Flächeninhalt eines Rechtecks < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Einem gleichseitigen Dreieck mit der Seitenlänge a soll ein Rechteck einbeschrieben werden. Wie lang müssen die Rechteckseiten sein, damit der Flächeninhalt maximal wird?
Ich hab zwar versucht irgendetwas aufzustellen aber leider ist mir nur dies gelungen:
Flächeninhalt des Dreiecks: A= a/2*h
h= [mm] \wurzel{a*(a/2)^2}
[/mm]
Tut mir leid aber mehr hab ich nicht rausbekommen. ich hoffe ihr könnt mir trotzdem helfen.
ps : man kann die Aufgabe anscheinend auch mit Ableitungen ioder so lösen deshalb hab ich die Aufgabe in diese Rubrik gestellt. Danke im vorraus und noch mals verzeihung wegen des eher schlechten lösungsansatz.
|
|
| |
|
Hallo an alle.
so jetzt ralle ichs trotzdem nicht, da das rechteck 2 andere variablen hat. was soll ich jetzt weiter machen??
sorry, aber ich bin nicht so die leuchte in mathe
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:14 Mo 23.05.2005 | | Autor: | Max |
Hallo satanicskater,
ich hoffe ja mal, dass du dir ein Skizze der Situation gemacht hast. Ich lege das Dreieck mal so in ein Koordinatensystem, dass die eine Seite auf der $x$-Achse verläuft und die Höhe zu dieser Seite auf der $y$-Achse verläuft. Damit liegen die drei Eckpunkte auf [mm] $A\left(-\frac{a}{2}|0\right)$, $B\left(\frac{a}{2}|0\right)$ [/mm] und [mm] $C\left(0|\frac{a^2}{2}\sqrt{3}\right)$. [/mm] Die Höhe des Punktes $C$ kann man über Pythagoras bestimmen.
Das Rechteck hat jetzt eine Seite auf der $x$-Achse. Angenommen die Seite verläuft von [mm] $-x_0$ [/mm] bis [mm] $x_0$. [/mm] Die Frage bleibt jetzt nur, wie hoch kann man das Rechteck machen - genau bis zu den anderen beiden Seiten. Diese kannst du als Gerade durch die Punkte $A$ und $C$, bzw. $B$ und $C$ auffassen und so den Funktionsterm bestimmen.
Wegen der Symmetrie reicht es, wenn du die rechte Hälfte $(x>0)$ des Rechtecks maximierst. D.h. du musst überlegen, wann [mm] $A(x_0)=x_0 \cdot f(x_0)$ [/mm] maximal wird.
Da du $f$ kennst kannst du hier einfach mit den Mitteln der Analysis die Extremwerte bestimmen.
Gruß Max
|
|
|
| |
|
hallo,
sorry aber irgendwie ralle ich das immer noch nicht. es klingt zwar alles schon einleuchtend aber trotzdem... ich glaube ich werde es nie verstehn. kann mir einer vielleicht weiterhelfen??
naja wenn nicht kann ichs irgendwie nachvollziehn, ich mein, son hoffnungsloser fall....
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:29 Mo 23.05.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
Hast du mal ne Zeichnung gemacht!
Das Rechteck steht auf der unteren Seite deines Dreiecks, hat die Seite unten u, nach oben o
Flächeninhalt F=u*o
So, jetzt zeichne noch die Höhe ein und guck nur das halbe Dreieck an. o ist jetzt auch auf der Höhe:
Und du kannst von 2 Ecken her Strahlensatz anwenden um aus o und h u auszurechnen, oder aus und h ,s und u o. das stzest du in F ein. und dass du dann um das Max zu finden differenzieren musst, eisst du ja schon.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
okay mit der zeichnung hab ich jetzt gemacht. aber trotzdem versteh ichs nicht. was heisst differenzieren?? kann mir da jemand weiterhelfen?? naja ist auch egal.. ich bin halt dumm..
|
|
|
| |
|
Hallo,
> okay mit der zeichnung hab ich jetzt gemacht. aber trotzdem
> versteh ichs nicht. was heisst differenzieren?? kann mir da
> jemand weiterhelfen?? naja ist auch egal.. ich bin halt
> dumm..
eine Funktion differenzieren heißt, die Steigung der Tangente ermitteln.
Das nennt man auch Ableitung. Die Ableitung ist definiert als der Grenzwert des Differenzenquotienten für h gegen 0.
[mm]\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \;\frac{{f\left( {x\; + \;h} \right)\; - \;f(x)}} {h}\; = \;f'(x)[/mm]
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
Hi, satanicskater,
die Aufgabe mit dem Rechteck im Dreieck kam im Forum schon öfter vor, u.a. hier:
https://matheraum.de/read?t=60349&v=t
Schau mal nach, ob Dir der dort vorgeschlagene Lösungsweg (Strahlensatz) eher einleuchtet!
|
|
|
|
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
hier