Fläche soll minimiert werden < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:35 Mi 28.05.2008 | | Autor: | dota |
| Aufgabe 1 | | Ein Bauer möchte ein neues Getreidesilo bauen, das die Form eines Zylinders mit einer aufgesetzten Halbkugel erhalten und 80m³ Getreide fassen soll. Die gesamte Innenfläche des Silos soll mit einem teuren Isolationsmaterial verkleidet werden. Untersuche, ob es Maße für die geplante Form des Silos gibt, bei denen die Kosten der Isolierung möglichst gering werden. |
| Aufgabe 2 | Auf 850 ml Volumen ausgelegte Konservendosen haben, unabhängig vom Inhalt, alle dieselbe Form.
Warum wurde gerade diese Forum gewählt? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Zu Aufgabe 1 brauche ich den kompletten Lösungsweg, da ich es nicht verstehe:|
Und halt die Antwort zu Aufgabe 2
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Hallo dota und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Ein Bauer möchte ein neues Getreidesilo bauen, das die Form
> eines Zylinders mit einer aufgesetzten Halbkugel erhalten
> und 80m³ Getreide fassen soll. Die gesamte Innenfläche des
> Silos soll mit einem teuren Isolationsmaterial verkleidet
> werden. Untersuche, ob es Maße für die geplante Form des
> Silos gibt, bei denen die Kosten der Isolierung möglichst
> gering werden.
> Auf 850 ml Volumen ausgelegte Konservendosen haben,
> unabhängig vom Inhalt, alle dieselbe Form.
> Warum wurde gerade diese Forum gewählt?
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Zu Aufgabe 1 brauche ich den kompletten Lösungsweg, da ich
> es nicht verstehe:|
so ganz ophne eigene Lösungsansätze wirst du bei uns keine Anworten bekommen.
Gib doch bitte mal die Formel an, nach der sich die Innenfläche berechnen lassen sollte.
Das wäre dann die Extremalbedingng.
Da du aber eine Funktion, die von mehreren Variablen abhängt, nicht differenzieren kannst, brauchst du noch eine Nebenbedingung, die die Variablen untereinander in Beziehung setzt.
zum Verfahren: ![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]")  MiniMaxAufgaben [<-- click it!]
Gruß informix
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:53 Mi 28.05.2008 | | Autor: | dota |
okay, also einen eigenen Lösungsansatz haben wir schon
Fläche: [mm] 2\pi\*r\*h+\pi\*r^{2}+2\pi\*r^{2}
[/mm]
Volumen: [mm] 80m³=\pi\*r²\*h+\bruch{2}{3}\*(\pi\*r³)
[/mm]
Wie muss ich jetzt weitermachen...Umstellen nach h? und dann einsetzen?
danach bekomme ich die Formel:
Flächeninhalt [mm] A=2\*\pi\*r\*(\bruch{80-\bruch{2}{3}(\pi\*\*r³)}{\pi\*r²})+3\*\pi\*r²
[/mm]
nun weiß ich aber nicht weiter...sorry
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:13 Mi 28.05.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> okay, also einen eigenen Lösungsansatz haben wir schon
>
> Fläche: [mm]2\pi\*r\*h+\pi\*r^{2}+2\pi\*r^{2}[/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
>
> Volumen: [mm]80m³=\pi\*r²\*h+\bruch{2}{3}\*(\pi\*r³)[/mm]
>
Auch korrekt
>
> Wie muss ich jetzt weitermachen...Umstellen nach h? und
> dann einsetzen?
Yep, vereinfache aber weitestgehend, bevor du einsetzt.
Also:
[mm] V=\pi\*r²\*h+\bruch{2}{3}\*(\pi\*r³)
[/mm]
[mm] \gdw V-\bruch{2}{3}\pi*r³=\pi*r²*h
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{V}{\pi*r²}-\bruch{\bruch{2}{3}\pi*r³}{\pi*r²}=h
[/mm]
[mm] \gdw h=\bruch{V}{\pi*r²}-\bruch{\bruch{2}{3}r}{1}
[/mm]
[mm] \gdw h=\bruch{V}{\pi*r²}-\bruch{2}{3}r
[/mm]
>
> danach bekomme ich die Formel:
>
> Flächeninhalt
> [mm]A=2\*\pi\*r\*(\bruch{80-\bruch{2}{3}(\pi\*\*r³)}{\pi\*r²})+3\*\pi\*r²[/mm]
Korrekt.
[mm] A(r,h)=2\pi*r*h+\pi*r^{2}+2\pi*r^{2}
[/mm]
[mm] \gdw A(r,h)=2\pi*r*h+3\pi*r^{2}
[/mm]
Jetzt einsetzen:
[mm] A(r)=3\pi*r²+2\pi*r*\left(\bruch{V}{\pi*r²}-\bruch{2}{3}r\right)
[/mm]
[mm] =3\pi*r²+\bruch{2*\pi*r*V}{\pi*r²}-\bruch{2r*2\pi*r}{3}
[/mm]
[mm] =3\pi*r²+\bruch{2V}{r}-\bruch{4\pi*r²}{3}
[/mm]
[mm] =\bruch{5\pi}{3}*r²+2V*r^{-1}
[/mm]
Und jetzt suchst du hiervon das Minimum.
Also: A'(r)=0
A''(r)>0
Behandele V und [mm] \pi [/mm] beim Ableiten als Konstanten.
Marius
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