Flächeninhalt, Parabeln, Tang. < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:45 So 26.03.2006 | | Autor: | Pure |
| Aufgabe | Zu jedem t>0 ist eine Funktion [mm] f_{t} [/mm] gegeben durch
[mm] f_{t}(x)= \bruch{t*x^{2}-4}{x^{2}}; x\not=0.
[/mm]
Ihr Schaubild sei [mm] K_{t}
[/mm]
a) Untersuchen Sie [mm] K_{t} [/mm] auf Symmetrie, gemeinsame Punkte mit der x-Achse, Extrempunkte und Asymptoten.
Zeichnen Sie [mm] K_{1} [/mm] sant Asymptoten für [mm] -4\le [/mm] x [mm] \le [/mm] 4.
Zeigen Sie, dass für alle x [mm] \not= [/mm] 0 gilt: [mm] f_{t} [/mm] (x) < t.
b) Die Gerade x=z schneidet [mm] K_{t} [/mm] im 1. Feld. Sie schließt mit [mm] K_{t}, [/mm] den beiden Koordinatenachsen und der Geraden Y=t eine Fläche mit dem Inhalt [mm] A_{t} [/mm] (z) ein.
Berechnen Sie [mm] A_{t}(z) [/mm] und [mm] \limes_{z\rightarrow\infty} A_{t}(z).
[/mm]
c) Für welches t berührt eine zur y-Achse symmetrische Parabel 2. Ordnung mit Scheitel S(0/-1) die Kurve [mm] K_{t} [/mm] in deren Schittpunkten mit der x-Achse? Bestimmen Sie die Gleichung der Parabel.
d) Die Tangenten an [mm] K_{1} [/mm] in den Kurvenpunkten P(u/v) und Q(-u/v) bilden mit der Geraden y=1 ein Dreieck mit Inhalt A(u).
Bestimmen Sie A(u).
Begründen Sie, dass A(u) keinen Extremwert annimmt.
Rotiert das Dreieck um die y-Achse, so entsteht ein Kegel mit dem Rauminhalt V.
Zeigen Sie, dass V von u unabhängig ist. |
Hallöchen!
Also eigentlich habe ich ein Problem mit b,c,d. Die a) hab ich schon, aber ich hab sie mal dazu geschrieben, falls man die Ergebnisse daraus in einer der weiteren Teilaufgaben braucht.
Ehrlich gesagt versteh ich hier nur Bahnhof.
zu b) Was ist das 1. Feld? Und wie kann ich denn eine Gerade zeichnen, wenn sie nur aus Variablen besteht? -> x=z.
zu c) Wie kann ich aus den Angaben die Parabelgleichung bestimmen?
zu d) Hier versteh ich gar nichts mehr. Ich weiß nicht, wie ich mir die Kurvenpunkt vorstellen soll, noch, wie ich A(u) bestimmen soll, wenn ich wieder nur Variablen habe.
Könnt ihr mir helfen? Bitte! Die Hausaufgabe wird benotet, aber meine Nachhilfe hats gestern auch nicht geschafft, diese Aufgabe zu lösen! Bin total verzweifelt...
Liebe Grüße von hier, Eure Pure
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Hallo Pure,
eine schöne Aufgabe haben sie euch da gegeben. Die rationalen Funktionen sind bei mir auch nicht mehr ganz so frisch, aber ich hab meine Schulhefte rausgekramt, und glaube dir ein bisschen helfen zu können.
Was hast du bei a) denn für eine Asympthote und für Nullstellen raus?
Zu b)
Wenn du so eine Aufgabe mit Flächen hast, ist es immer gut dir ein Bild zu zeichen. Ich nehme mal an, das du weiß wie die Funktion verläuft. Wenn nicht, dann setze ich [mm] K_{1}(x) [/mm] Am besten die Werte von 1 bis 4 ein, und du hast eine Übersicht.
Ich nehme mal an, dass das 1. Feld der erste Quadrant ist. Der befindet sich oben rechts im Koordinatensystem.
Die beiden Geraden, die du durch die Variablen t und z gegeben hast, variieren die Fläche [mm] A_{z}(z). [/mm] In Abhängigkeit der beiden Variablen sollst du die Fläche angeben.
Also, zeichne ein Koordinatensystem. Zeiche den Graph ein. eigentlich musst du nur den ersten Quadranten betrachten.
x=z ist ja einfach nur eine senkrechte Gerade, und y=t ist eine waagerechte Gerade.
Diese beiden Geraden und die Koordinatenachsen bilden ein Rechteck. in diesem Rechteck wird aber eine Ecke noch durch die Funktion "abgeschnitten". Und du brauchst die Fläche von dem Rechteck minus der Fläche zwischen Graph und der x-Achse in den Grenzen von 2 und z.
2 ist ja die positive Nullstelle von [mm] K_{1}(x), [/mm] und z ist die senkrechte Gerade, die die gesuchte Fläche begrenzt
Die Rechtseckfläche wird ja allgemein mit A=a*b berechnet. Wenn du die Formel auf die gegebenen Größen anwendest, und die Fläche unter dem Graphen anziehst, erhältst du die Formel:
[mm] A_{t}(z)=t*z [/mm] - [mm] \integral_{2}^{z}{ \bruch{x²-4}{x²} dx}
[/mm]
Die Funktion kannst du vereinfachen, um leichter zu integrieren.
[mm] \bruch{x²-4}{x²}= \bruch{-4}{x²}+t
[/mm]
kommst du an der Stelle alleine weiter?
Zu c)
Du kennst zwei Punkte (2/0) (denn 2 ist ja die Nullstelle) und (0/-1) (Scheitelpunkt).
Außerdem weißt du was für eine Art von Funktion es sein soll.
Da die Funktion axialsymetrisch zur y-Achse sein soll, dürfen nur gerade exponenten vorkommen.
Die gesuchte Funktion hat also die Form y=ax²+c.
Wenn du die beiden Punkte für x und y einsetzte, hast du ein Gleichungssystem aus 2 Gleichungen und 2 Unbekannten (a und c).
Zur Kontrolle: die Gleichung ist y= [mm] \bruch{1}{4}x²-1
[/mm]
die d) gucke ich jetzt noch schnell an, aber mit b) und c) kannst du ja erst mal weitermachen.
Viel Erfolg!
//Sara
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:30 So 26.03.2006 | | Autor: | Pure |
Hi Kampfsocke!
DANKE! Du warst meine Rettung. Bei der b) bin ich gerade dabei, sie mit deiner Hilfe zu lösen und die c) hab ich jetzt auch schon. Und sogar alles verstanden! *stolz bin* 
Bei der a) ist meine Asymptote mit t=1 -> y=1, aber allgemein hab ich rausbekommen ist sie y=t
Und die Nullstellen sind allgemein x1= [mm] \bruch{2}{ \wurzel{t}} [/mm] und x2= [mm] -\bruch{2}{\wurzel{t}}, [/mm] aber mit t=1 sind sie x1= 2 und x2= -2. Stimmt ja so, oder?
Die Aufgabe ist ne Abiaufgabe von 1993, so wie wir gesagt bekommen haben. Aber so lange machen wir Integralrechnung noch nicht, dass mir das jetzt alles klar war, deshalb bin ich dir wirklich sehr sehr dankbar!
Jetzt fehlt mir nur noch die d)....
Liebe Grpße, Pure
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:40 So 26.03.2006 | | Autor: | kampfsocke |
Hej hej, schön das ich dir bisher helfen konnte.
An der d) sitze ich noch dran, hab mich nämlich grob verrechnet :-p.
Da musst du noch kurz warten, aber sie kommt.
Viele Grüße,
Sara
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d) Die Tangenten an in den Kurvenpunkten P(u/v) und Q(-u/v) bilden mit der Geraden y=1 ein Dreieck mit Inhalt A(u).
Bestimmen Sie A(u).
Begründen Sie, dass A(u) keinen Extremwert annimmt.
Rotiert das Dreieck um die y-Achse, so entsteht ein Kegel mit dem Rauminhalt V.
Zeigen Sie, dass V von u unabhängig ist.
Also, ich bin immernoch nicht beim richtigen Ergebnis, und stehe ein bisschen auf dem Schlauch, aber ich versuche dir mal zu erklären, wie ich vorgegangen bin. Das sollte nämlich eigentlich stimmen, aber ich habe irgendwo einen Hänger.
Zeichne dir wieder auf, was du gegeben hast.
Erst mal die Gerade y=1, und die beiden Tangenten am Graphen. Gesucht ist die Fläche von einem geichschenkligen, auf dem Kopf stehenden Dreieck. Um die Fläche zu berechnen brauchst du die Länge der Grundseite, und die Höhe des Dreiecks.
Aber erst mal zu den Geraden. Weil das Dreieck gleichschenklig ist, brauchst du nur eine der Geraden zu betrachten.
Die allgemeine Gleichung einer Grade ist y=mx+n.
m ist der Anstiegt, also die erste Ableitung der Funktion.
[mm] f_{1}'(x)= \bruch{8}{x³}=m
[/mm]
mit y=v und x=u kannst du n ausrechnen.
Die allgemeine Form der "rechteren" Geraden ist also y= [mm] \bruch{8}{x³}+v- \bruch{8}{u²}.
[/mm]
Für die andere Gerade hätte m das andere Vorzeichen, und bei n würde sich auch ein Vorzeichen vertauschen, aber das brauchen wir hier nicht.
Wir brauchen, um die Spitze und damit die Höhe des Dreiecks ausrechnen zu können den Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse.
Wenn man x=0 setzt, erzählt man y=v- [mm] \bruch{8}{u²}.
[/mm]
Außerdem braucht man für die Grundseite des Dreckecks noch den Schnittpunkt der Gerade mit y=1.
1= [mm] \bruch{8}{x²}+v- \bruch{8}{u²}
[/mm]
x= [mm] \wurzel{ \bruch{8}{1-v+ \bruch{8}{u²}}} [/mm] (hoffe das wird richtig angezeigt!)
Die Fläche berechnet sich ja bekanntlich durch A= [mm] \bruch{1}{2}Grundseite*Höhe.
[/mm]
Die Grundseite ist 2x. Denn das x was wir oben ausgerechnet haben, geht ja nur in eine Richtung von der y-Achse.
Die Höhe ist y+1, denn der errechnet y-Wert geht von der x-Achse aus, das Dreieck geht aber shcon bei y=1 los.
So, und jetzt hört es bei mir auf.
Mein Ergebnis für die Fläche wäre
A= [mm] \wurzel{ \bruch{8}{1-v+ \bruch{8}{u²}}}*(1+v- \bruch{8}{u²}
[/mm]
Und das kann ich nicht so weiter vereinfachen, das es mir viel hilft.
Es tut mir leid das ich dir nicht viel weiter helfen konnte.
Wenn du noch was rausbekommst, kannst du es mir ja nochmal sagen. Oder falls du einen Fehler in meinen Überlegungen findest.
Diese Aufgabe will ich noch verstehen.
Viele Grüße, und viel Erfolg!
//Sara
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:30 Mo 27.03.2006 | | Autor: | Sigrid |
Liebe Sara,
in deiner Lösung sind dir ein paar Fehler unterlaufen. Ich gebe dir mal die Stellen an, an denen du es hättest merken können.
> d) Die Tangenten an in den Kurvenpunkten P(u/v) und
> Q(-u/v) bilden mit der Geraden y=1 ein Dreieck mit Inhalt
> A(u).
> Bestimmen Sie A(u).
> Begründen Sie, dass A(u) keinen Extremwert annimmt.
> Rotiert das Dreieck um die y-Achse, so entsteht ein Kegel
> mit dem Rauminhalt V.
> Zeigen Sie, dass V von u unabhängig ist.
>
> Also, ich bin immernoch nicht beim richtigen Ergebnis, und
> stehe ein bisschen auf dem Schlauch, aber ich versuche dir
> mal zu erklären, wie ich vorgegangen bin. Das sollte
> nämlich eigentlich stimmen, aber ich habe irgendwo einen
> Hänger.
>
> Zeichne dir wieder auf, was du gegeben hast.
> Erst mal die Gerade y=1, und die beiden Tangenten am
> Graphen. Gesucht ist die Fläche von einem geichschenkligen,
> auf dem Kopf stehenden Dreieck. Um die Fläche zu berechnen
> brauchst du die Länge der Grundseite, und die Höhe des
> Dreiecks.
>
> Aber erst mal zu den Geraden. Weil das Dreieck
> gleichschenklig ist, brauchst du nur eine der Geraden zu
> betrachten.
>
> Die allgemeine Gleichung einer Grade ist y=mx+n.
> m ist der Anstiegt, also die erste Ableitung der Funktion.
> [mm]f_{1}'(x)= \bruch{8}{x³}=m[/mm]
> mit y=v und x=u kannst du n
> ausrechnen.
>
> Die allgemeine Form der "rechteren" Geraden ist also y=
> [mm]\bruch{8}{x³}+v- \bruch{8}{u²}.[/mm]
Diese Gleichung ist keine Geradengleichung, sondern die Gleichung einer gebrochenrationalen Funktion.
Außerdem solltest du noch berücksichtigen, dass v=f(u).
>
> Für die andere Gerade hätte m das andere Vorzeichen, und
> bei n würde sich auch ein Vorzeichen vertauschen, aber das
> brauchen wir hier nicht.
Vorsicht: Geraden, die bezüglich der y-Achse zueinander symmetrisch sind, schneiden sich auf der y-Achse.
>
> Wir brauchen, um die Spitze und damit die Höhe des Dreiecks
> ausrechnen zu können den Schnittpunkt der Geraden mit der
> y-Achse.
>
> Wenn man x=0 setzt, erzählt man y=v- [mm]\bruch{8}{u²}.[/mm]
>
> Außerdem braucht man für die Grundseite des Dreckecks noch
> den Schnittpunkt der Gerade mit y=1.
>
> 1= [mm]\bruch{8}{x²}+v- \bruch{8}{u²}[/mm]
> x= [mm]\wurzel{ \bruch{8}{1-v+ \bruch{8}{u²}}}[/mm]
> (hoffe das wird richtig angezeigt!)
>
> Die Fläche berechnet sich ja bekanntlich durch A=
> [mm]\bruch{1}{2}Grundseite*Höhe.[/mm]
>
> Die Grundseite ist 2x. Denn das x was wir oben ausgerechnet
> haben, geht ja nur in eine Richtung von der y-Achse.
> Die Höhe ist y+1, denn der errechnet y-Wert geht von der
> x-Achse aus, das Dreieck geht aber shcon bei y=1 los.
>
> So, und jetzt hört es bei mir auf.
> Mein Ergebnis für die Fläche wäre
>
> A= [mm]\wurzel{ \bruch{8}{1-v+ \bruch{8}{u²}}}*(1+v- \bruch{8}{u²}[/mm]
>
> Und das kann ich nicht so weiter vereinfachen, das es mir
> viel hilft.
>
> Es tut mir leid das ich dir nicht viel weiter helfen
> konnte.
> Wenn du noch was rausbekommst, kannst du es mir ja nochmal
> sagen. Oder falls du einen Fehler in meinen Überlegungen
> findest.
> Diese Aufgabe will ich noch verstehen.
>
> Viele Grüße, und viel Erfolg!
> //Sara
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:21 Mo 27.03.2006 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Pure,
Sara sind in ihrem Lösungsansatz einige Fehler unterlaufen. Es ist richtig, dass du die Tangente im Punkt P(u|v) brauchst:
Dabei ist [mm] v = \bruch{u^2 - 4}{u^2} = 1 - \bruch{4}{u^2}[/mm]
Allgemeine Gleichung: [mm] y = m \cdot x + n [/mm] mit [mm] m = f'(u) [/mm]
[mm] f'(x) = \ \bruch{8}{x^3} [/mm]
Sorry, ich hatte zwar mit der richtigen Ableitung gerechnet, aber die falsche hingeschrieben)
Also ist die Steigung der Tangente:
[mm] f'(u) = \ \bruch{8}{u^3} [/mm]
Versuche jetzt einmal die Gleichung der Tangente aufzustellen
(Ergebnis: [mm] y = \bruch{8}{u^3}\ x + 1 - \bruch{12}{u^2} [/mm])
Die Gleichung der 2. Tangente wäre übrigens [mm] y = -\bruch{8}{u^3}\ x + 1 - \bruch{12}{u^2} [/mm] .
Zeichne die Tangenten mal in deine Skizze des Graphen und auch die Gerade y=1, damit du das Dreieck siehst.
Findest du jetzt den Flächeninhalt des Dreiecks? Wenn nicht, melde dich nochmal
Gruß
Sigrid.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:37 Mo 27.03.2006 | | Autor: | kampfsocke |
Hallo Sigrid,
ja, du hast wohl recht, dass ich mit meiner Lösung im letzten Teil auf keinen Grünen Zweig gekommen bin.
Aber ich bleibe dabei, das die Ableitung von [mm] f_{1}(x) [/mm] bei mir richtig war. Du hast [mm] f_{1}'(x)=- \bruch{8}{x³}. [/mm] Müsst es micht + sein?
Danke das du dir die Aufgabe nochmal angesehen hast.
Viele Grüße,
Sara
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:53 Mo 27.03.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Sara!
Du hast mit Deiner Ableitung [mm] $f_1'(x) [/mm] \ = \ [mm] \red{+}\bruch{8}{x^3}$ [/mm] natürlich Recht ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:00 Mo 27.03.2006 | | Autor: | Pure |
Hallo Sigrid,
erst mal danke für deine Antwort.
Ich verstehe alle Schritte bis zur Gleichung der Tangente. Wie man auf m, die Steigung, kommt, versteh ich auch noch, aber n zu bestimmen und daraus dann 1- [mm] \bruch{12}{u^{2}} [/mm] zu machen, ist mir nicht klar. Kannst du mir das bitte nochmal erklären?
Wie ich auf die Fläche des Dreiecks komme, hab ich mir so ausgedacht:
Die Fläche ist ja 1/2 Grundseite mal Höhe.
Höhe: Die bekommt man, wenn man den Schnittpunkt der Tangenten mit der y-Achse ausrechnet. Dann kann man einfach vom Schnittpunkt bis zu y=1 rechnen. Das wäre ja soweit kein Problem, wenn ich so richtig liege.
Die Grundseite fällt mir schon etwas schwerer. Da muss ich ja praktisch die Schnittpunkte mit y=1 ausrechnen, um erst mal die ganze Länge zu bekommen. Später kann ich da ja halbieren für die Fläche. Ich setze halt einfach y=1 bei den Tangenten und schau, für welchen x-Wert die Tangente durch y=1 geht. Und dank den x-Werten kann ich dann ja wieder vom - in den +Bereich rechnen und hab dann die Länge.
Bin ich so auf dem richtigen Weg?
Kannst du mir bitte auch noch oben die Frage mit der Gleichung der Tangenten erklären?
Danke im Vorraus!
Liebe Grüße, Pure
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:14 Mo 27.03.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Pure!
Sigrid hat hier die gegebenen Werte in die Punkt-Steigungs-Form von Geraden eingesetzt:
$m \ = \ [mm] \bruch{y-y_1}{x-x_1}$
[/mm]
Übertragen auf unsere Werte bedeutet dies:
[mm] $f_1'(u) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{y-v}{x-u} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{y-f_1(u)}{x-u}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ $\bruch{8}{u^3} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{y-\bruch{u^2-4}{u^2}}{x-u}$
[/mm]
Und nun nach $y \ = \ ...$ umstellen.
Dein beschriebenen weiteren Lösungsschritte klingen sehr gut und richtig ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") !!
Hier nochmal eine skizze zur Verdeutlichung:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß
Loddar
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:52 Mo 27.03.2006 | | Autor: | Pure |
Hallöchen!
Wollte nur vermelden, dass ich des Rätsels Lösung jetzt kenne 
Die Höhe ist 3cm, die Grundseite (also c) ist 6cm lang und daraus ergibt sich dann eine Fläche von 9 [mm] cm^{2} [/mm]
Voll supi. An dieser Stelle nochmal an alle Beteiligten (kampfsocke, Sigrid und Loddar) ein Dankeschön!
Liebe Grüße, Eure Pure
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:06 Mo 27.03.2006 | | Autor: | kampfsocke |
Vergiss den Rest vom Teil d) nicht.
Viele Grüße,
Sara
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:31 Mo 27.03.2006 | | Autor: | Pure |
Als würdest du mich kennen*g* Natürlich hatte ich den Rest der Aufgabe in meiner Freude vergessen. Uuuups.
Aber danke, den Rest versuch ich jetzt noch zu machen, obwohl mir im Moment nur klar ist, wie ich das Raumvolumen vom Rotationskörper ausrechne.... in Beweisen setzts dann bei mir aus Mal sehen. Ich schaus mir gleich mal an.
lg, Pure
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:00 Mo 27.03.2006 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Pure,
> Hallöchen!
> Wollte nur vermelden, dass ich des Rätsels Lösung jetzt
> kenne
>
> Die Höhe ist 3cm, die Grundseite (also c) ist 6cm lang und
> daraus ergibt sich dann eine Fläche von 9 [mm]cm^{2}[/mm]
>
> Voll supi. An dieser Stelle nochmal an alle Beteiligten
> (kampfsocke, Sigrid und Loddar) ein Dankeschön!
Kannst du noch mal angeben, wie deine Rechnung aussieht. Du solltest doch A(u) bestimmen und nach meiner Rechnung ist diese Funktion keine Konstante.
>
Liebe Grüße
Sigrid
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:19 Mo 27.03.2006 | | Autor: | Pure |
Also für u hab ich 2 eingesetzt, weil ich gedacht hab, da ja die Punkte (u/v) heißen, dass u praktisch 2 ist, weil für t=1 die Funktion ihre Nullstellen ja in 2 bzw -2 hat... Ohje, mit fällt grad auf, dass ich dann doch nicht so richtig liege... Muss nochmal schauen.
Aber danke für den Hinweis!
lg, Pure
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:27 Mo 27.03.2006 | | Autor: | Pure |
Also ich habe meinen Fehler behoben und nur mit Variablen weitergerechnet. Mein A(u) ist jetzt = [mm] \bruch{3*(u^{2}-6)}{u}
[/mm]
Für die Grundseite habe ich in der Tangentengleichung y=1 gesetzt, weil ich für die Länge der Grundseite ja die Schnittpunkte mit y=1 brauche. Da kam dann raus, dass x= [mm] \bruch{3u}{2} [/mm] ist. Und dann muss man ja von [mm] \bruch{3u}{2} [/mm] *2 rechnen, damit man die Länge bekommt. So habe ich es jedenfalls mal gemacht.
Und die Höhe habe ich mit Schnittpunkten der y-Achse mit der Tangente errechnet. Also x=0 setzen in der Tangentengleichung und zu dem Ergebnis y= 1- [mm] \bruch{12}{u^{2}} [/mm] hab ich dann 1 dazugeszählt, weil die Höhe ja von den Schnittpunkten bis zu +1 hoch geht. Also hab ich da raus, dass die Höhe [mm] 2-\bruch{12}{u^{2}} [/mm] ist.
Und alles dann eingesetzt in die Dreiecksformel A= 1/2 c*h ergibt dann oben meine Fläche.
Danke für den Hinweis! Jetzt stimmts so, oder?
lg, Pure
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:58 Di 28.03.2006 | | Autor: | Loddar |
Guten Morgen Pure!
Ich will Dich natürlich nur ungern in Deiner Euphorie bremsen. Aber ich habe als Flächenfunktion $A(u)_$ ein anderes Ergebnis erhalten:
[mm] $h_g [/mm] \ = \ [mm] 1-\left(1-\bruch{12}{u^2}\right) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{12}{u^2}$
[/mm]
[mm] $\bruch{1}{2}*g [/mm] \ = \ [mm] \bruch{3}{2}u$ $\Rightarrow$ [/mm] $g \ = \ 3u$
[mm] $\Rightarrow$ $\blue{A(u)} [/mm] \ = \ [mm] A_{\Delta} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*g*h_g [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*3u*\bruch{12}{u^2} [/mm] \ \ [mm] \blue{= \ \bruch{18}{u}}$
[/mm]
Bitte nochmal überprüfen ... (oder habe ich mich jetzt verhauen ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]") ?)
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:25 Mo 01.05.2006 | | Autor: | Yanna |
Hallo,
ich weiß der Beitrag ist schon etwas älter, ich hoffe ihr könnt mir trotzdem helfen. Zur Vorbereitung aufs mündliche Abi sollen wir genau diese Aufgabe im Unterricht vorstellen. Mit den angegebenen Punkten kann ich zwar die Parabelgleichung aufstellen, jedoch verstehe ich nicht ganz, warum ich einfach den Punkt (2/0) annehmen kann. Falls ich mich nicht täusche, ist dies ja der Schnittpunkt für t=1. In c) ist aber doch gefragt, für welches t die Parabel die Kurve berührt. Wie komme ich aus dieser Aufgabenstellung auf t=1? Ich hatte es viel komplizierter angefangen, davon ausgehend, das berühren = gleiche Steigung in dem Punkt = 1. Ableitung gleichsetzen. Wahrscheinlich stehe ich jedoch nur total auf dem Schlauch.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:37 Mo 01.05.2006 | | Autor: | hase-hh |
moin,
deine idee sieht doch gut aus.
also ich habe eine parabel, deren scheitelpunkt S(0(-1) ist und die symmetrisch zur y-Achse sein soll. =>
y = [mm] x^2 [/mm] - 1
diese parabel soll jetzt an den schnittpunkten der funktion f mit der x-achse, d.h. an deren nullstellen, die parabel berühren.
[mm] f_{t}(x)= (tx^2-4) [/mm] / [mm] x^2 [/mm]
y = [mm] x^2 [/mm] - 1
für die berührpunkte (entspricht hier m.E. den schnittpunkten) gilt:
[mm] (tx^2 [/mm] -4) / [mm] x^2 [/mm] = [mm] x^2 [/mm] -1
für [mm] x^2= [/mm] 4 /t (d.h. nullstellen von f)
setze ich ein und erhalte mein t.
0 = 4/t -1
t=4.
Denke (inzwischen), dass die 1. Ableitung bzw. die Steigung der Funktion mit der Aufgabe nichts zu tun hat.
Habe mal f' berechnet, diese ist interessanterweise unabhängig von einem bestimmten t!
f'(x)= 8 / [mm] x^3 [/mm]
[Übrigens gäbe f' ja "nur" die Steigung der Tangente an und wie willst Du diese in beziehung zu der parabel setzen??]
gruss
wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:50 Mo 01.05.2006 | | Autor: | Yanna |
Müsste die Grundform der Parabel denn nicht y=ax²-1 heißen? Weil an dieser Stelle habe ich dann aufgegeben, da ich mit t und a nicht weiterkam.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:10 Mo 01.05.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Yanna!
> Müsste die Grundform der Parabel denn nicht y=ax²-1 heißen?
Völlig richtig!
> Weil an dieser Stelle habe ich dann aufgegeben, da ich mit
> t und a nicht weiterkam.
Da Du ja zwei Unbekannte mit $a_$ und $t_$ hast, musst Du auch eine 2. Gleichung aufstellen, die sich hier aus der Information "berühren" ergibt:
In den Nullstellen müssen auch die Steigungen von [mm] $K_t$ [/mm] und der gesuchten Parabel übereinstimmen.
[mm] $f_t'(x_N) [/mm] \ = \ [mm] p'(x_N)$
[/mm]
Wie lauten denn die beiden Nullstellen von [mm] $K_t$ [/mm] ?
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:27 Mo 01.05.2006 | | Autor: | Yanna |
Als Nullstellen habe ((2/√t) / 0) und (-(2/√t) / 0).
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:31 Mo 01.05.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Yanna!
> Als Nullstellen habe ((2/√t) / 0) und (-(2/√t) / 0).
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:04 Mo 01.05.2006 | | Autor: | Yanna |
Also sehe ich es richtig, dass ich ein Gleichungssystem habe, in der die erste Gleichung y=ax²-1 ist und die zweite 8/(2/(√t)³) = 2a*(2/√t)? Jedoch kann ich damit irgendwie nichts anfangen, wenn ich in die erste die Werte vom Scheitelpunkt einsetze fällt ja durch x=0 das a immer raus. Oder muss ich das da gar nicht einsetzen? Irgendwie bin ich verwirrt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:00 Mo 01.05.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Yanna!
> Also sehe ich es richtig, dass ich ein Gleichungssystem
> habe, in der die erste Gleichung y=ax²-1 ist und die zweite
> 8/(2/(√t)³) = 2a*(2/√t)?
Richtig! Allerdings musst Du in die 1. Gleichung noch den Wert [mm] $x_N [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2}{\wurzel{t}}$ [/mm] ensetzen:
[mm] $a*x_N^2-1 [/mm] \ = \ [mm] a*\left( \ \bruch{2}{\wurzel{t}} \ \right)^2-1 [/mm] \ = \ [mm] a*\bruch{4}{t}-1 [/mm] \ = \ 0$
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:36 Mo 01.05.2006 | | Autor: | Yanna |
t müsste 1 sein und a=1/4 oder?
Vielen vielen Dank, mir sind jetzt 300 Kronleuchter aufgegangen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:16 Mo 01.05.2006 | | Autor: | Loddar |
Hall Yanna!
> t müsste 1 sein und a=1/4 oder?
Das habe ich auch erhalten! Der weitere Wert für $t \ = \ 0$ ist ja nicht sinnvoll, da es sich dann nicht mehr um eine Parabel handelt mit $a \ = \ 0$ .
> Vielen vielen Dank, mir sind jetzt 300 Kronleuchter aufgegangen.
Fein ...
Gruß
Loddar
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