^{}{\integral_{}^{}{f(x,y) dG}} [/mm]

In deinem Speziellen Fall eben

[mm] A=\integral_{}^{}{\integral_{}^{}{\bruch{u}{v}*du*dv}} [/mm]

Das Doppelintegral wird durch zwei hintereinander durchgeführte Integrationen gelöst. Hierbei arbeitet man sich von "innen" nach "außen". Die Reihenfolge des Abarbeitens der Integrale ist jedoch beliebig.

Das heißt, du rechnest etwa zuerst zuerst

[mm] \integral_{}^{}{\bruch{u}{v} du} [/mm]

(was ja kein Problem sein sollte) aus und was du dann erhälst integrierst du noch nach dv. (Wenn du über du integrierst, kannst du [mm] \bruch{1}{v} [/mm] als Konstante betrachten! Das gilt dann auch analog für v und u bei der zweiten Integration!)

Als Ergebnis sollte dann rauskommen: [mm] A=\bruch{u^{2}}{2}*ln(v). [/mm]

Leitest du das zuerst nach v und dann nach u ab, erhälst du wieder die Ausgangsfunktion.

Leitest du das von dir angebene Ergebnis ab, kommt was anderes dabei raus!

Ich hoffe ich konnte dir das einigermaßen klar machen!

Vielleicht noch ein kleiner Tipp zum Selbststudium (insbesondere ab Seite 5, "Mehrdimensionale Integrale"):

Klich hier

Lg, Kübi
:-)