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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:54 So 05.11.2006 | | Autor: | Kruemelz |
| Aufgabe | | Bestimme diejenige parallele zur 1.Achse, die das Parabelsegment der Parabel y=-x²+9 in zwei Teilflächen mit gleichem Flächeninhalt zerlegt. |
Guten Morgen,
komme bei dieser Aufgabe nicht zu einer passenden Lösung, da ich die Integrationsgrenzen nicht wirklich finde...
Wär super, wenn ihr mir vielleicht nen Tipp geben könntet.
LG und Danke,
Kruemelz
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:16 So 05.11.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Dazu berechne zuerst mal die Fläche , die die Parabel mit der x-Achse einschliesst.
Also
[mm] A=\integral_{-3}^{3}(-x²+9)dx
[/mm]
Jetzt sollst du eine Parallele zur x-Achse ziehen. Diese hat die Gleichung x=a.
Diese soll die Fläche A halbieren.
Die Schnittpunkte von f(x) ung x=a sind die Integrationsgrenzen.
Also -x²+9=a
[mm] \gdw x_{1;2}=\pm\wurzel{9-a}
[/mm]
Also muss gelten:
[mm] \bruch{A}{2}=\integral_{-\wurzel{9-a}}^{\wurzel{9-a}}(-x²+(9-a))dx
[/mm]
Das kannst du jetzt nach a auflösen
Tipp: Die Stammfunktion ist dann [mm] F(x)=-\bruch{1}{3}x³+(9-a)x
[/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:14 So 05.11.2006 | | Autor: | Kruemelz |
Hi,
vielen Dank für deine Hilfe. So ähnlich hatte ich mir das auch gedacht.
Hab das auch so weit gemacht, kann die Gleichung aber irgendwie nicht nach a auflösen, da dort immernoch [mm] \wurzel{9-a} [/mm] auftaucht.
Hab das Gefühl, dass das nicht so schwierig ist und ich mich irgendwie nur blöd anstelle, aber es klappt halt nich.... ;-(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:08 So 05.11.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du musst ja folgendes berechnen:
[mm] A=\left[-\bruch{1}{3}x³+(9-a)x\right]_{-\wurzel{9-a}}^{-\wurzel{9-a}}
[/mm]
[mm] =\bruch{(\wurzel{9-a})³}{3}+(9-a)(\wurzel{9-a})-\left[\bruch{(-\wurzel{9-a})³}{3}+(9-a)(-\wurzel{9-a})\right]
[/mm]
[mm] =\bruch{(9-a)\wurzel{9-a}}{3}+(9-a)(\wurzel{9-a})-\bruch{(9-a)(-\wurzel{9-a})}{3}+(9-a)(\wurzel{9-a})
[/mm]
[mm] =(\wurzel{9-a})\left[\bruch{9-a}{3}+(9-a)+\bruch{9-a}{3}+(9-a)\right]
[/mm]
[mm] =(\wurzel{9-a})\left(\bruch{(9-a)8}{3}\right)
[/mm]
[mm] =(9-a)^{\bruch{1}{2}}*\left(\bruch{(9-a)8}{3}\right)
[/mm]
[mm] =\left(\bruch{(9-a)^{\bruch{3}{2}}8}{3}\right)
[/mm]
[mm] =\left(\bruch{\wurzel[3]{(9-a)²}8}{3}\right)
[/mm]
Wenn du das jetzt mit der "halben" Flächen unter der Parabel, ich nenne sie mal [mm] A_{para} [/mm] gleichsetzt, erhaltst du:
[mm] \left(\bruch{\wurzel[3]{(9-a)²}8}{3}\right)=A_{para}
[/mm]
[mm] \gdw\wurzel[3]{(9-a)²}=\bruch{3A_{para}}{8}
[/mm]
[mm] \gdw(9-a)²=\left[\bruch{3A_{para}}{8}\right]³
[/mm]
Das nach a aufzulösen sollte kein Problem mehr sein.
Marius
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