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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:38 Mi 12.11.2008 | | Autor: | maureulr |
| Aufgabe | Skizzieren Sie folgende Flächen . Berechnen Sie den Flächeninhalt A und den geometrischen Schwerpunkt ( [mm] x_{s} [/mm] , [mm] y_{s} [/mm] ) der Flächen .
a) Flächen zwischen den Funktionen [mm] y=2x^{2} [/mm] und [mm] x=y^{2} [/mm] .
b) Flächen des Kreissektors : [mm] x^{2}+y^{2} \le a^{2} [/mm] , a>0 , [mm] 0\le\alpha<\beta\le2\pi
[/mm]
Hinweis: Aufgabe (b) mittels Polarkoordinaten !
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Ich finde dazu keinen Ansatz . Könnte mir jemand auf die Sprünge helfen ?
Mfg Ulli
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:29 Mi 12.11.2008 | | Autor: | M.Rex |
> Skizzieren Sie folgende Flächen . Berechnen Sie den
> Flächeninhalt A und den geometrischen Schwerpunkt ( [mm]x_{s}[/mm] ,
> [mm]y_{s}[/mm] ) der Flächen .
>
> a) Flächen zwischen den Funktionen [mm]y=2x^{2}[/mm] und [mm]x=y^{2}[/mm] .
>
Hallo.
Berechne noch mal die Schnittpunkte [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{2} [/mm] der beiden Funktionen f(x)=2x² und [mm] g(x)=\wurzel{x} (y²=x\gdw y=\wurzel{x})
[/mm]
Dann schaue, welche Funktion im Intervall [mm] [x_{1};x_{2}] [/mm] grösser ist, und berechne dann [mm] A=\integral_{x_{1}}^{x_{2}}"Grössere [/mm] Funktion"-"kleinere Funktion"dx
Hier sollte (wenn ich mich nicht verrechnet habe) im "Schnittintervall" f(x)<g(x) also [mm] \integral_{x_{1}}^{x_{2}}\wurzel{x}-x²=...
[/mm]
Zur Berechnung des Schwerpunktes:
Skizziere dir mal die beiden Funktionen (Dann solltest du sehen, dass die gesuchte Fläche symmetrisch ist) ansonsten musst du ![[]](/images/popup.gif) hier mal schauen.
Marius
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Hallo!
Im Prinzit hat M.Rex recht, aber ich würde mit dem Integralbegriff einen Schritt zurück gehen.
Die Fläche ist stets:
[mm] A=\int_{x_1}^{x_2}\int_{y_1}^{y_2}1\,dx\,dy
[/mm]
Wenn du jetzt über y integrieren willst, dann ist die obere und untere Grenze von x abhängig, nämlich wie M.Rex schrieb, Größere und kleinere Funktion
Für den Schwerpunkt rechnest du anschließend
[mm] s_x=\frac{\int_{x_1}^{x_2}\int_{y_1}^{y_2}\red{x}\,dx\,dy}{A}
[/mm]
[mm] s_y=\frac{\int_{x_1}^{x_2}\int_{y_1}^{y_2}\red{y}\,dx\,dy}{A}
[/mm]
Im letzten Fall siehst du, daß du nun die Rollen von y und x vertauschen mußt, und zuerst über dx integrierst.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:53 Do 13.11.2008 | | Autor: | maureulr |
Danke ... hat gut geklappt !
![[anbet]](/images/smileys/anbet.gif "[anbet]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:37 Fr 14.11.2008 | | Autor: | maureulr |
Könnte mir jemand den Ansatz für b) verraten ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:45 Fr 14.11.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Wenn du die Polarkoordinaten hast, kannst du die Differenz zweier Kreissegmente bilden, um die gesuchte Fläche zu ermitteln.
Diese ist zur Winkelhalbierenden symmetrisch, also liegt der Schwerpunkt irgendwo auf der Winkelhalbierenden des Innenwinkels [mm] \delta=\beta-\alpha
[/mm]
Für ein Kreissegment mit dem Radius r und dem Winkel [mm] \gamma [/mm] (im Gradmass) gilt: [mm] A(r;\gamma)=\pi*r²*\bruch{\gamma}{360} [/mm]
Marius
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