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hallo zusammen...
hab hier eine aufgabe zu lösen bei der ich nur die hälft versteh.
P(u;v) mit 0<u<10 ist ein Punkt des
Graphen[mm]g_3=\bruch{1}{4}x^2-3x+9[/mm].
Bestimme den Inhalt des Quadrates mit der Strecke [mm]\overline{PQ}[/mm]
und Q(0;9) als Seitenlänge in Abhängigkeit von u.
Für welches u wird der Flächeninhalt des Quadrates maximal?
-->nun habe ich nur eine Antwort für die 2.Teilaufgabe bekommen
und weiß nicht ob ich es so lösen kann.
Ich habe gesagt, die Hauptbedingung soll
A= a*b und die Nebenbedingung a = u sowie
[mm]b = f(u)=\bruch{1}{4}u^2-3u+9[/mm] sein.
Zielfunktion ist dann [mm]A(u)=u*f(u)=\bruch{1}{4}u^3-3u^2+9[/mm].
Jetzt müßt ich doch für den gesuchten Wert u die Zielfunktion in den GTR eingeben und die Koordinaten des Maximum-Punktes ablesen.x-Koordinate ist dann das gesuchte u, y-Koordinate der maximal Flächeninhalt.u=x=0 ist aber nicht im Bereich 0<u<10!!!
was mach ich jetzt?und wie fang ich mit der 1.Teilaufgabe an??
Danke vielmals!!!!!!!!!!!!!
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Hi!
Ich glaube, die Aufgabe ist anders zu verstehen als du es meintest.
> hab hier eine aufgabe zu lösen bei der ich nur die hälft
> versteh.
> P(u;v) mit 0<u<10 ist ein Punkt des
> Graphen [mm]g_3=\bruch{1}{4}x^2-3x+9[/mm].
> Bestimme den Inhalt des Quadrates mit der Strecke
> [mm]\overline{PQ}[/mm]
> und Q(0;9) als Seitenlänge in Abhängigkeit von u.
Also.. Wir haben erst einmal 2 Punkte: Q(0;9) als festen Punkt und P als Punkt in Abhängigkeit von u. Also gilt für P folgende Koordinatendarstellung: P(u;g(u)). Jetzt müssen wir nur noch den Abstand von P und Q (also die Länge von [mm]\overline{PQ}[/mm]) ausrechnen ([mm]p_1[/mm] und [mm]p_2[/mm] sind die Koordinaten von P):
[mm]|\overline{PQ}| = \wurzel{(q_1 - p_1)^2+(q_2 - p_2)^2}[/mm]
Somit gilt für das Quadrat:
[mm]|\overline{PQ}|^2 = (q_1 - p_1)^2+(q_2 - p_2)^2[/mm]
Also können wir eine Gesamtfunktion aufstellen, die den Flächeninhalt in Abhängigkeit von u darstellt:
[mm]f(u) = |\overline{PQ}|^2 = (0 - u)^2 + (9 - g(u))^2[/mm]
Jetzt musst du diese Funktion nur noch vereinfachen.
> Für welches u wird der Flächeninhalt des Quadrates
> maximal?
Da gilt die (hoffentlich) altbekannte Prozedur: Ableiten, Extrema bestimmen, Extrema prüfen ...
Ich hoffe, dir damit weitergeholfen zu haben.
Gruss,
Michael
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dank sirprize für die schnelle antwort,
dennoch hab ich eine frage.
wenn ich [mm]\overline{PQ}^2[/mm] vereinfache ist u in diesem falle irrelevant? sollte dies nicht der fall sein, was mach ich beim vereinfachen mit [mm]g(u)[/mm] in der 2. Klammer?
des weiteren habe ich jetzt [mm]\bruch{1}{4}x^2-3x+9[/mm] abgeleitet und komme auf den extrempunkt [mm]E_p(6,0)[/mm].ist u =x=6 für [mm]A max[/mm]???
danke sehr
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Hi again,
> wenn ich [mm]\overline{PQ}^2[/mm] vereinfache ist u in diesem falle
> irrelevant? sollte dies nicht der fall sein, was mach ich
> beim vereinfachen mit [mm]g(u)[/mm] in der 2. Klammer?
Das ist natürlich keineswegs irrelevant 
Du kannst ja [mm]\overline{PQ}^2[/mm] als Funktion in Abhängigkeit von u schreiben, wie bereits gesagt:
[mm]f(u) = \overline{PQ}^2 = (0 - u)^2 + (9 - g(u))^2[/mm], wobei
[mm]g(u) = \bruch{1}{4}u^2-3u+9[/mm] gilt.
Ausführlicher geschrieben heisst das:
[mm]f(u) = \underbrace{u^2}_{=(0-u)^2} + \underbrace{81 - 18g(u) + g^{2}(u)}_{=(9-g(u))^2}[/mm]
Wenn du da jetzt noch g(u) einsetzt, dann wird die Funktion recht kompliziert. Aber einfach zu berechnen wird sie wohl trotzdem bleiben.
> des weiteren habe ich jetzt [mm]\bruch{1}{4}x^2-3x+9[/mm]
> abgeleitet und komme auf den extrempunkt [mm]E_p(6,0)[/mm].
Das bringt dir leider überhaupt nichts, da wir die Extrema von f, nicht von g suchen
Wie immer: Bei Fragen nachhaken!
Gruss und viel Erfolg!
Michael
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hallo!!
ich denk jetzt ist alles klar!
danke dir für die zeit und die schnellen antworten.
mfg HeinrichXXIII
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