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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:17 Mo 24.11.2008 | | Autor: | kaiD |
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktionsschar ft(x) = 3x - 3tx * wurzelx ; t > 0
Eine Ursprungsgerade g mit der Gleichung y = tx und der Graph von ft(x) begrenzen eine Fläche mit dem Inhalt A1.
Die Ursprungsgerade g, der Graph von ft(x) und eine Parallele zur y - Achse durch die rechte Nullstelle des Graphen von ft(x) begrenzen eine Fläche mit dem Inhalt A2.
Bestimmen Sie den Wert von t so, dass A1 = A2 ist! |
Ich habe für die Nullstellen x1,2 = 0 und x3 = 1/t². Das müsste laut Plotter korrekt sein.
Für die Schnittpunkte von f und g habe ich x4 = 0 und x5 = (9-6t+t²) / (9t²), was laut Taschenrechner und Plotter auch hinkommen müsste (genau ist es nicht zu erkennen)
Nun müsste ich ja von 0 bis zu x5, und von x5 bis x3 integrieren, aber das ergäbe einen wahnsinnigen Term. Bin ich da auf dem Holzweg? Ich habe das Gefühl, dass es einen Trick bei der Sache gibt, den ich nicht sehe.
Vielen Dank für jegliche Hilfe im Vorraus!
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Hallo,
deine Nullstellen und die Schnittstelle sind korrekt,
jetzt sollen die hellblaue und die grüne Fläche gleich groß sein
[Dateianhang nicht öffentlich]
es gilt:
[mm] \bruch{1}{2}\integral_{0}^{\bruch{1}{t^{2}}}{3x-3tx\wurzel{x} dx}=\integral_{0}^{\bruch{1}{t^{2}}-\bruch{2}{3t}+\bruch{1}{9}}{3x-3tx\wurzel{x}-tx dx}
[/mm]
noch ein Hinweis zum Berechnen der Stammfunktion: [mm] x\wurzel{x}=x^{1.5}
[/mm]
Steffi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:20 Mo 24.11.2008 | | Autor: | kaiD |
Wenn ich danach vorgehe, bekomme ich
[mm] \bruch{3}{4t^{4}} [/mm] - [mm] \bruch{3}{5t^{4}} [/mm] = ein unmöglicher Term mit Trinomen, der spätestens bei [mm] x^{2.5} [/mm] scheitert.
Könntest du mir sagen, wo der Fehler liegt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:05 Mo 24.11.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
[mm] x_{5}=\bruch{9-6t+t²}{9t²}=\bruch{(3-t)²}{9t²}
[/mm]
Beim Auüflösen des Integrales fällt einiges "zusammen"
Berechne doch erstmal die Gesamtfläche mit
[mm] \bruch{1}{2}\integral_{0}^{\bruch{1}{t^{2}}}{3x-3tx\wurzel{x} dx}
[/mm]
[mm] =3*\left[\bruch{1}{2}x²+\bruch{2t}{5}x^{2,5}]\right]_{0}^{\bruch{1}{t^{2}}}
[/mm]
[mm] =3*\left[\bruch{1}{2}*\left(\bruch{1}{t²}\right)^{2}+\bruch{2t}{5}\left(\bruch{1}{t²}\right)^{2,5}-(0)\right]
[/mm]
[mm] =3*\left[\bruch{1}{2t^{4}}+\bruch{2t}{5t^{2*2,5}}\right]
[/mm]
[mm] =3*\left[\bruch{1}{2t^{4}}+\bruch{2t}{5t^{5}}\right]
[/mm]
[mm] =3*\left[\bruch{1}{2t^{4}}+\bruch{2}{5t^{4}}\right]
[/mm]
[mm] =3*\left[\bruch{9}{10t^{4}}\right]
[/mm]
[mm] \bruch{27}{10t^{4}}
[/mm]
Und jetzt bestimme mal die grüne Fläche:
[mm] \integral_{0}^{\bruch{(3-t)²}{9t²}}{3x-3tx\wurzel{x}-tx dx}
[/mm]
[mm] =\integral_{0}^{\bruch{(3-t)²}{9t²}}{(3-t)x-3tx\wurzel{x}dx}
[/mm]
[mm] =\left[\bruch{3-t}{2}x²-\bruch{6t}{5}x^{2,5}\right]_{0}^{\bruch{(3-t)²}{9t²}}
[/mm]
[mm] =\bruch{3-t}{2}\left(\bruch{(3-t)²}{9t²}\right)^{2}-\bruch{6t}{5}\left(\bruch{(3-t)²}{9t²}\right)^{2,5}
[/mm]
[mm] =\bruch{3-t}{2}*\bruch{(3-t)^{4}}{9t^{4}}-\bruch{6t}{5}*\bruch{(3-t)^{5}}{9t^{5}}
[/mm]
[mm] =\bruch{(3-t)^{5}}{18t^{4}}-\bruch{6t(3-t)^{5}}{45t^{5}}
[/mm]
[mm] =\bruch{(3-t)^{5}}{18t^{4}}-\bruch{2(3-t)^{5}}{15t^{4}}
[/mm]
[mm] =\bruch{15(3-t)^{5}}{270t^{4}}-\bruch{36(3-t)^{5}}{270t^{4}}
[/mm]
[mm] =\bruch{15(3-t)^{5}-36(3-t)^{5}}{270t^{4}}
[/mm]
[mm] =\bruch{-7(3-t)^{5}}{90t^{4}}
[/mm]
Also hat die grüne Fläche einen Flächeninhalt von
[mm] A=\bruch{7(3-t)^{5}}{90t^{4}}
[/mm]
Und jetzt bestimme das t mal so, dass
[mm] 2*\bruch{7(3-t)^{5}}{90t^{4}}=\bruch{27}{10t^{4}}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{7(3-t)^{5}}{45t^{4}}=\bruch{27}{10t^{4}}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{7(3-t)^{5}}{45}=\bruch{27}{10}
[/mm]
[mm] \gdw 70(3-t)^{5}=1215
[/mm]
[mm] \gdw...
[/mm]
(Sofern ich mich nicht verrechnet habe...)
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:10 Mo 24.11.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Ich sehe gerade, dass Steffis Skizze falsch war, aber nur Mut, beim Zusammenfassen der Stammfunktion. Das werden denk ich sehr einfache Terme, auch wenn meine Rechnung damit auch nicht die Fragestellung trifft, aber die Zusammmenfassung sollte ähnlich einfache Ergebnisse bringen
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:12 Mo 24.11.2008 | | Autor: | kaiD |
Wenn mich nicht alles täuscht, bist du von der falschen Zeichnung ausgegangen. Kann das sein?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:46 Mo 24.11.2008 | | Autor: | Steffi21 |
Sorry, ich sehe gerade meine Skizze ist nicht korrekt, melde mich wieder, Steffi
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hallo, da ich vorhin mit der falschen Skizze und somit auch mit dem falschem ansatz begonnen habe, jetzt die (hoffentlich) richtige Lösung:
[Dateianhang nicht öffentlich]
[mm] \integral_{0}^{\bruch{(3-t)^{2}}{9t^{2}}}{3x-3tx\wurzel{x}-tx dx}=\integral_{\bruch{(3-t)^{2}}{9t^{2}}}^{\bruch{1}{t^{2}}}{tx-(3x-3tx\wurzel{x}) dx}
[/mm]
hier babe ich obere Funktion minus untere Funktion gerechnet
[mm] \integral_{0}^{\bruch{(3-t)^{2}}{9t^{2}}}{3x-3tx\wurzel{x}-tx dx}=\integral_{\bruch{(3-t)^{2}}{9t^{2}}}^{\bruch{1}{t^{2}}}{tx-3x+3tx\wurzel{x}) dx}
[/mm]
[mm] \bruch{3}{2}x^{2}-\bruch{3}{2,5}tx^{2,5}-\bruch{1}{2}tx^{2} [/mm] Grenzen..... [mm] =\bruch{1}{2}tx^{2}-\bruch{3}{2}x^{2}+\bruch{3}{2,5}tx^{2,5} [/mm] Grenzen.....
jetzt kommt die Stelle, an der sich die Gleichung stark vereinfacht, setze auf der linken Seite der Gleichung die obere Grenze und auf der rechten Seite der Gleichung die untere Grenze ein, du bekommst identische Terme, subtrahieren wir die also,
linke Seite der Gleichung steht somit Null, rechte Seite die obere Grenze
[mm] 0=\bruch{1}{2}t(\bruch{1}{t^{2}})^{2}-\bruch{3}{2}(\bruch{1}{t^{2}})^{2}+\bruch{3}{2,5}t(\bruch{1}{t^{2}})^{2,5}
[/mm]
[mm] 0=\bruch{1}{2t^{3}}-\bruch{3}{2t^{4}}+\bruch{3}{2,5t^{4}}
[/mm]
Multiplikation mit [mm] 5t^{4}
[/mm]
0=2,5t-7,5+6
0=2,5t-1,5
[mm] t=\bruch{3}{5}
[/mm]
Steffi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:06 Mo 24.11.2008 | | Autor: | kaiD |
Vielen Dank!
Ich habe bei dem Schritt an dem sich die Gleichung so vereinfacht den Vorzeichenwechsel nicht beachtet, was zu unmöglichen Termen geführt hat.
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