Flächeninhalt einer Menge < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Zeichnen Sie folgende Mengen und berechnen Sie den Flächeninhalt.
M = {(x,y) [mm] \varepsilon \IR^{2} [/mm] : 0<y<x² , 0<x<2}
M = {(x,y) [mm] \varepsilon \IR^{2} [/mm] : -x²<y<x [mm] e^{-x}, [/mm] 0<x<1} |
Hi!
Wie kann ich bei diesen Aufgaben eine Funktion bilden? So dass ich die Mengen zeichnen und integrieren kann?
Gruß
Linda
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:21 Di 23.12.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
zeichne die Raender der Menge: also y=0 [mm] y=x^2, [/mm] x=0 x=2
dann schraffier das Gbiet mit kleiner bzw. groesser!
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
ok, danke soweit.
dann habe ich als menge die fläche unterhalb y=x² zwischen x=0 und x=2. also habe ich als flächeninhalt 8/3 raus. ist das soweit richtig?
hast du auch noch einen tipp für die zweite aufgabe?
gruß
Linda
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:00 Di 23.12.2008 | | Autor: | Blech |
$M = [mm] \{(x,y) \in \IR^{2}\ :\ -x^2
Die systematische Lösung =)
Um den Inhalt zu kriegen, integrierst Du über den ganzen [mm] $\IR^2$ [/mm] eine Funktion f(x,y), die 1 ist, wenn (x,y) in M liegt, und 0 außerhalb. Die Funktion nennt sich Indikatorfunktion (i.a. [mm] $1_M(x,y)$, [/mm] oder [mm] $\chi_M(x,y)$ [/mm] geschrieben) und ist so definiert:
[mm] $\chi_M(x,y)=1_M(x,y)=\begin{cases}1,& \text{für }(x,y)\in M\\ 0, &\text{für } (x,y)\notin M\end{cases}$
[/mm]
Der Witz ist folgender:
[mm] $\int\int 1_M(x,y)\ [/mm] dy\ dx= [mm] \int\int 1_{]-x^2,xe^{-x}[}(y)*1_{]0,1[}(x)\ [/mm] dy\ dx$
Zwei Sachen:
1.
[mm] $1_M(x,y)=1_{]-x^2,xe^{-x}[}(y)*1_{]0,1[}(x)$, [/mm] denn die linke Seite ist 1, wenn (x,y) in M ist und 0 außerhalb. Die rechte Seite ist 1, wenn beide Indikatorfunktionen 1 sind (weil 1*0=0), also wenn $0<x<1$ und [mm] $-x^2
2.
[mm] $\int g(x)*1_{]a,b[}(x)\ dx=\int_a^b [/mm] g(x)\ dx$. D.h., wenn die Indikatorfunktion über ein Intervall geht (egal ob offen oder geschlossen), kannst Du das Intervall einfach in die Integralgrenzen schreiben. g(x) haben wir in dem Fall nicht, also ist es noch einfacher.
Zurück im Text: [mm] $1_{]0,1[}(x)$ [/mm] hängt nicht von y ab, das können wir rausziehen,
[mm] $\int\int 1_{]-x^2,xe^{-x}[}(y)*1_{]0,1[}(x)\ [/mm] dy\ dx = [mm] \int 1_{]0,1[}(x)\ \int 1_{]-x^2,xe^{-x}[}(y)\ [/mm] dy\ dx [mm] =\int_0^1 \int_{-x^2}^{xe^{-x}} [/mm] 1\ dy\ dx$
und die letzte 1 ist jetzt keine Indikatorfunktion mehr, sondern nur noch eine 1. =)
ciao
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:19 Di 23.12.2008 | | Autor: | urmelinda |
vielen Dank! Hast mir sehr geholfen, wenn noch Fragen auftreten, melde ich mich nochmal!
Gruß
Linda
|
|
|
|
