Fläche eines Astroiden < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Man berechne den Flächeninhalt des von der Astroide
x = [mm] cos^3(t) [/mm]
y= [mm] sin^3(t)
[/mm]
0 [mm] \le [/mm] t [mm] \le 2\pi
[/mm]
begrenzten bereichs |
Überprüfung auf Regularität:
[mm] \gamma(t) [/mm] = [mm] \vektor{cos^3(t) \\ sin^3(t)}
[/mm]
[mm] \gamma(t)' [/mm] = [mm] \vektor{-3sin(t)cos^2(t) \\ 3sin^2(t)*cos(t)}
[/mm]
für t=0, [mm] \bruch{\pi}{2}, \pi, \bruch{3\pi}{2}, 2\pi [/mm] nicht regulär. da dann [mm] \gamma(t)' [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0}, [/mm] abgesehen von diesen Werten ist [mm] \gamma(t) [/mm] regulär, somit ist die Kurve stückweise Regulär.
gibt es überhaupt dreidimensionale gebilde die gar nicht regulär sind? jedes gebilde ist doch zumindest stückweise regulär.
(nur so nebenbei gefragt ein ellipsoid ist doch komplett regulär, da dort keine knicke auftauchen, und soweit ich das verstanden habe kann man aus der anschaung eines körpers erkennen ober der körper regulär ist indem, dieser keine knicke hat)
Der Astroid hat ja knicke also ist er stückweise regulär. betrachtet man den körper nur quadranten weise so ist er sogar regulär in den einzelnen quadranten würd ich sagen oder?
Das Integrationsgebiet ist abgeschlossen und B ist immer links von der Kurve , also kann man die Greensche Formel anwenden.
die Greensche Formel lautet: [mm] \integral_B (\bruch{dF_y}{dx} [/mm] - [mm] \bruch{dF_x}{dy}) [/mm] dx dy = [mm] \integral_\gamma \overrightarrow{F}(\overrightarrow{x}) d\overrightarrow{x}
[/mm]
[mm] \integral_\gamma \overrightarrow{F}(\overrightarrow{x})d\overrightarrow{x} [/mm] = [mm] \integral_\gamma \overrightarrow{F}(\gamma(t)) [/mm] * [mm] \gamma(t) [/mm] ' dt
Da die Fläche berechnet werden sool, muss das Vektorfeld [mm] \overrightarrow{F} [/mm] so gewählt werden, dass [mm] \bruch{dF_y}{dx} -\bruch{dF_x}{dy} [/mm] = 1 ist.
wähle zum beispiel: [mm] \overrightarrow{F}\vektor{x \\ y} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ x} [/mm]
Fläche(B) = [mm] \integral_\gamma \overrightarrow{F}(\overrightarrow{x}) d\overrightarrow{x} [/mm] = 4* [mm] \integral_0^{\bruch{\pi}{2}} \vektor{0 \\ cos^3(t)} [/mm] * [mm] \vektor{-3sin(t)*cos^2(t) \\ 3sin^2(t)*cos(t)} [/mm] dt = [mm] 4*3*\integral_0^\bruch{\pi}{2} cos^4(t) [/mm] * [mm] sin^2(t) [/mm] dt
Die Grenze verläuft von null bis [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] und nicht bis [mm] 2\pi [/mm] da der Körper stückweise regulär ist. um die gesamte Fläche zu bekommen wird also mit 4 multipliziert.
Ist doch richtig, dass man den Körper in reguläre Fläche zerteilen muss, ich darf nicht von null bis [mm] 2\pi [/mm] integriere, wenn der körper stückweise regulär ist oder?
das heißt ich darf doch nicht rechnen:
[mm] \integral_0^{2\pi} \vektor{0 \\ cos^3(t)} [/mm] * [mm] \vektor{-3sin(t)*cos^2(t) \\ 3sin^2(t)*cos(t)} [/mm] dt
um an die Fläche zu kommen oder?
jetzt aber ein weiteres problem. diese aufgabe ist eine musterklausuraufgabe, wie soll ich aber bitte das integral
[mm] 4*3*\integral_0^\bruch{\pi}{2} cos^4(t) [/mm] * [mm] sin^2(t) [/mm] dt
lösen. in meinem tabellenbuch steht das integrall nämlich nicht drin und nur dieses buch darf ich mitnehmen.
gibt es vielleicht einen alternativen lösungsweg? einen den man gut in der klausur anwenden kann?
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Hallo BlubbBlubb,
jetzt habe ich mich doch vergeblich auf eine Frage
mit astronomischem Inhalt gefreut. Die Astroide ist
die mathematisch definierte Kurve, um die es hier
geht. Asteroiden sind die vielen kleinen steinigen
Himmelskörper, die sich nebst den Planeten im
Sonnensystem tummeln.
> Man berechne den Flächeninhalt des von der Astroide
>
> x = [mm]cos^3(t)[/mm]
>
> y= [mm]sin^3(t)[/mm]
>
> 0 [mm]\le[/mm] t [mm]\le 2\pi[/mm]
>
> begrenzten bereichs
> Überprüfung auf Regularität:
>
> [mm]\gamma(t)[/mm] = [mm]\vektor{cos^3(t) \\ sin^3(t)}[/mm]
>
> [mm]\gamma(t)'[/mm] = [mm]\vektor{-3sin(t)cos^2(t) \\ 3sin^2(t)*cos(t)}[/mm]
>
> für t=0, [mm]\bruch{\pi}{2}, \pi, \bruch{3\pi}{2}, 2\pi[/mm] nicht
> regulär. da dann [mm]\gamma(t)'[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 0},[/mm] abgesehen
> von diesen Werten ist [mm]\gamma(t)[/mm] regulär, somit ist die
> Kurve stückweise Regulär.
>
> gibt es überhaupt dreidimensionale gebilde die gar nicht
> regulär sind? jedes gebilde ist doch zumindest stückweise
> regulär.
Es bereitet keine allzugrosse Mühe, sich die verrücktesten
Gebilde auszudenken, auch solche, die nirgends regulär sind.
Stichwort: Fraktale.
> (nur so nebenbei gefragt ein ellipsoid ist doch komplett
> regulär, da dort keine knicke auftauchen, und soweit ich
> das verstanden habe kann man aus der anschaung eines
> körpers erkennen ober der körper regulär ist indem, dieser
> keine knicke hat)
> Der Astroid hat ja knicke also ist er stückweise regulär.
> betrachtet man den körper nur quadranten weise so ist er
> sogar regulär in den einzelnen quadranten würd ich sagen
> oder?
Du meinst doch hier wohl eher Kurven in der Ebene,
keine Körper oder Flächen im dreidimensionalen Raum.
Für Ellipsen und die Astroide sind deine anschaulichen
Argumente richtig. Allerdings könnte man auch eine
Ellipse so parametrisieren, dass sie irreguläre Punkte
aufwiese. Regularität hängt also nicht nur von der
geometrischen Gestalt der Kurve, sondern auch von
ihrer Parametrisierung ab.
> Das Integrationsgebiet ist abgeschlossen und B ist immer
> links von der Kurve , also kann man die Greensche Formel
> anwenden.
>
>
> die Greensche Formel lautet: [mm]\integral_B (\bruch{dF_y}{dx}[/mm] - [mm]\bruch{dF_x}{dy})[/mm] dx dy = [mm]\integral_\gamma \overrightarrow{F}(\overrightarrow{x}) d\overrightarrow{x}[/mm]
>
> [mm]\integral_\gamma \overrightarrow{F}(\overrightarrow{x})d\overrightarrow{x}[/mm] = [mm]\integral_\gamma \overrightarrow{F}(\gamma(t))[/mm] * [mm]\gamma(t)[/mm] ' dt
>
> Da die Fläche berechnet werden sool, muss das Vektorfeld
> [mm]\overrightarrow{F}[/mm] so gewählt werden, dass [mm]\bruch{dF_y}{dx} -\bruch{dF_x}{dy}[/mm]
> = 1 ist.
>
> wähle zum beispiel: [mm]\overrightarrow{F}\vektor{x \\ y}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ x}[/mm]
>
> Fläche(B) = [mm]\integral_\gamma \overrightarrow{F}(\overrightarrow{x}) d\overrightarrow{x}[/mm] = 4* [mm]\integral_0^{\bruch{\pi}{2}} \vektor{0 \\ cos^3(t)}[/mm] * [mm]\vektor{-3sin(t)*cos^2(t) \\ 3sin^2(t)*cos(t)}[/mm] dt
> = [mm]4*3*\integral_0^\bruch{\pi}{2} cos^4(t)[/mm] * [mm]sin^2(t)[/mm] dt ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Die Grenze verläuft von null bis [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm] und nicht
> bis [mm]2\pi[/mm] da der Körper stückweise regulär ist. um die
> gesamte Fläche zu bekommen wird also mit 4 multipliziert.
> Ist doch richtig, dass man den Körper in reguläre Fläche
> zerteilen muss, ich darf nicht von null bis [mm]2\pi[/mm]
> integriere, wenn der körper stückweise regulär ist oder?
Eigentlich muss man schon die zu berechnende Fläche
vollständig umrunden. Wenn du nur ein Viertel betrachten
willst, könnte man den Weg durch zwei geradlinige
Wegstrecken längs der beiden Koordinatenachsen
ergänzen.
> das heißt ich darf doch nicht rechnen:
>
> [mm]\integral_0^{2\pi} \vektor{0 \\ cos^3(t)}[/mm] * [mm]\vektor{-3sin(t)*cos^2(t) \\ 3sin^2(t)*cos(t)}[/mm] dt
>
> um an die Fläche zu kommen oder?
Doch; das geht auch !
>
> jetzt aber ein weiteres problem. diese aufgabe ist eine
> musterklausuraufgabe, wie soll ich aber bitte das integral
>
> [mm]4*3*\integral_0^\bruch{\pi}{2} cos^4(t)[/mm] * [mm]sin^2(t)[/mm] dt
>
> lösen.
Ich würde einmal versuchen, ob die Doppelwinkelformeln
etwas bringen, also eine erste Substitution u=2*t !
> gibt es vielleicht einen alternativen lösungsweg? einen den
> man gut in der klausur anwenden kann?
Man kann die Kurvengleichung für den ersten Quadranten
in eine explizite Funktionsgleichung y=f(x) umformen und
dann ganz gewöhnlich integrieren.
Tipp: [mm] sin^2(t)+cos^2(t)=1
[/mm]
[mm] sin^2(t)=\left(sin^3(t)\right)^\bruch{2}{3}
[/mm]
Dieser Weg ist hier deutlich einfacher als der mit dem
Satz von Green.
LG Al-Chw.
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