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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:44 Fr 11.12.2009 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Gegeben sind die Punkte [mm] P_1 [/mm] (2 / 1 / 0), [mm] P_2 [/mm] (-4 / 7 / 3), [mm] P_3 [/mm] (3 / 1 / 6)
sowie die Gerade h: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 2} [/mm] + [mm] r*\vektor{1 \\ 0 \\ 2} [/mm] .
Der Punkt [mm] P_3 [/mm] liegt auf der Gerade h.
Die Punkte [mm] P_1, P_2, P_3 [/mm] bilden ein Dreieck.
a) Hat das Dreieck einen rechten Winkel?
b) Bestimme den Flächeninhalt des Dreiecks. |
Moin,
zu a)
Ich bilde die Richtungsvektoren des Dreiecks
[mm] \overrightarrow{P_1P_2} [/mm] = [mm] \vektor{-6 \\ 6 \\ 3}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{P_1P_3} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 6}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{P_2P_3} [/mm] = [mm] \vektor{7 \\ -6 \\ 3}
[/mm]
Da die Skalarprodukte
[mm] \overrightarrow{P_1P_2}*\overrightarrow{P_1P_3}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{P_1P_2}*\overrightarrow{P_2P_3}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{P_1P_3}*\overrightarrow{P_2P_3}
[/mm]
alle ungleich null sind, gibt es keinen rechten Winkel.
zu b)
Allerdings ist das Skalarprodukt von
[mm] \overrightarrow{P_1P_2}*\vektor{1 \\ 0 \\ 2} [/mm] = 0.
Also war meine Schlußfolgerung, dass [mm] P_3 [/mm] bis S die Höhe des Dreiecks ist, wobei S der Schnittpunkt der Geraden h mit der Geraden g ist, die den Richtungsvektor [mm] \overrightarrow{P_1P_2} [/mm] besitzt.
g: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 0} [/mm] + [mm] r*\vektor{-6 \\ 6 \\ 3} [/mm]
Leider führt Gleichsetzen nicht auf den gesuchten Schnittpunkt S, sondern auf einen Widerspruch!
[mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 0} [/mm] + [mm] r*\vektor{-6 \\ 6 \\ 3} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 2} [/mm] + [mm] r*\vektor{1 \\ 0 \\ 2} [/mm]
2 -6s = 1+r
1 +6s = 1
3s = 2 +2r
=> s =0 r= -1 (Gleichung 3) r = 1 (Gleichung 1)
Wie geht es denn jetzt weiter???
Danke & Gruß!
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> Gegeben sind die Punkte [mm]P_1[/mm] (2 / 1 / 0), [mm]P_2[/mm] (-4 / 7 / 3),
> [mm]P_3[/mm] (3 / 1 / 6)
>
> sowie die Gerade h: [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 2}[/mm] +
> [mm]r*\vektor{1 \\ 0 \\ 2}[/mm] .
>
> Der Punkt [mm]P_3[/mm] liegt auf der Gerade h.
>
> Die Punkte [mm]P_1, P_2, P_3[/mm] bilden ein Dreieck.
>
> a) Hat das Dreieck einen rechten Winkel?
>
> b) Bestimme den Flächeninhalt des Dreiecks.
> Moin,
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> zu a)
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> Ich bilde die Richtungsvektoren des Dreiecks
>
> [mm]\overrightarrow{P_1P_2}[/mm] = [mm]\vektor{-6 \\ 6 \\ 3}[/mm]
>
> [mm]\overrightarrow{P_1P_3}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 6}[/mm]
>
> [mm]\overrightarrow{P_2P_3}[/mm] = [mm]\vektor{7 \\ -6 \\ 3}[/mm]
>
> Da die Skalarprodukte
>
> [mm]\overrightarrow{P_1P_2}*\overrightarrow{P_1P_3}[/mm]
>
> [mm]\overrightarrow{P_1P_2}*\overrightarrow{P_2P_3}[/mm]
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> [mm]\overrightarrow{P_1P_3}*\overrightarrow{P_2P_3}[/mm]
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> alle ungleich null sind, gibt es keinen rechten Winkel.
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> zu b)
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> Allerdings ist das Skalarprodukt von
>
> [mm]\overrightarrow{P_1P_2}*\vektor{1 \\ 0 \\ 2}[/mm] = 0.
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> Also war meine Schlußfolgerung, dass [mm]P_3[/mm] bis S die Höhe
> des Dreiecks ist, wobei S der Schnittpunkt der Geraden h
> mit der Geraden g ist, die den Richtungsvektor
> [mm]\overrightarrow{P_1P_2}[/mm] besitzt.
Hallo,
diese Schlußfolgerung ist falsch.
Bedenke: wir sind im [mm] \IR^3, [/mm] nicht im [mm] \IR^2, [/mm] dh. es gibt sehr viele verschiedene Richtungen, die senkrecht zu einem vorgegebenen Vektor sind.
(Denk an die Borsten einer Flaschenbürste.)
Für die Höhengerade brauchst Du einen Richtungsvektor, welcher senkrecht [mm] \overrightarrow{P_1P_2} [/mm] ist und zusätzlich in derselben Ebene wie das Dreieck liegt.
Gruß v. Angela
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> g: [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{2 \\ 1 \\ 0}[/mm] + [mm]r*\vektor{-6 \\ 6 \\ 3}[/mm]
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> Leider führt Gleichsetzen nicht auf den gesuchten
> Schnittpunkt S, sondern auf einen Widerspruch!
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> [mm]\vektor{2 \\ 1 \\ 0}[/mm] + [mm]r*\vektor{-6 \\ 6 \\ 3}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 2}[/mm]
> + [mm]r*\vektor{1 \\ 0 \\ 2}[/mm]
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> 2 -6s = 1+r
> 1 +6s = 1
> 3s = 2 +2r
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> => s =0 r= -1 (Gleichung 3) r = 1 (Gleichung 1)
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> Wie geht es denn jetzt weiter???
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> Danke & Gruß!
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