Flaechenberechnung minus 4 < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:44 Fr 05.12.2008 | | Autor: | makw |
| Aufgabe | HAllo!
Ich habe ein Rechteck A(20 cm lang, 12 cm breit) aus Blech, was ich auch biegen kann, und moechte daraus einen Aschenbecher machen. Dazu soll ich an allen vier Ecken jeweils ein Quadrat von der Flaeche A' abschneiden.
Bereche die benoetige Flaeche! |
Nun habe ich folgendes gemacht. Da A' ein Quadrat ist, habe ich es mit [mm] h^{2}= [/mm] A' bezeichnet. Und die Flaeche des Rechteckes habe ich auch schon, das ist A=l /cdot b = 20 /cdot 12= 240.
Und A" soll nun meine gesuchte Flaeche sein. Damit habe nun folgende Gleichung A" = l/cdot b - [mm] 4h^{2} [/mm] fuer das gesuchte Rechteck. Nun muss ich Nebenbedingungen einbauen. Also muss ich noch l und b von h abhaengig machen. Dazu sei l+2h=20 und b+2h=12 und umstellen bringt dann
l=20-2h=2(10-h) und b= 12-2h=2(6-h). Setze ich dass nun in A" ein, dann
erhalte ich ein Funktion, die nur von einer Variablen abhaengt.
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> HAllo!
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> Ich habe ein Rechteck A(20 cm lang, 12 cm breit) aus
> Blech, was ich auch biegen kann, und moechte daraus einen
> Aschenbecher machen. Dazu soll ich an allen vier Ecken
> jeweils ein Quadrat von der Flaeche A' abschneiden.
> Bereche die benoetige Flaeche!
> Nun habe ich folgendes gemacht. Da A' ein Quadrat ist,
> habe ich es mit [mm]h^{2}=[/mm] A' bezeichnet. Und die Flaeche des
> Rechteckes habe ich auch schon, das ist A=l /cdot b = 20
> /cdot 12= 240.
> Und A" soll nun meine gesuchte Flaeche sein. Damit habe
> nun folgende Gleichung A" = l/cdot b - [mm]4h^{2}[/mm] fuer das
> gesuchte Rechteck. Nun muss ich Nebenbedingungen einbauen.
> Also muss ich noch l und b von h abhaengig machen. Dazu sei
> l+2h=20 und b+2h=12 und umstellen bringt dann
>
> l=20-2h=2(10-h) und b= 12-2h=2(6-h). Setze ich dass nun in
> A" ein, dann
> erhalte ich ein Funktion, die nur von einer Variablen
> abhaengt.
hallo makw,
wenn man deinen Text etwa 3 mal durchgelesen hat,
ahnt man allmählich, um was für eine Aufgabe es sich
handeln könnte - eine Extremwertaufgabe. Dies geht
jedoch aus dem Text überhaupt nicht hervor, sondern
z.B. aus dem Begriff "Nebenbedingungen" und anderen
Indizien.
Formuliere bitte erst mal die Aufgabe so, dass man sie
versteht.
Deine Bezeichnungen A' und A" für gewisse Flächen-
inhalte sind in diesem Zusammenhang übrigens sehr
verwirrend, denn man wird in der Lösung der Aufgabe
nachher auch Ableitungen verwenden.
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:48 Fr 05.12.2008 | | Autor: | reverend |
Volle Unterstützung für Al-Chwarizmi, in allen Punkten.
Die Aufgabe macht nur Sinn, wenn man annimmt, dass an jeder Seite des verbleibenden Blechstücks ein Streifen der Breite h aufgefaltet wird und so der "Aschenbecher" entsteht. Die technische und ästhetische Frage, wie die biegetechnisch unvermeidlichen Spalte verschlossen werden, sei dahingestellt. Man darf sicher eine mathematische Idealisierung ohne Biegeradien etc. annehmen. Auch dann habe ich keinen Zweifel, dass das maximale Volumen des Aschenbechers gesucht wird.
Würdest Du die maximale verbleibende Fläche (nimm besser [mm] A_2 [/mm] anstatt A'') suchen, ist die Lösung offensichtlich - wähle h=0 und lass das Blech ganz. Wäre die kleinste verbleibende Fläche gesucht, müsste h=6 sein; von dem Blech bliebe nur ein Streifen von 8*12cm.
Wie groß ist das Volumen des aufgefalteten Aschenbechers, wenn ich an allen Ecken Quadrate der Seitenlänge h ausgeschnitten habe? Für welches h wird es maximal?
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