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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Flächeninhalt geschl. Kurve
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Flächeninhalt geschl. Kurve: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:27 Fr 28.11.2014
Autor: Calculu

Aufgabe
Der Flächeninhalt A einer pos. orientierten einfach geschlossenen Kurve [mm] \alpha(t)=(x(t), [/mm] y(t)) mit t [mm] \in [/mm] [a,b] wird wie folgt berechnet:
A = - [mm] \integral_{a}^{b}{y(t)x'(t) dt} [/mm]

Mir ist nicht klar wie man auf diese Formel kommt.
Über einen Hinweis wäre ich sehr dankbar.


        
Bezug
Flächeninhalt geschl. Kurve: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:16 Fr 28.11.2014
Autor: fred97


> Der Flächeninhalt A einer pos. orientierten einfach
> geschlossenen Kurve [mm]\alpha(t)=(x(t),[/mm] y(t)) mit t [mm]\in[/mm] [a,b]
> wird wie folgt berechnet:
>  A = - [mm]\integral_{a}^{b}{y(t)x'(t) dt}[/mm]
>  Mir ist nicht klar
> wie man auf diese Formel kommt.
>  Über einen Hinweis wäre ich sehr dankbar.

Das ist ein Spezialfall (eine Folgerung) aus dem Gaußschen Integralsatz im [mm] \IR^2. [/mm]

FRED

>  


Bezug
                
Bezug
Flächeninhalt geschl. Kurve: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:31 Fr 28.11.2014
Autor: Calculu

Viele Dank für die schnelle Antwort.
Hast du einen Link wo dieser Spezialfall hergeleitet wird. Möglichst verständlich.
Viele Grüße.

Bezug
                        
Bezug
Flächeninhalt geschl. Kurve: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:03 Fr 28.11.2014
Autor: fred97


> Viele Dank für die schnelle Antwort.
> Hast du einen Link wo dieser Spezialfall hergeleitet wird.
> Möglichst verständlich.
> Viele Grüße.  

Ich mach es Dir vor:

Sei $A$ eine messbare und beschränkte Teilmenge des [mm] \IR^2 [/mm] und [mm] $\alpha(t)=(x(t),y(t))$ [/mm] , $(t [mm] \in [/mm] [a,b])$,  eine stückweise stetig differenzierbare Kurve mit [mm] $\alpha([a,b])= \partial [/mm] A$. Sei weiter $G$ eine offene Teilmenge des [mm] \IR^2 [/mm] mit $A [mm] \subseteq [/mm] G$ und seien

     $P,Q: G [mm] \to \IR$ [/mm]  stetig differenzierbare Funktionen.

Dann besagt der Integralsatz von Gauß:

   (*)   $  [mm] \integral_{A}^{}{(Q_x-P_y) d(x,y)}=\integral_{\alpha}^{}{(P dx+Q dy)}$ [/mm]

1. Wählt man $P(x,y)=-y$  und $Q(x,y)=0$, so folgt aus (*):

    $  [mm] \integral_{A}^{}{1* d(x,y)}=\integral_{\alpha}^{}{(-y )dx}=\integral_{a}^{b}{(-y(t))x'(t) dt}$ [/mm]

Beachte: [mm] \integral_{A}^{}{1* d(x,y)}= [/mm] Flächeninhalt von A.

2.  Wählt man $P(x,y)=0$  und $Q(x,y)=x$, so folgt aus (*):

    $  [mm] \integral_{A}^{}{1* d(x,y)}=\integral_{\alpha}^{}{x dy}=\integral_{a}^{b}{x(t)y'(t) dt}$ [/mm]

Wieder ist  [mm] \integral_{A}^{}{1* d(x,y)}= [/mm] Flächeninhalt von A.

3. Wählt man $P(x,y)=-y$ und $Q(x,y)=x$, so bekommt man eine weitere hübsche Formel für den Flächeninhalt von A. Welche ?

FRED



Bezug
                                
Bezug
Flächeninhalt geschl. Kurve: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:43 Sa 29.11.2014
Autor: Calculu

Vielen lieben Dank, Fred!


Bezug
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