Flächenbestimmung mit Tangente < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:01 Mi 21.06.2006 | | Autor: | dY-Ce |
| Aufgabe | | Auf einer Parabel mit f(x)=1/2 x² - 4x + 10 liege der Punkt P zwischen der y-Achse und dem Parabelscheitel. Die senkrechte Projektion von P auf die y-Achse sei T. Die Parabeltangente in P schneide die y-Achse in U. Für welchen Parabelpunkt P hat das Dreieck TPU extremalen Flächeninhalt? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. Ich hoffe, die Frage gab es hier bisher nicht, habe lange gegoogelt.
Der Scheitel der Parabel liegt bei (4|2). Ich bin abe rbis jetzt nicht darauf gekommen, was die Funktion A zur Berechnung des Flächeninhalts des Dreiecks ist.
Die Berechnung der Extrempunkte dieser Funktion, d.h. des Extremwerts ist kein Problem mehr, nur fehlt mir bisher der Lösungsansatz.
Bitte um Hilfe, im Vorraus vielen Dank!
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Hallo!
Also, ich habe mir das Ganze mal aufgezeichnet. Der Punkt P habe die Koordinaten (x/y) (wobei x dann zwischen 0 und 4 oder wie das war lieben muss und y natuerlich gleich f(x) ist. Dann ist die Projektion von P auf die x-Achse: T(x/0). Um Punkt U herauszubekommen, muessen wir die Tangente in P berechnen. Eine Tangente hat die Form:
$t(x)=mx+b$ wobei m die Steigung ist.
die Steigung ist nun genau die Ableitung, und die Ableitung ist hier: f'(x)=x-4. Nun liegt der Punkt P auf dieser Tangente, also setzen wir (x/y) in diese Tangentengleichung ein:
t(x)=x(x-4)+b=y
Ausserdem wissen wir, oder koennen es uns jetzt errechnen, dass U die Koordinaten (0/b) hat.
Der Flaecheninhalt eines Dreiecks berechnet sich wie folgt:
[mm] A_{Dreieck}=\bruch{1}{2}gh [/mm] mit g der Grundflaeche und h der Hoehe.
Nun ist unsere Grunflaeche hier am besten die Strecke [mm] \overrightarrow{TU}. [/mm] Und diese berechnet sich so:
[mm] \overrightarrow{TU}=\vektor{0\\b}-\vektor{x\\0}=\vektor{-x\\b}
[/mm]
damit haetten wir die Grundflaeche, fehlt uns noch die Hoehe. Dafuer koennen wir erstmal eine Senkrechte zu unserer Tangente berechnen:
$n(x)=m'x+b"$
die Steigung ist genau [mm] m'=-\bruch{1}{m}=-\bruch{1}{x-4}
[/mm]
Auch diese Gerade geht durch den Punkt (x/y), also haben wir hier:
[mm] n(x)=-\bruch{x}{x-4}+b'+y
[/mm]
Nun brauchen wir den Schnittpunkt dieser beiden Geraden, das ist dann naemlich quasi der Fusspunkt auf der Grunflaeche und damit koennen wir dan die Strecke h berechnen. Fuer den Schnittpunkt setzen wir einfach beide Geraden gleich und loesen nach x auf. Schaffst du das alleine?
Ich hoffe das hilft - man muss es sich wohl aufzeichnen um es zu verstehen. 
Gruesse nach Deutschland
just-math
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:54 Mi 21.06.2006 | | Autor: | dY-Ce |
Vielen Dank erstmal! Bis zu dem Punkt der Flächenberechnung des Dreiecks ist das alles verständlich.
Wozu aber rechnest du eine Senkrechte zur Tangente aus? Und wo befindet sich die von dir angegebene letzte Gerade, die mit der Senkrechten geschnitten den "Fusspunkt" von h ergibt (wo liegt der Fusspunkt?)
Die zwei Geraden gleichsetzen ist kein Problem, allerdings muss ich verstehen, was ich da mach ;)
edit: vielleicht ist es so leichter... hat jemand eine Idee was an folgendem Ansatz nicht stimmt:
Ich habe die Tangente wie eben beschrieben mit m=x-4 aufgestellt, den Punkt P eingesetzt, und nach b aufgelöst. Für b erhalte ich also: b=-x²+4a+y
Bei x=0 ist die Tangentengleichung y=b!
Für die Dreiecksberechnung nehme ich die Strecke TP also Grundseite, die einfach x entspricht (oder?) und TU als Höhe.
TU ist der eben genannte Wert b-y.
Dann erhalte ich für den Flächeninhalt A=0,5a * (-x²+4a)
Wo liegt der Fehler (die Formel stimmt nicht, ist mir durch Einsetzen aufgefallen)??
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Hallo!
> Vielen Dank erstmal! Bis zu dem Punkt der Flächenberechnung
> des Dreiecks ist das alles verständlich.
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> Wozu aber rechnest du eine Senkrechte zur Tangente aus? Und
> wo befindet sich die von dir angegebene letzte Gerade, die
> mit der Senkrechten geschnitten den "Fusspunkt" von h
> ergibt (wo liegt der Fusspunkt?)
Ich wollte die Seite TU als Grundseite nehmen, und die Höhe steht ja senkrecht auf der Grundseite. Allerdings weiß ich gerade nicht, wieso sie auch senkrecht auf der Tangente durch P stehen sollte - meine Zeichnung sieht jetzt irgendwie anders aus als vorhin. Ich hatte da vorhin irgendwo einen rechten Winkel, aber da ist gar keiner, oder? Und ich hab meine Zeichnung von vorhin nicht mehr. :-(
Also, vergessen wir das lieber...
> Die zwei Geraden gleichsetzen ist kein Problem, allerdings
> muss ich verstehen, was ich da mach ;)
> edit: vielleicht ist es so leichter... hat jemand eine
> Idee was an folgendem Ansatz nicht stimmt:
>
> Ich habe die Tangente wie eben beschrieben mit m=x-4
> aufgestellt, den Punkt P eingesetzt, und nach b aufgelöst.
> Für b erhalte ich also: b=-x²+4a+y
> Bei x=0 ist die Tangentengleichung y=b!
>
> Für die Dreiecksberechnung nehme ich die Strecke TP also
> Grundseite, die einfach x entspricht (oder?) und TU als
> Höhe.
Stimmt, das ist viel einfacher als ich es machen wollte. Da hat man die Höhe ja schon quasi. Aber die Strecke TP ist nicht x sondern y (die x-Koordinate von beiden ist ja gerade x, und der Punkt P hat die y-Koordinate y, der Punkt T die y-Koordinate 0, also ist die Strecke dazwischen genau y).
Aber warum nimmst du TU als Höhe? Die Höhe muss doch senkrecht auf der Grundseite stehen, und wenn die Grundseite quasi "senkrecht" steht, dann muss die Höhe doch "waagerecht" sein, und TU ist in meiner Zeichnung schief. Oder habe ich etwas falsch gezeichnet?
> TU ist der eben genannte Wert b-y.
Ich würde sagen, die Höhe beträgt einfach x.
Damit hättest du dann die Formel: [mm] A=\bruch{1}{2}xy. [/mm] Könnte das vielleicht sein?
> Dann erhalte ich für den Flächeninhalt A=0,5a * (-x²+4a)
>
> Wo liegt der Fehler (die Formel stimmt nicht, ist mir durch
> Einsetzen aufgefallen)??
Stimmts jetzt? Hab' gerade keine Lust, es genau aufzuzeichnen...
Viele Grüße
just-math
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:18 Fr 23.06.2006 | | Autor: | chrisno |
Hallo dy-cd,
das sieht schon ganz gut aus. Was ist denn Dein a?
Ich erhalte $A = 0,5 x [mm] (-x^2 [/mm] + 4 x) = [mm] -0,5x^3 [/mm] + [mm] 2x^2 [/mm] $.
A nach x ableiten, Null setzen, für eine Lösung entscheiden gibt x = 3/8.
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